Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
michelangelo Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 06. 2009. (22:59:23) Postovi: (69)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
pbakic Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30) Postovi: (143)16
Spol:
|
Postano: 13:04 sub, 13. 3. 2010 Naslov: |
|
|
evo za pocetak 1.89 (ostali mozda poslije rucka :)):
ispitivanje neprekidnosti se u ovom zadatku svodi na trazenje [latex]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}[/latex]
s l'Hopitalom ili razlikaom kvadrata dobijes da je taj lim stvarno 1/2, dakle f je neprekidna
Za derivabilnost ocito nema problema izvan nule (dapace, dobije se neprekidna derivacija [latex]f'(x)=\frac{-\frac{1}{2}x-1+\sqrt{x+1}}{x^2\sqrt{x+1}}[/latex])
Sad samo treba provjerit derivabilnost u nuli (po definiciji; ovdje ce nam lijevi i desni limes bit isti)
evo recimo lijevi: [latex]\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}-\frac{1}{2}}{x}[/latex]
To se sredi, i onda ili l'Hopitalom, ili razlikom kvadrata (2put) dobije se da limes postoji i jednak je -1/8, iz cega zakljucujemo da je f derivabilna i u 0
Takodjer, sad se moze pogledat limes derivacije kad x->0 i dobije se da je on takodjer jednak -1/8, dakle i derivacija je neprekidna u tocki x=0
edit: tek sad vidim da je -1 ukljuceno u domenu, pa bi trebalo valjda provjerit i derivabilnost posebno u toj tocki. Ocito nece bit derivabilna u pravom smislu rijeci jer je to rubna tocka (nema okolinu) ali nije cak ni desno-derivabilna jer vrijedi [latex]\lim_{x\rightarrow -1^+}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow -1^+}\frac{\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}-1}{x+1}=-\infty[/latex]
zakljucak je da je funkcija derivabilna na cijeloj domeni osim u -1, i ima neprekidnu derivaciju svugdje gdje je ona definirana
evo za pocetak 1.89 (ostali mozda poslije rucka ):
ispitivanje neprekidnosti se u ovom zadatku svodi na trazenje
s l'Hopitalom ili razlikaom kvadrata dobijes da je taj lim stvarno 1/2, dakle f je neprekidna
Za derivabilnost ocito nema problema izvan nule (dapace, dobije se neprekidna derivacija )
Sad samo treba provjerit derivabilnost u nuli (po definiciji; ovdje ce nam lijevi i desni limes bit isti)
evo recimo lijevi:
To se sredi, i onda ili l'Hopitalom, ili razlikom kvadrata (2put) dobije se da limes postoji i jednak je -1/8, iz cega zakljucujemo da je f derivabilna i u 0
Takodjer, sad se moze pogledat limes derivacije kad x→0 i dobije se da je on takodjer jednak -1/8, dakle i derivacija je neprekidna u tocki x=0
edit: tek sad vidim da je -1 ukljuceno u domenu, pa bi trebalo valjda provjerit i derivabilnost posebno u toj tocki. Ocito nece bit derivabilna u pravom smislu rijeci jer je to rubna tocka (nema okolinu) ali nije cak ni desno-derivabilna jer vrijedi
zakljucak je da je funkcija derivabilna na cijeloj domeni osim u -1, i ima neprekidnu derivaciju svugdje gdje je ona definirana
|
|
[Vrh] |
|
Mr.Doe Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57) Postovi: (21A)16
|
|
[Vrh] |
|
pbakic Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30) Postovi: (143)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Mr.Doe Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57) Postovi: (21A)16
|
Postano: 19:00 sub, 13. 3. 2010 Naslov: |
|
|
Neka je [latex]f\colon \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/latex], funkcija takva da je [latex]c[/latex] u njenoj domeni (i neka to nije izolirana tocka). Zasada ne stavljam aposlutno nikakve pretpostavke na funkciju. Pogledaj sta se dogada ako provjeravam derivabilnost u tocki [latex]c[/latex] preko L'H pravila. Dakle, trazis se sljedeci limes;
[latex]\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}[/latex].
