Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

algebra (zadatak)

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji siročići (oni koji nemaju svoj podforum) -> Matematički kolegiji
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Glupko_3.14
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 27. 09. 2007. (10:32:16)
Postovi: (77)16
Sarma = la pohva - posuda
19 = 24 - 5

PostPostano: 12:32 uto, 11. 5. 2010    Naslov: algebra Citirajte i odgovorite

ovo su zadaci sa vjezbi tako da su rijeseni, ali ipak mi nije sve jasno :D

Ako grupa G ima konacan broj podgrupa, tada je konačna.

pretpostavili smo da je G beskonacnog reda, i za svaki a iz G definirali G_a:= {a^n : n iz Z} <= G
sad je dovoljno pokazat da iz G_a=G_b slijedi da je a=b ili a=b^-1 jer onda imamo beskonacno mnogo podgrupa

G_a=G_b => a=b^n za neki n iz Z, uzmemo s min eksp vrijednoscu
b=a^m .... isto ko gore
pretp. |n|>=2 b=a^m=b^nm => nm = 1
evo, to mi nije jasno, zasto slijedi da je nm jednako 1? zasto b ne bi mogao biti element konacnog reda?
ovo su zadaci sa vjezbi tako da su rijeseni, ali ipak mi nije sve jasno Very Happy

Ako grupa G ima konacan broj podgrupa, tada je konačna.

pretpostavili smo da je G beskonacnog reda, i za svaki a iz G definirali G_a:= {a^n : n iz Z} <= G
sad je dovoljno pokazat da iz G_a=G_b slijedi da je a=b ili a=b^-1 jer onda imamo beskonacno mnogo podgrupa

G_a=G_b => a=b^n za neki n iz Z, uzmemo s min eksp vrijednoscu
b=a^m .... isto ko gore
pretp. |n|>=2 b=a^m=b^nm => nm = 1
evo, to mi nije jasno, zasto slijedi da je nm jednako 1? zasto b ne bi mogao biti element konacnog reda?



_________________
Nov, još gluplji.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Glupko_3.14
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 27. 09. 2007. (10:32:16)
Postovi: (77)16
Sarma = la pohva - posuda
19 = 24 - 5

PostPostano: 17:55 uto, 11. 5. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

Neka je G Abelova grupa. Definiramo T:={a iz G: |a|=p}. Tada je T<=G.

ja nemam svoje vjezbe da se razumijemo, i nisam bila nikad na vjezbama pa desifriram fotokopije.
u prvom redu pise komentar pretpostavljam studenta cije su to biljeske (cini se da je zadatak bio za zadacu) da za p razlicit od 1 unutra nije e pa to ne moze biti podgrupa, dobro to je jasno, onda cemo jos dodat e u T (promijenit zadatak)
sad dalje pise da ako je T definiran tako da su unutra svi elementi reda manjeg ili jednakog od p (a ne upravo jednaki p) da tvrdnja vrijedi

to ne kuzim, sto nije da ako su su dva elementa nekih razlicitih redova, manjih ili jednakih p (to su neki x i y) da je onda red elementa xy najmanji zajednicki visekratnik redova elementa x i elementa y? a onda to moze biti vece od p. tako da to onda ne bi bila podrupa

dobro, a ako gledamo samo elemente reda p, kako pokazemo da red elementa xy ne moze biti manji od p?
znaci, (xy)^n=e, n<p da vodi na x=y^-1, odnosno da iz x^n=(y^-1)^n mozemo zakljuciti da je x=y^-1? i dal mozemo uopce?
Neka je G Abelova grupa. Definiramo T:={a iz G: |a|=p}. Tada je T<=G.

ja nemam svoje vjezbe da se razumijemo, i nisam bila nikad na vjezbama pa desifriram fotokopije.
u prvom redu pise komentar pretpostavljam studenta cije su to biljeske (cini se da je zadatak bio za zadacu) da za p razlicit od 1 unutra nije e pa to ne moze biti podgrupa, dobro to je jasno, onda cemo jos dodat e u T (promijenit zadatak)
sad dalje pise da ako je T definiran tako da su unutra svi elementi reda manjeg ili jednakog od p (a ne upravo jednaki p) da tvrdnja vrijedi

to ne kuzim, sto nije da ako su su dva elementa nekih razlicitih redova, manjih ili jednakih p (to su neki x i y) da je onda red elementa xy najmanji zajednicki visekratnik redova elementa x i elementa y? a onda to moze biti vece od p. tako da to onda ne bi bila podrupa

dobro, a ako gledamo samo elemente reda p, kako pokazemo da red elementa xy ne moze biti manji od p?
znaci, (xy)^n=e, n<p da vodi na x=y^-1, odnosno da iz x^n=(y^-1)^n mozemo zakljuciti da je x=y^-1? i dal mozemo uopce?



