Vjezbanje za kolokvij-planimetrija (objasnjenje gradiva)

[ankovacic]

Vjerojatno cete mi se smijati sto pitam ovo ali nema veze... tko pita taj ne skita . Dakle, pitanje glasi: Iz vrha A paralelograma ABCD povučene su okomice AM i AN na BC i CD, dokazite da su trokuti ABC i AMN slici.
Uspio sam dokazati da su jedino kutovi NAM i ABC jednaki...

[pmli]

Preostaje pokazati da su stranice uz taj kut proporcionalne, a za to je dovoljno pokazati da su trokuti AMB i AND slični.

[Genaro]

Evo, ja ću započeti malo s pitanjima, recimo iz zadataka za vježbu koje smo dobili, tražim pomoć, ne kompletno rješenje

3. Krakovi i kraća osnovica trapeza tangente su kržnice sa središtem na dužoj osnovici. Dokažite da je duljina duže osnovice jednaka zbroju krakova.

[pmli]

Bilo bi lijepo da se krakovi mogu jednostavno zarotirati da padnu na dulju osnovicu, zar ne?
Vidiš li neke jednakokračne trokute?

[Genaro]

Uspio sam uz pomoć skužit ovaj, hvala

Sad recimo odavde http://web.math.hr/nastava/eg/dodatni/Sukladnost0708.pdf (cini mi se da su zadaci slični ko naši) me zanima 6. zadatak. Dokazem da je AE=FC pomocu sukladnosti, ali ne znam kako dobiti da je bas EF jednak njima?

[kaj]

Ja sam ovaj zad s trapezom riješio preko površina pravokutnih trokuta, jel se tako smije ili moram isključivo pomoću sličnosti, sukladnosti, itd.

[Genaro]

Nemam pojma, ali daj svejedno malo opiši taj postupak ugrubo

[kaj]

U istoj minuti sam postao ko i ti pa sam ispravio da mislim na onaj zad s trapezom.Vidim da si ga riješio al svejedno ću ga objasnit pa se onda bacam na ovaj s paralelogramom.

Trapez:
Povučemo normale na krakove i kraću osnovicu, to su zapravo radijusi. Tako dobijem 6 pravokutnih trokuta, vidim da imam dva para sukladnih, stranice im označim već nekako i preko površine dobijem što se traži.
Samo me zanima jel je to "legalan" način na kolokviju ili treba koristiti isključivo sukladnost, sličnost...

Added after 6 minutes:

Paralelogram:

AP_1E ABF su slični. Omjer odgovarajućih stranica je 1:2 jer je P_1 polovište
od AB. Dakle |AE|=|EF|. Analogno zaključimo |EF|=|FC| pomoću trokuta FCP_2 i ECD. Dakle, |AE|=|EF|=|FC|.

[Genaro]

To je bilo brzo bogme.
Hvala, skuzio sam ja sam išao preko sukladnosti nešto petljati ali ovak je vjerojatno jednostavnije.

[pmli]

[kaj]

http://web.math.hr/nastava/eg/dodatni/Sukladnost0708.pdf

Jel zna netko 5. zad ?

[Genaro]

Pa zapravo moras dokazati da su nasuprotne stranice paralelograma BEDF jednake, a to mozes vidjeti ako pogledaš trokute AEB I DFC (za prve dvije nasuprotne stranice) i BFC i AFD za druge dvije.

Znamo da je u paralelogramu ABCD AB=CD kut(EAB)=kut(FCD) (transverzala) i kut(ABE)=kut(CDF) (jer su nasuprotni kutevi u paralelogramu jednaki, a simetrale kuta ih raspolavljaju).

Tu uocis sukladnost trokuta ABE I DFC pa zakljucis da je DF=EB. Analogno promatraš trokute BFC i AFD. Nadam se da je dobro.

[pmli]

Lako se vidi da je . Pokaži da je .

[kaj]

Nikako mi nije bilo jasno kako možemo zaključiti da su ove zadane simetrale paralelne...dalje je sve ok.Hvala.

[Genaro]

11. zadatak iz prošlogodišnjeg kolokvija:

U trapez su upisane dvije kružnice tako da svaka od njih dodiruje obje dijagonale i po jednu od osnovica. Ako su radijusi kružnica 2cm i 3cm, a duljina veče osnovice 9cm, odredite duljinu manje osnovice.

Nešto tu pokušavam preko potencije točke na kružnicu i činjenice da se dijagonale prepolavljaju, ali ne ide nekako

[kaj]

Ja bi rekao da su ti trokuti slični (kojima su upisane kružnice) , a kako im je omjer radijusa 2/3 iz toga slijedi da je omjer stranica isti pa je tražena duljina 6 cm.

[Genaro]

Točno, samo možda bi trebalo dokazati da su radijusi u istom omjeru kao i stranice, ne znam iz čega to točno slijedi?

[kaj]

Površina trokuta pomoću radijusa upisane kružnice, P = r * s

[Genaro]

Vidiš, uopće se nisam tog sjetio, a i nisam siguran može li se koriristiti jer mi kao nismo radili te koeficijente sličnosti sa površinama, ali vjerojatno je legalno.

[maty321]

jel mi moze neko pomoci kako da uopce pocnem 9 zadatak..ono sta smo dobili sa prvom zadacom za vjezbu...hvala

ugl...

U četverokutu ABCD točke E,F,G,H redom su polovista stranica. Dokazite da je EFGH paralelogram.
hvala