Rezoniranje bi moglo biti sljedece; "pa, [latex]x[/latex] da ide u [latex]c[/latex], onda ce brojnik biti jednak nuli (jer dobijem [latex]f(c)-f(c)=0[/latex]), i nazivnik takoder, pa buduci da imam sljedecu situaciju [latex]\frac{0}{0}[/latex], onda mogu primjeniti L'H, pa dobivam;
[latex]\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)-0}{1-0}=\lim_{x\rightarrow c}f'(x)[/latex], i sada samo pustim da taj limes, i dobijem [latex]f'(c)[/latex].
Dakle, ja sam implicitno pretpostavio da [latex]f[/latex], ima limes (sa lijeva i desna) u [latex]c[/latex], da je on bas jednak vrijednosti funkcije u toj tocki (i.e. da je funkcija neprekidna), te da je ona derivabilna u spomenutoj tocki (cak sam i pretpostavio da je derivacija neprekidna). A zapravo sam htio pogledati da li postoji limes sa pocetka.
Primjenjivanje raznih teorema bez razumijevanja vodi ka suludim zaključcima.
I daj me prosvijetli, di vidis razliku kvadrata?
Neka je , funkcija takva da je u njenoj domeni (i neka to nije izolirana tocka). Zasada ne stavljam aposlutno nikakve pretpostavke na funkciju. Pogledaj sta se dogada ako provjeravam derivabilnost u tocki preko L'H pravila. Dakle, trazis se sljedeci limes;
.
Rezoniranje bi moglo biti sljedece; "pa, da ide u , onda ce brojnik biti jednak nuli (jer dobijem ), i nazivnik takoder, pa buduci da imam sljedecu situaciju , onda mogu primjeniti L'H, pa dobivam;
, i sada samo pustim da taj limes, i dobijem .
Dakle, ja sam implicitno pretpostavio da , ima limes (sa lijeva i desna) u , da je on bas jednak vrijednosti funkcije u toj tocki (i.e. da je funkcija neprekidna), te da je ona derivabilna u spomenutoj tocki (cak sam i pretpostavio da je derivacija neprekidna). A zapravo sam htio pogledati da li postoji limes sa pocetka.
Primjenjivanje raznih teorema bez razumijevanja vodi ka suludim zaključcima.
I daj me prosvijetli, di vidis razliku kvadrata?
|
|
[Vrh] |
|
pbakic Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30) Postovi: (143)16
Spol:
|
Postano: 19:52 sub, 13. 3. 2010 Naslov: |
|
|
Shvacam u potpunosti sta hoces rec i ima smisla, stvarno treba bit oprezan kod ovog... ali svejedno, ne znam dal se tvoj argument moze primjeniti na ovaj slucaj... mislim tvoj primjer pogresnog rezoniranja naravno stoji, ali ovdje nisam bas mislio derivirati na taj nacin (vjerojatno je trebalo dodat koji redak u originalnom postu), ali zato tamo ona recenica pocinje sa "To se sredi..."
Mislio sam zapisat ovaj razlomak u obliku [latex]\frac{\sqrt{x+1}-1-\frac{1}{2}x}{x^2}[/latex]
Tada bi definirali dvije nove funkcije,
[latex]f(x)=\sqrt{x+1}-1-\frac{1}{2}x[/latex] i
[latex]g(x)=x^2[/latex]
Te dve su ocito derivabilne, pa sa na njih moze primjeniti l'Hopital?
edit: razlika kvadrata je cilj koji zelimo postic :D
npr, razlomak [latex]\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}[/latex] prosirimo s [latex]\sqrt{x+1}+1[/latex] da bi dobili razliku kvadrata i rijesili se korijena...
Shvacam u potpunosti sta hoces rec i ima smisla, stvarno treba bit oprezan kod ovog... ali svejedno, ne znam dal se tvoj argument moze primjeniti na ovaj slucaj... mislim tvoj primjer pogresnog rezoniranja naravno stoji, ali ovdje nisam bas mislio derivirati na taj nacin (vjerojatno je trebalo dodat koji redak u originalnom postu), ali zato tamo ona recenica pocinje sa "To se sredi..."
