Da ne raspisujem sada cijelu priču... Znaš da je [latex]K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}[/latex] i da je [latex]EG-F^2>0[/latex], pa predznak Gaussove zakrivljenosti ovisi samo o brojniku.
1. Ako vrijedi [latex]K>0[/latex], odnosno [latex]LN-M^2>0[/latex] - to je eliptička točka (ombilička ili kružna točka je specijalan slučaj eliptičke). U okolini te točke ploha leži cijela s jedne strane tangencijalne ravnine. Uz to u ovom slučaju vrijedi (zbog definicije Gaussove zakrivljenosti!) da je [latex]sign K_1 = sign K_2[/latex]..
2. Ako vrijedi [latex]K<0[/latex], odnosno [latex]LN-M^2<0[/latex] - to je hiperbolička točka. U okolini hiperboličke točke asimptotski smjerovi razbijaju tu okolinu na četiri dijela, od kojih su dva s jedne strane tangencijalne plohe, a druga dva sa druge strane tangencijalne plohe. Ovdje vrijedi [latex]sign K_1 = - sign K_2[/latex].
3. Ako vrijedi [latex]K=0[/latex], odnosno [latex]LN-M^2=0[/latex], to je parabolička točka. Kod takvih točaka vrijedi [latex]K_1 = 0, K_2 \neq 0[/latex] ili [latex]K_2 = 0, K_1 \neq 0[/latex] ili [latex]K_1=K_2=0[/latex] (u ovom zadnjem slučaju je točka spljoštenosti). U okolini paraboličke točke vrijedi da je asimptotski smjer razbija okolinu te točke na dva dijela - jedan dio plohe je s jedne strane tangencijalne plohe, a drugi je sa druge strane tangencijalne plohe.
Da ne raspisujem sada cijelu priču... Znaš da je 
i da je 
, pa predznak Gaussove zakrivljenosti ovisi samo o brojniku.
1. Ako vrijedi 
, odnosno 
- to je eliptička točka (ombilička ili kružna točka je specijalan slučaj eliptičke). U okolini te točke ploha leži cijela s jedne strane tangencijalne ravnine. Uz to u ovom slučaju vrijedi (zbog definicije Gaussove zakrivljenosti!) da je 
..
2. Ako vrijedi 
, odnosno 
- to je hiperbolička točka. U okolini hiperboličke točke asimptotski smjerovi razbijaju tu okolinu na četiri dijela, od kojih su dva s jedne strane tangencijalne plohe, a druga dva sa druge strane tangencijalne plohe. Ovdje vrijedi 
.
3. Ako vrijedi 
, odnosno 
, to je parabolička točka. Kod takvih točaka vrijedi 
ili 
ili 
(u ovom zadnjem slučaju je točka spljoštenosti). U okolini paraboličke točke vrijedi da je asimptotski smjer razbija okolinu te točke na dva dijela - jedan dio plohe je s jedne strane tangencijalne plohe, a drugi je sa druge strane tangencijalne plohe.
_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.
by A.Einstein