_________________
Nov, još gluplji.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31

PostPostano: 17:59 uto, 11. 5. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote]Ako grupa G ima konacan broj podgrupa, tada je konačna. [/quote]
Ja bih to ovako: neka je G beskonačna. Pretpostavimo da postoji bar jedan element a iz G koji je beskonačnog reda. Tada je [latex]<a>\cong \mathbb{Z}[/latex], a jer [latex]\mathbb{Z}[/latex] ima beskonačno mnogo podgrupa, odmah ne valja.

Neka su onda svi elementi od G konačnog reda. Kada bi G imala konačno mnogo cikličkih podgrupa (ili beskonačno mnogo, ali mnoge od njih se podudaraju pa izbacimo te viškove), onda bi postojali [latex]a_1,a_2,\dots,a_k\in G[/latex] takvi da se svaki element a iz G nalazi u uniji [latex]<a_1>\cup<a_2>\cup\dots\cup<a_k>[/latex]. Ali ta unija ima konačno mnogo elemenata pa nikako ne možemo beskonačno mnogo elemenata iz G strpati u nju. Dakle, G mora imati beskonačno mnogo različitih cikličkih grupa, pa to opet ne valja.
Citat:
Ako grupa G ima konacan broj podgrupa, tada je konačna.

Ja bih to ovako: neka je G beskonačna. Pretpostavimo da postoji bar jedan element a iz G koji je beskonačnog reda. Tada je , a jer ima beskonačno mnogo podgrupa, odmah ne valja.

Neka su onda svi elementi od G konačnog reda. Kada bi G imala konačno mnogo cikličkih podgrupa (ili beskonačno mnogo, ali mnoge od njih se podudaraju pa izbacimo te viškove), onda bi postojali takvi da se svaki element a iz G nalazi u uniji . Ali ta unija ima konačno mnogo elemenata pa nikako ne možemo beskonačno mnogo elemenata iz G strpati u nju. Dakle, G mora imati beskonačno mnogo različitih cikličkih grupa, pa to opet ne valja.



_________________
The Dude Abides


Zadnja promjena: goranm; 20:47 uto, 11. 5. 2010; ukupno mijenjano 1 put.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31

PostPostano: 20:11 uto, 11. 5. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Glupko_3.14"]Neka je G Abelova grupa. Definiramo T:={a iz G: |a|=p}. Tada je T<=G.[/quote]
Mislim da je taj zadatak krivo zadan, da bi trebao ovako ići: neka je G Abelova grupa i [latex]T=\{a\in G:|a|<\infty\}[/latex]. Tada je [latex]T\leq G[/latex]. To je zadatak 1.3.9. u Hungerfordu.

Sad je dalje trivić. Očito je jedinica u T i za a,b iz T imamo [latex](ab)^{|a||b|}=\{G~je~Abelova\}=(a^{|a|})^{|b|}(b^{|b|})^{|a|}=e[/latex] pa je [latex]|ab|\leq |a||b|<\infty[/latex] pa je ab iz T. Jer je [latex]|a|=|a^{-1}|[/latex], tada su i inverzi sadržani u T pa je [latex]T\leq G[/latex]. :weee:
Glupko_3.14 (napisa):
Neka je G Abelova grupa. Definiramo T:={a iz G: |a|=p}. Tada je T⇐G.

Mislim da je taj zadatak krivo zadan, da bi trebao ovako ići: neka je G Abelova grupa i . Tada je . To je zadatak 1.3.9. u Hungerfordu.

Sad je dalje trivić. Očito je jedinica u T i za a,b iz T imamo pa je pa je ab iz T. Jer je , tada su i inverzi sadržani u T pa je . Weeeeeee!!!!!!!!!!!