Mislio sam zapisat ovaj razlomak u obliku
Tada bi definirali dvije nove funkcije,
i
Te dve su ocito derivabilne, pa sa na njih moze primjeniti l'Hopital?
edit: razlika kvadrata je cilj koji zelimo postic
npr, razlomak prosirimo s da bi dobili razliku kvadrata i rijesili se korijena...
|
|
[Vrh] |
|
Ilja Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31) Postovi: (1AF)16
|
Postano: 21:07 sub, 13. 3. 2010 Naslov: |
|
|
[quote="Mr.Doe"]Ne mozes derivabilnost provjeravati L'Hospitalovim pravilom.[/quote]
Naravno, tu treba biti oprezan što se točno tvrdi. U ovom konkretnom slučaju rezoniranje o pbakica je svasvim u redu.
Naime, neka je [latex]f : I \to \mathbb{R}[/latex] neprekidna funkcija na otvorenom intervalu [latex]I[/latex] koja je derivabilna u svim točkama iz [latex]I[/latex] osim eventualno u točki [latex]c \in I[/latex]. Ukoliko postoji (konačan) limes [latex]\lim_{x \to c}f'(x)[/latex], tada je direktna posljedica L'H-ovog teorema da je [latex]f[/latex] derivabilna i u točki [latex]c[/latex], te štoviše, derivacija [latex]f'[/latex] je i neprekidna u točki [latex]c[/latex].
Taj jednostavni rezultat je korisno imati na umu kod rješavanja zadataka ovog tipa.
Mr.Doe (napisa): | Ne mozes derivabilnost provjeravati L'Hospitalovim pravilom. |
Naravno, tu treba biti oprezan što se točno tvrdi. U ovom konkretnom slučaju rezoniranje o pbakica je svasvim u redu.
Naime, neka je neprekidna funkcija na otvorenom intervalu koja je derivabilna u svim točkama iz osim eventualno u točki . Ukoliko postoji (konačan) limes , tada je direktna posljedica L'H-ovog teorema da je derivabilna i u točki , te štoviše, derivacija je i neprekidna u točki .
Taj jednostavni rezultat je korisno imati na umu kod rješavanja zadataka ovog tipa.
|
|
[Vrh] |
|
michelangelo Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 06. 2009. (22:59:23) Postovi: (69)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
niveus Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2009. (16:12:58) Postovi: (5E)16
|
|
[Vrh] |
|
genchy Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 09. 2009. (18:32:56) Postovi: (29)16
|
Postano: 13:17 ned, 21. 3. 2010 Naslov: |
|
|
f je neprekidna na citavoj domeni, tj na [latex]R[/latex], zbog neprekidnosti od [latex]|.|\; i\; a^x, a>0.[/latex]Dakle, [latex]f(x)=-(15-4^x)^2\; za\; x\le2\; i\; f(x)=-(4^x-17)^2\; za\; x\ge2.[/latex] Zbog restrikcija derivabilnih funkcija na intervalima [latex]\langle-\infty,2\rangle\;i\;\langle2,+\infty\rangle[/latex] i f je derivabilna na istim sa: [latex]f'(x)=(30-2\cdot4^x)(4^x{\cdot}ln4)\;za\;x<2\;i\;f'(x)=(34-2\cdot4^x)(4^x{\cdot}ln4)\;za\;x>2.[/latex]Sad još ostaje provjera za točku 2, gdje možeš gledat odmah lijevi i desni limes od funkcije [latex]f'[/latex], i dobiješ da limesi postoje i da su različiti ( mislim da je [latex](f')_-(2)=-2^{2x+1}{\cdot}ln4,\;a\;(f')_+(2)=-15\cdot4^xln4[/latex]), dakle f nije derivabilna u točki 2, jer da jest, funkcija[latex]f'[/latex] bi morala imati prekid druge vrste, što je nemoguće. Vjerojatno se ne traži,no [latex]f[/latex] je klase [latex]C^1[/latex] tamo gdje je derivabilna, tj. na [latex]R\setminus\{2\}[/latex].
f je neprekidna na citavoj domeni, tj na , zbog neprekidnosti od Dakle, Zbog restrikcija derivabilnih funkcija na intervalima i f je derivabilna na istim sa: Sad još ostaje provjera za točku 2, gdje možeš gledat odmah lijevi i desni limes od funkcije , i dobiješ da limesi postoje i da su različiti ( mislim da je ), dakle f nije derivabilna u točki 2, jer da jest, funkcija bi morala imati prekid druge vrste, što je nemoguće. Vjerojatno se ne traži,no je klase tamo gdje je derivabilna, tj. na .
