| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
 Postano: 17:43 ned, 18. 4. 2004 Naslov: Re: zadatak iz derivacija višeg reda |
    |
|
|
[quote="Anonymous"]Zadana je funkcija:y=cos^4(x)+sin^4(x),y^(n)=? Traži se dakle n-ta derivacija zadane funkcije.
Rješenje:
(Koristim osnovnu relaciju sinusa i kosinusa:
cos^2(x)+sin^2(x)=1 / ^2
cos^4(x)+2*sin^2(x)*cos^2(x)+sin^4(x)=1
cos^4(x)+sin^4(x)=y)
y=1-2*sin^2(x)*cos^2(x)=1-1/2*(sin2x)^2
(formula za sinus dvostrukog argumenta:sin^2(x)=(1-cos2x)/2)
y=1-1/2*[(1-cos4x)/2]=1/4-(cos4x/4)
početnu funkciju sveo sam na oblik: y=1/4-(cos4x/4),[/quote]
Zaboravio si 1-to , dakle ono što trebaš nput derivirati je 3/4+cos4x/4 .
[quote]kako to sada n-puta derivirati?[/quote]
Nulta derivacija je sama funkcija, naravno. Već pri prvoj derivaciji nestane ovaj 3/4 kao da ga nikad nije bilo, dakle za derivacije od prve nadalje možemo gledati cos4x/4 .
Faktor 1/4 uvijek ostaje ispred, dakle trebamo odrediti ntu derivaciju od cos4x i to podijeliti s 4 .
nta derivacija kosinusa slijedi ciklični pattern cos->-sin->-cos->sin , za što postoji lukava formula cos(x+n*pi/2) . cos4x ima isti taj pattern, samo se zbog lančanog pravila svaki put domnoži još jedna četvorka. Dakle u ntoj derivaciji imaš ispred 4^n .
Sve u svemu, za n@|N , nta derivacija je 1/4*4^n*cos(4x+n*pi/2) , odnosno 4^{n-1}*cos(4x+n*pi/2) .
HTH,
| Anonymous (napisa): | Zadana je funkcija:y=cos^4(x)+sin^4(x),y^(n)=? Traži se dakle n-ta derivacija zadane funkcije.
Rješenje:
(Koristim osnovnu relaciju sinusa i kosinusa:
cos^2(x)+sin^2(x)=1 / ^2
cos^4(x)+2*sin^2(x)*cos^2(x)+sin^4(x)=1
cos^4(x)+sin^4(x)=y)
y=1-2*sin^2(x)*cos^2(x)=1-1/2*(sin2x)^2
(formula za sinus dvostrukog argumenta:sin^2(x)=(1-cos2x)/2)
y=1-1/2*[(1-cos4x)/2]=1/4-(cos4x/4)
početnu funkciju sveo sam na oblik: y=1/4-(cos4x/4), |
Zaboravio si 1-to , dakle ono što trebaš nput derivirati je 3/4+cos4x/4 .
| Citat: | | kako to sada n-puta derivirati? |
Nulta derivacija je sama funkcija, naravno. Već pri prvoj derivaciji nestane ovaj 3/4 kao da ga nikad nije bilo, dakle za derivacije od prve nadalje možemo gledati cos4x/4 .
Faktor 1/4 uvijek ostaje ispred, dakle trebamo odrediti ntu derivaciju od cos4x i to podijeliti s 4 .
nta derivacija kosinusa slijedi ciklični pattern cos→-sin→-cos→sin , za što postoji lukava formula cos(x+n*pi/2) . cos4x ima isti taj pattern, samo se zbog lančanog pravila svaki put domnoži još jedna četvorka. Dakle u ntoj derivaciji imaš ispred 4^n .
Sve u svemu, za n@|N , nta derivacija je 1/4*4^n*cos(4x+n*pi/2) , odnosno 4^{n-1}*cos(4x+n*pi/2) .
HTH,
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 19:16 ned, 18. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
Hvala ti!
