| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
 Postano: 17:32 ned, 18. 4. 2004 Naslov: Re: zadatak-derivabilnost |
    |
|
|
[quote="Anonymous"]Zadana je funkcija:
f(x)= arctgx |x|<=1
pi/4*signx+(x-1)/4 |x|>1
Kako ja sada vidim da je funkcija problematična u točkama -1 i 1,[/quote]
Preciznije, potencijalno problematična. :-)
Pisao sam o tome već po Forumu... Točke -1 i 1 su takve da kod svake od njih s lijeve strane (okoline) vrijedi jedna definicija funkcije, a s desne druga... logično je za očekivati da treba provjeriti slažu li se njih dvije tamo, i koliko dobro.
S druge strane, ako je funkcija (kad je zadana izrazom) zadana pomoću uobičajenih (analitičkih - recimo neprekidnih, derivabilnih, što već) funkcijâ poput sin, ln, sqrt, +, *,.... , očito je da ostale točke neće biti problematične. Npr. za točku 2 , sigurno postoji okolina (npr. <3/2,5/2> ) na kojoj je funkcija f isto što i funkcija arctg , dakle sigurno derivabilna (npr.).
Primijetimo još samo da ovo gore na prvi pogled nije takav slučaj, jer se u definiciji izrazom pojavljuje funkcija sgn , koja nije neprekidna u 0 . No kako 0 nije u području gdje vrijedi ta grana funkcije ( |x|>1 ovdje), to nije problem. Na |x|>1 sgn je ili konstanta 1 ili konstanta -1 , pa je to ok.
[quote]kako znam da derivacije u tim točkama moram ispitati?
Dali se mora zadati u zadatku da ispitam derivacije u tim točkama ili ja to nekako moram vidjeti iz gornje definicije funkcije?[/quote]
Naravno, može se eksplicitno reći u zadatku. Ali najčešće zadatak glasi "odredite u kojim točkama je funkcija ... derivabilna." Pa onda treba navesti gornji argument za tvrdnju da je u točkama osim -1 i 1 sigurno derivabilna, te posebno ispitati ponašanje u -1 i 1 .
[quote]Na vježbama ispitujemo limes slijeva za točku -1_
lim (f(x)-f(-1))/(x+1) ,x->-1 slijeva, i profać za taj izraz kaže:''to je definicija derivacije slijeva''.Jeli to što je rekao korektno ili je to kolokvijalni govor?[/quote]
Potpuno korektno. Derivacije su specijalna vrsta limesâ, dakle mogu biti slijeva i zdesna baš kao i limesi.
| Anonymous (napisa): | Zadana je funkcija:
f(x)= arctgx |x|⇐1
pi/4*signx+(x-1)/4 |x|>1
Kako ja sada vidim da je funkcija problematična u točkama -1 i 1, |
Preciznije, potencijalno problematična. 
Pisao sam o tome već po Forumu... Točke -1 i 1 su takve da kod svake od njih s lijeve strane (okoline) vrijedi jedna definicija funkcije, a s desne druga... logično je za očekivati da treba provjeriti slažu li se njih dvije tamo, i koliko dobro.
S druge strane, ako je funkcija (kad je zadana izrazom) zadana pomoću uobičajenih (analitičkih - recimo neprekidnih, derivabilnih, što već) funkcijâ poput sin, ln, sqrt, +, *,.... , očito je da ostale točke neće biti problematične. Npr. za točku 2 , sigurno postoji okolina (npr. <3/2,5/2> ) na kojoj je funkcija f isto što i funkcija arctg , dakle sigurno derivabilna (npr.).
Primijetimo još samo da ovo gore na prvi pogled nije takav slučaj, jer se u definiciji izrazom pojavljuje funkcija sgn , koja nije neprekidna u 0 . No kako 0 nije u području gdje vrijedi ta grana funkcije ( |x|>1 ovdje), to nije problem. Na |x|>1 sgn je ili konstanta 1 ili konstanta -1 , pa je to ok.
| Citat: | kako znam da derivacije u tim točkama moram ispitati?
Dali se mora zadati u zadatku da ispitam derivacije u tim točkama ili ja to nekako moram vidjeti iz gornje definicije funkcije? |
Naravno, može se eksplicitno reći u zadatku. Ali najčešće zadatak glasi "odredite u kojim točkama je funkcija ... derivabilna." Pa onda treba navesti gornji argument za tvrdnju da je u točkama osim -1 i 1 sigurno derivabilna, te posebno ispitati ponašanje u -1 i 1 .
| Citat: | Na vježbama ispitujemo limes slijeva za točku -1_
lim (f(x)-f(-1))/(x+1) ,x→-1 slijeva, i profać za taj izraz kaže:''to je definicija derivacije slijeva''.Jeli to što je rekao korektno ili je to kolokvijalni govor? |
Potpuno korektno. Derivacije su specijalna vrsta limesâ, dakle mogu biti slijeva i zdesna baš kao i limesi.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 21:02 ned, 18. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Hvala.
Kada kažeš ''da treba provjeriti slažu li se njih dvije tamo'' misliš li pritom na limese slijeva i zdesna u tim točkama?[/quote]
Između ostalog. Gle dolje.
[quote]''Koliko dobro'',time misliš jesu li ti limesi jednaki(limes slijeva u točki=limes zdesna u točki=>postoji derivacija u točki)..[/quote]
Čini mi se da pomalo brkaš pojmove. Jedno je limes funkcije, a drugo limes njenog kvocijenta diferencijâ (osim kod e^x : )).
Ako postoje limesi _funkcije_ slijeva i zdesna u nekoj točki, i oba su jednaka vrijednosti funkcije u toj točki, tad je funkcija neprekidna u toj točki ("slaganje" definicijâ).
Ako postoje limesi kvocijenta diferencijâ (to je ono (f(x)-f(c))/(x-c) ) slijeva i zdesna u točki c , i jednaki su, tada je funkcija derivabilna u c ("bolje slaganje").
Možemo i dalje, gledati više derivacije: drugu, treću,.... , pa čak i onu rednog broja \omega (analitičnost) :shock: . "koliko dobro se slažu" obično znači do koje derivacije se poklapaju. Tebi vjerojatno treba samo nulta i prva.
HTH,
| Anonymous (napisa): | Hvala.
Kada kažeš ''da treba provjeriti slažu li se njih dvije tamo'' misliš li pritom na limese slijeva i zdesna u tim točkama? |
Između ostalog. Gle dolje.
| Citat: | | ''Koliko dobro'',time misliš jesu li ti limesi jednaki(limes slijeva u točki=limes zdesna u točki⇒postoji derivacija u točki).. |
Čini mi se da pomalo brkaš pojmove. Jedno je limes funkcije, a drugo limes njenog kvocijenta diferencijâ (osim kod e^x : )).
Ako postoje limesi _funkcije_ slijeva i zdesna u nekoj točki, i oba su jednaka vrijednosti funkcije u toj točki, tad je funkcija neprekidna u toj točki ("slaganje" definicijâ).
Ako postoje limesi kvocijenta diferencijâ (to je ono (f(x)-f(c))/(x-c) ) slijeva i zdesna u točki c , i jednaki su, tada je funkcija derivabilna u c ("bolje slaganje").
Možemo i dalje, gledati više derivacije: drugu, treću,.... , pa čak i onu rednog broja \omega (analitičnost)  . "koliko dobro se slažu" obično znači do koje derivacije se poklapaju. Tebi vjerojatno treba samo nulta i prva.
HTH,
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
ahri
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 11. 2003. (23:16:07)
Postovi: (193)16
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
|