_________________
The Dude Abides
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Glupko_3.14
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 27. 09. 2007. (10:32:16)
Postovi: (77)16
Sarma = la pohva - posuda
19 = 24 - 5

PostPostano: 22:31 uto, 11. 5. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

odlicno mi je ovo rjesenje prvog zadatka, nema sumnjivih dijelova kao ono iz vjezbi :cupkam: tenks!
odlicno mi je ovo rjesenje prvog zadatka, nema sumnjivih dijelova kao ono iz vjezbi Cupkam na mjestu... tenks!



_________________
Nov, još gluplji.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31

PostPostano: 23:58 uto, 11. 5. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

Sad da ja pitam: radi se o pokazivanju da je diedralna grupa [latex]D_n[/latex] zadana generatorima a, b i relacijama [latex]a^n=1,b^2=1,abab=1[/latex].

Uzmemo F da bude slobodna grupa generirana sa a i b, tj. F=F({a,b}) i da N bude najmanja normalna podgrupa od F koja sadrži [latex]a^n,b^2[/latex] i abab.

Neka je [latex]\pi:F\to F/N[/latex] kanonski epimorfizam. Tada je [latex]\pi(a)^n=\pi(a^n)=\pi(1)=N[/latex]. Isto tako [latex]\pi(b)^2=N, \pi(abab)=N[/latex], tj. [latex]baN=a^{-1}bN[/latex] pa F/N možemo pisati kao [latex]F/N=\{a^ib^jN:i=0,\dots,n-1,b=0,1\}[/latex], pa je [latex]|F/N|\leq 2n[/latex].

Sada tu dolazi dio koji me zbunjuje: definiramo (bar mislim da to radimo) homomorfizam [latex]f: F\to D_n[/latex] td. je f(a)=A, f(b)=B. Tu pretpostavljam da su ovi A i B generatori za [latex]D_n[/latex]? Zašto odjednom posebna oznaka za njih?

Da bi mogli napraviti faktorizaciju f kroz N mora vrijediti [latex]N\subseteq \ker{f}[/latex]. Jer je N generirana sa [latex]a^n[/latex], [latex]b^2[/latex] i abab, dovoljno je vidjeti samo kako f djeluje na njih.

Imamo

[latex]f(a^n)=(f(a))^n=A^n=1,\\
f(b^2)=(f(b))^2=B^2,\\
f(abab)=f(a)f(b)f(a)f(b)=ABAB=1[/latex]

pa je [latex]N\subseteq \ker{f}[/latex].

Sada postoji jedinstven homomorfizam [latex]\bar{f}\colon F/N\to D_n[/latex] takav da je [latex]\bar{f}(xN)=f(x)[/latex]. Jer je f epimorfizam (piše u bilješkama da je to očito, no ne vidim zašto - zato što generator preslikava u generator?), onda je i [latex]\bar{f}[/latex] epimorfizam pa je [latex]|F/N|\geq |D_n|=2n[/latex], odnosno [latex]|F/N|=2n[/latex] pa je [latex]\bar{f}[/latex] izomorfizam i onda je [latex]F/N\cong G[/latex].
Sad da ja pitam: radi se o pokazivanju da je diedralna grupa zadana generatorima a, b i relacijama .

Uzmemo F da bude slobodna grupa generirana sa a i b, tj. F=F({a,b}) i da N bude najmanja normalna podgrupa od F koja sadrži i abab.

Neka je kanonski epimorfizam. Tada je . Isto tako , tj. pa F/N možemo pisati kao , pa je .

Sada tu dolazi dio koji me zbunjuje: definiramo (bar mislim da to radimo) homomorfizam td. je f(a)=A, f(b)=B. Tu pretpostavljam da su ovi A i B generatori za ? Zašto odjednom posebna oznaka za njih?

Da bi mogli napraviti faktorizaciju f kroz N mora vrijediti . Jer je N generirana sa , i abab, dovoljno je vidjeti samo kako f djeluje na njih.

Imamo



pa je .

Sada postoji jedinstven homomorfizam takav da je . Jer je f epimorfizam (piše u bilješkama da je to očito, no ne vidim zašto - zato što generator preslikava u generator?), onda je i epimorfizam pa je , odnosno pa je izomorfizam i onda je .