Jesam li ovaj zadatak uspješno riješio:
Zadana je funkcija izrazom:
Y=sinx*sin2x*sin3x
( Produkt trigonometrijskih funkcija neznamo derivirati pa moramo ''izobličiti'' zadani izraz,u tome će nam pomoći formula pretvorbe produkta funkcija 'sinus' u razliku funkcija kosinus:
sinx*siny=1/2*[cos(x-y)-cos(x+y)] )
sinx*sin2x=1/2*[cos(-x)-cos(3x)],sada naša funkcija poprima oblik:
y=1/2*[cos(-x)-cos(3x)]*sin(3x),da je ''uljepšamo'' možemo iskoristiti neparnost funkcije kosinus:cos(-x)=cos(x):
y=1/2*[cos(x)-cos(3x)]*sin(3x),iskoristimo distributivnost i imamo:
y=1/2*[cos(x)*sin(3x)-cos(3x)*sin(3x)]
( Kako se produkta trig.funkcija još nismo riješili iskoristit ćemo još jednu formulu pretvorbe(thank God on it;)):
sin(x)*cos(x)=1/2*[sin(x+y)+sin(x-y)] )
cos(x)*sin(3x)=1/2*[sin(4x)+sin(2x)]
cos(3x)*sin(3x)=1/2*[sin(6x)+sin(0)] , sin(0)=0
sada imamo oblik:
y=1/2*{1/2*[sin(4x)+sin(2x)]- 1/2*sin(6x)}
y=1/4*[sin(2x)+sin(4x)-sin(6x)] /^(n)
ovaj oblik je sasvim primjeren za n-to deriviranje pa dobivamo:
y=1/4*{2^n*[sin(2x+n*pi/2)]+4^n*[sin(4x+n*pi/2)]-6^n*[sin6x+n*pi/2]}
Jeli ovaj rastav dovoljan,ili moram ''upropaštavati'' ovu ''idilu od izraza''?
Hvala ti!
Jesam li ovaj zadatak uspješno riješio:
Zadana je funkcija izrazom:
Y=sinx*sin2x*sin3x
( Produkt trigonometrijskih funkcija neznamo derivirati pa moramo ''izobličiti'' zadani izraz,u tome će nam pomoći formula pretvorbe produkta funkcija 'sinus' u razliku funkcija kosinus:
sinx*siny=1/2*[cos(x-y)-cos(x+y)] )
sinx*sin2x=1/2*[cos(-x)-cos(3x)],sada naša funkcija poprima oblik:
y=1/2*[cos(-x)-cos(3x)]*sin(3x),da je ''uljepšamo'' možemo iskoristiti neparnost funkcije kosinus:cos(-x)=cos(x):
y=1/2*[cos(x)-cos(3x)]*sin(3x),iskoristimo distributivnost i imamo:
y=1/2*[cos(x)*sin(3x)-cos(3x)*sin(3x)]
( Kako se produkta trig.funkcija još nismo riješili iskoristit ćemo još jednu formulu pretvorbe(thank God on it;)):
sin(x)*cos(x)=1/2*[sin(x+y)+sin(x-y)] )
cos(x)*sin(3x)=1/2*[sin(4x)+sin(2x)]
cos(3x)*sin(3x)=1/2*[sin(6x)+sin(0)] , sin(0)=0
sada imamo oblik:
y=1/2*{1/2*[sin(4x)+sin(2x)]- 1/2*sin(6x)}
y=1/4*[sin(2x)+sin(4x)-sin(6x)] /^(n)
ovaj oblik je sasvim primjeren za n-to deriviranje pa dobivamo:
y=1/4*{2^n*[sin(2x+n*pi/2)]+4^n*[sin(4x+n*pi/2)]-6^n*[sin6x+n*pi/2]}
Jeli ovaj rastav dovoljan,ili moram ''upropaštavati'' ovu ''idilu od izraza''?
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 21:10 ned, 18. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Hvala ti!
Jesam li ovaj zadatak uspješno riješio:
Zadana je funkcija izrazom:
Y=sinx*sin2x*sin3x
( Produkt trigonometrijskih funkcija neznamo derivirati pa moramo ''izobličiti'' zadani izraz,u tome će nam pomoći formula pretvorbe produkta funkcija 'sinus' u razliku funkcija kosinus:
sinx*siny=1/2*[cos(x-y)-cos(x+y)] )
sinx*sin2x=1/2*[cos(-x)-cos(3x)],sada naša funkcija poprima oblik:
y=1/2*[cos(-x)-cos(3x)]*sin(3x),da je ''uljepšamo'' možemo iskoristiti neparnost funkcije kosinus:cos(-x)=cos(x):[/quote]
_Parnost_. Funkcija za koju vrijedi f(-x)=f(x) zove se parna funkcija.