|
|
[Vrh] |
|
niveus Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2009. (16:12:58) Postovi: (5E)16
|
|
[Vrh] |
|
derle Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 05. 2005. (17:53:46) Postovi: (47)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
niveus Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2009. (16:12:58) Postovi: (5E)16
|
|
[Vrh] |
|
A_je_to Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 02. 2009. (16:51:22) Postovi: (6D)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
kaj Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 11. 2009. (21:02:20) Postovi: (B8)16
|
|
[Vrh] |
|
gego Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 09. 2009. (21:10:55) Postovi: (1B)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
pmli Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05) Postovi: (2C8)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Genaro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 27. 10. 2009. (18:57:50) Postovi: (8B)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
|
[Vrh] |
|
pmli Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05) Postovi: (2C8)16
Spol:
|
Postano: 11:42 sub, 10. 4. 2010 Naslov: |
|
|
[quote="Genaro"]Mene isto zanima ovo neodgovoreno pitanje:
[quote]i 1.94 ispitaj neprekidnost i derivabilnost fje [latex]f(x)= || {x}^{3}+3{x}^{2}+3x+1|+ |{x}^{2}+x-6||[/latex][/quote]
Točnije, čisto sređivanje ovog izraza, makar bi to trebalo biti jednostavno valjda.[/quote]
Prvo primjetimo da možemo bez grižnje savjesti maknuti vanjsku apsolutnu vrijednost. Fakoriziranjem polinoma dobivamo [latex]f(x) = |(x+1)^3| + |(x+3)(x-2)|[/latex].
Slijedi da je [latex]f(x) = \begin{cases}
-x^3 - 2 x^2 - 2 x - 7, & x < -3\\
-x^3 - 4 x^2 - 4 x + 5, & -3 \leq x < -1 \\
x^3 + 2 x^2 + 2 x + 7, & -1 \leq x < 2 \\
x^3 + 4 x^2 + 4 x - 5, & x \geq 2
\end{cases}[/latex]
[quote="Genaro"]I sljedeće:
[latex] f\left(x \right)=\begin{cases}
x^{4} \sin\frac{1}{x}, & x\neq 0 \\
0, & x= 0
\end{cases} [/latex]
Dokazati da [latex]f \notin C^2(\mathbb{R})[/latex][/quote]
Dobi se da f ima drugu derivaciju koja ima prekid u nuli. Fora je u tome da je [latex]\lim_{x \to 0} x^n \sin \frac{1}{x} = 0[/latex], za svaki [latex]n \in \mathbb{N}[/latex] (isto i za [latex]\cos[/latex]). Kad se dovoljno puta derivira, ostane ti član [latex]\sin \frac{1}{x}[/latex] koji nema limes u nuli. Takav sličan zadatak smo radili na vježbama, pa javi ako imaš neki konkretan problem.
Ako slučajno nisi prisustvovao, [url=http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_6.pdf]zadatak 1.81[/url].
Genaro (napisa): | Mene isto zanima ovo neodgovoreno pitanje:
Citat: | i 1.94 ispitaj neprekidnost i derivabilnost fje |
Točnije, čisto sređivanje ovog izraza, makar bi to trebalo biti jednostavno valjda. |
Prvo primjetimo da možemo bez grižnje savjesti maknuti vanjsku apsolutnu vrijednost. Fakoriziranjem polinoma dobivamo .
Slijedi da je
Genaro (napisa): | I sljedeće:
Dokazati da |
Dobi se da f ima drugu derivaciju koja ima prekid u nuli. Fora je u tome da je , za svaki (isto i za ). Kad se dovoljno puta derivira, ostane ti član koji nema limes u nuli. Takav sličan zadatak smo radili na vježbama, pa javi ako imaš neki konkretan problem.
Ako slučajno nisi prisustvovao, zadatak 1.81.
|
|
[Vrh] |
|
A_je_to Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 02. 2009. (16:51:22) Postovi: (6D)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
|