Koeficijent korelacije izmedu slucajnih varijabli (zadatak)

[tidus]

Može li mi netko rješiti ovaj zadatak pod (b)? Jeli dovoljno pod (a) pokazati da su X1+X2 i X4+X5 nezavisne varijable, pa slijedi da im je Cov=0?

Zadatak:
Neka su X1, X2, X3, X4 i X5 nezavisne slucajne varijable s varijancom σ^2.
Izracunajte:
(a) Cov(X1 + X2,X4 + X5),
(b) koeficijent korelacije izmedu slucajnih varijabli X1 + X2 + X3 i X3 + X4 + X5.

[Thor]

Prvo

Cov(X1+X2+X3,X3+X4+X5)=

=E[(X1+X2+X3)(X3+X4+X5)]-E[X1+X2+X3]E[X3+X4+X5]=
(kad malo raspišeš koristeći linearnost očekivanja i nezavisnost ovih varijabli ostane ti samo)
=E[X3^2]-(E[X3])^2=Var[X3]=σ^2

Treba jos izračunat Var[X1+X2+X3]=Var[X1]+Var[X2]+Var[X3]=3σ^2
(to slijedi isto iz nezavisnosti)
isto za Var[X3+X4+X5]=3σ^2

Pa je koeficijent korelacije

p(X1+X2+X3,X3+X4+X5)=Cov(X1+X2+X3,X3+X4+X5)/(Var[X1+X2+X3]Var[X3+X4+X5])^1/2=

=σ^2/3σ^2=1/3

_________________
Devil's playground

[tidus]

Hvala!