[quote]y=1/2*[cos(x)-cos(3x)]*sin(3x),iskoristimo distributivnost i imamo:
y=1/2*[cos(x)*sin(3x)-cos(3x)*sin(3x)]
( Kako se produkta trig.funkcija još nismo riješili iskoristit ćemo još jednu formulu pretvorbe(thank God on it;)):[/quote]
Imaš čudan osjećaj zahvalnosti, IIMN. :-)
(Inače, to je ta ista formula, samo je sin(pi/2-x) kamufliran kao cosx . ; )
[quote]sin(x)*cos(x)=1/2*[sin(x+y)+sin(x-y)] )
cos(x)*sin(3x)=1/2*[sin(4x)+sin(2x)]
cos(3x)*sin(3x)=1/2*[sin(6x)+sin(0)] , sin(0)=0[/quote]
Inače, cos3x*sin3x=sin6x/2 već po formuli za sinus dvostrukog kuta... no dobro. Kad si se već zalaufao s tim pretvorbama... :-)
[quote]sada imamo oblik:
y=1/2*{1/2*[sin(4x)+sin(2x)]- 1/2*sin(6x)}
y=1/4*[sin(2x)+sin(4x)-sin(6x)] /^(n)
ovaj oblik je sasvim primjeren za n-to deriviranje pa dobivamo:
y=1/4*{2^n*[sin(2x+n*pi/2)]+4^n*[sin(4x+n*pi/2)]-6^n*[sin6x+n*pi/2]}[/quote]
Hjuh. Točno. (Bar se slaže s mojim.: )
[quote]Jeli ovaj rastav dovoljan,ili moram ''upropaštavati'' ovu ''idilu od izraza''?[/quote]
Pa sad... eventualno ove 1/4*2^n kao 2^{n-2} i 1/4*4^n kao 4^{n-1} , možda čak izlučiti 2^nešto iz svega... ali ništa bitno.
| Anonymous (napisa): | Hvala ti!
Jesam li ovaj zadatak uspješno riješio:
Zadana je funkcija izrazom:
Y=sinx*sin2x*sin3x
( Produkt trigonometrijskih funkcija neznamo derivirati pa moramo ''izobličiti'' zadani izraz,u tome će nam pomoći formula pretvorbe produkta funkcija 'sinus' u razliku funkcija kosinus:
sinx*siny=1/2*[cos(x-y)-cos(x+y)] )
sinx*sin2x=1/2*[cos(-x)-cos(3x)],sada naša funkcija poprima oblik:
y=1/2*[cos(-x)-cos(3x)]*sin(3x),da je ''uljepšamo'' možemo iskoristiti neparnost funkcije kosinus:cos(-x)=cos(x): |
_Parnost_. Funkcija za koju vrijedi f(-x)=f(x) zove se parna funkcija.
| Citat: | y=1/2*[cos(x)-cos(3x)]*sin(3x),iskoristimo distributivnost i imamo:
y=1/2*[cos(x)*sin(3x)-cos(3x)*sin(3x)]
( Kako se produkta trig.funkcija još nismo riješili iskoristit ćemo još jednu formulu pretvorbe(thank God on it;)): |
Imaš čudan osjećaj zahvalnosti, IIMN. 
(Inače, to je ta ista formula, samo je sin(pi/2-x) kamufliran kao cosx . ; )
| Citat: | sin(x)*cos(x)=1/2*[sin(x+y)+sin(x-y)] )
cos(x)*sin(3x)=1/2*[sin(4x)+sin(2x)]
cos(3x)*sin(3x)=1/2*[sin(6x)+sin(0)] , sin(0)=0 |
Inače, cos3x*sin3x=sin6x/2 već po formuli za sinus dvostrukog kuta... no dobro. Kad si se već zalaufao s tim pretvorbama...
| Citat: | sada imamo oblik:
y=1/2*{1/2*[sin(4x)+sin(2x)]- 1/2*sin(6x)}
y=1/4*[sin(2x)+sin(4x)-sin(6x)] /^(n)
ovaj oblik je sasvim primjeren za n-to deriviranje pa dobivamo:
y=1/4*{2^n*[sin(2x+n*pi/2)]+4^n*[sin(4x+n*pi/2)]-6^n*[sin6x+n*pi/2]} |
Hjuh. Točno. (Bar se slaže s mojim.: )
| Citat: | | Jeli ovaj rastav dovoljan,ili moram ''upropaštavati'' ovu ''idilu od izraza''? |
Pa sad... eventualno ove 1/4*2^n kao 2^{n-2} i 1/4*4^n kao 4^{n-1} , možda čak izlučiti 2^nešto iz svega... ali ništa bitno.
|
|
| [Vrh] |
|
|