_________________
The Dude Abides
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
rafaelm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 12. 2006. (13:30:11)
Postovi: (21F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
76 = 86 - 10
Lokacija: Zagreb

PostPostano: 11:53 sri, 12. 5. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="goranm"]Sada tu dolazi dio koji me zbunjuje: definiramo (bar mislim da to radimo) homomorfizam [latex]f: F\to D_n[/latex] td. je f(a)=A, f(b)=B. Tu pretpostavljam da su ovi A i B generatori za [latex]D_n[/latex]? Zašto odjednom posebna oznaka za njih?
[/quote]

[latex]a[/latex] i [latex]b[/latex] su iz [latex]F[/latex] - slobodni elementi, a [latex]A[/latex] i [latex]B[/latex] su iz diedralne grupe za koje znaš da postoje i zadovojavaju navedene relacije. Pa možeš definirati takav homomorfizam [latex]f[/latex] - jedinstven je jer je [latex]F[/latex] slobodnda grupa.

Razlikujemo [latex]a[/latex] i [latex]A [/latex]valjda na ne miješamo kruške i jabuke.

A [latex]f[/latex] je epimorfizam naravno, jer su mu u slici svi generatori od [latex]D_n[/latex].

U takvim zadacima često je koristan Van Dyckov teorem (8.5 u Hungyju)
goranm (napisa):
Sada tu dolazi dio koji me zbunjuje: definiramo (bar mislim da to radimo) homomorfizam td. je f(a)=A, f(b)=B. Tu pretpostavljam da su ovi A i B generatori za ? Zašto odjednom posebna oznaka za njih?


i su iz - slobodni elementi, a i su iz diedralne grupe za koje znaš da postoje i zadovojavaju navedene relacije. Pa možeš definirati takav homomorfizam - jedinstven je jer je slobodnda grupa.

Razlikujemo i valjda na ne miješamo kruške i jabuke.

A je epimorfizam naravno, jer su mu u slici svi generatori od .

U takvim zadacima često je koristan Van Dyckov teorem (8.5 u Hungyju)


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Glupko_3.14
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 27. 09. 2007. (10:32:16)
Postovi: (77)16
Sarma = la pohva - posuda
19 = 24 - 5

PostPostano: 19:40 sri, 12. 5. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="rafaelm"]
U takvim zadacima često je koristan Van Dyckov teorem (8.5 u Hungyju)[/quote]

9.5
prvo sam pogledala 8.5 i mislila da sam potpuno poludila :lol:

ajmeee ove vjezbe iz algebre, bas mi se place :sam:

[size=9][color=#999999]Added after 21 minutes:[/color][/size]

rafaelm, ti izgleda razumijes, oces doc sutra kod mene doma? da mi malo objasnis? ja nista ne razumijem, jos sam se ful jako udarila u glavu ujutro i tko zna koliko je tom prigodom mozdanih stanica odumrlo :glavobolja:

postavila bi ovdje konkretna pitanja, ali nisam uspjela doci do tog nivoa razumijevanja gradiva. uz velike poteskoce nazirem sto bi to bila slobodna grupa, ali ove biljeske iz kojih ucim su ko jedna velika namjestaljka nekog tko ne zeli da drugi shvate o cemu je rijec :fuj:
rafaelm (napisa):

U takvim zadacima često je koristan Van Dyckov teorem (8.5 u Hungyju)


9.5
prvo sam pogledala 8.5 i mislila da sam potpuno poludila Laughing

ajmeee ove vjezbe iz algebre, bas mi se place Ja sam sasvim sam

Added after 21 minutes:

rafaelm, ti izgleda razumijes, oces doc sutra kod mene doma? da mi malo objasnis? ja nista ne razumijem, jos sam se ful jako udarila u glavu ujutro i tko zna koliko je tom prigodom mozdanih stanica odumrlo Boli me glava

postavila bi ovdje konkretna pitanja, ali nisam uspjela doci do tog nivoa razumijevanja gradiva. uz velike poteskoce nazirem sto bi to bila slobodna grupa, ali ove biljeske iz kojih ucim su ko jedna velika namjestaljka nekog tko ne zeli da drugi shvate o cemu je rijec Danas sam si sam kuhao rucak...



_________________
Nov, još gluplji.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji siročići (oni koji nemaju svoj podforum) -> Matematički kolegiji Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan