homotopnost

[PopStevo]

zna li tko točnu radnu definiciju homotopnosti dvaju puteva u otvorenu skupu kompleksnih brojeva?
koristi li se definicija sa stranice 30 (u pdf 40) skripte matematičke analize 4 (samo prilagođena za C umjesto R2)?
http://web.math.hr/~ungar/NASTAVA/MA/Analiza4.pdf

ako da, imao bih još nekih pitanja
hvala

[goranm]

Da, tako se definira (glatka) homotopnost u općenitim topološkim prostorima (iako bez dodatnog zahtjeva na glatkoću funkcije) pa posebno vrijedi i za .

_________________
The Dude Abides

[PopStevo]

znači putevi da bi imali šansu biti homotopni moraju imati zajedničke rubove?

[goranm]

U smislu ove definicije, da, i homotopija ih mora ostaviti fiksnima.

U smislu općenitije definicije na topološkim prostorima, ne moraju, jer bilo koje dvije neprekidne funkcije f i g mogu biti homotopne ukoliko postoji neprekidna H: X x [0,1]→Y td. je H(x,0)=f(x), H(x,1)=g(x), nema zahtjeva na fiksiranje rubnih točaka. Kada se radi s putevima obično se govori o homotopiji puteva, i onda se podrazumijeva da su rubne točke fiksne.

_________________
The Dude Abides

[PopStevo]

eh sad me dalje zanima
nulhomotopnost puta znači da postoji konstantna funkcija takva da su i homotopne?

[goranm]

Bitno je da se radi o zatvorenom putu, tj. petlji. U smislu ove definicije put od A do B ne može bit nulhomotopan jer to bi značilo da u nekom trenutku t ili A ili B ili obje početne točke ne ostaju fiksne.

_________________
The Dude Abides

[PopStevo]

znači svi nulhomotopni putevi zatvoreni su.
e sad, ako su dva zatvorena puta homotopna, to znači da se sijeku u jednoj točki koja je fiksna s obzirom na homotopiju?

[goranm]

S obzirom na prvu definiciju, da, homotopija bi barem jednu točku ostavila fiksnu i svi putevi bi se sijekli u njoj.

No općenito to ne mora biti. U skripti je općenitije definirana homotopija zatvorenih puteva tako da početna točka ne mora biti ista (str. 32, odnosno 42), samo se zahtjeva da homotopija ne razdvoji zatvoren put u put kojemu su početna i završna točka različite.

_________________
The Dude Abides

[PopStevo]

ok. nisam bio primijetio definiciju homotopnosti zatvorenih puteva

u teoremu 34.3, tvrdnja (i) kaže da je moguće primijeniti opći Cauchyjev teorem na spomenuta dva homotopna zatvorena puta. kako ga primijeniti?

[Glupko_3.14]

ja isto to ne kuzim. zapravo, ako "primijenim cauchyjev teorem" na bilo koji od tih puteva ispadne da je indeks 0 stalno. PopStevo, jel tebe isto to muci?

mozda si skuzio u medjuvremenu?

_________________
Nov, još gluplji.

[PopStevo]

nije to točno ono što me muči, ali blizu je
na ova dva zatvorena puta ne možeš primijeniti izrijek teorema jer putevi u 34.3(i) nisu nulhomotopni.
a nisam još skužio ovo što me muči. do utorka ću pitati profesora

[Glupko_3.14]

da, da, istina, to sam skuzila malo poslije kad sam citala dokaz tvrdnje (iii)
jooj, jako se veselim odgovoru!!!

_________________
Nov, još gluplji.

[Glupko_3.14]

bok, sad je srijeda

mislim da bi to bilo kao u dokazu korolara 34.6, pa primijenimo opci cauchyjev teorem na gama 1, tu neku spojnicu, - gama 2 i spojnicu u drugom smjeru (taj put je nulhomotopan)
ali kao sto vidis, dosta slampavo sam to srocila

_________________
Nov, još gluplji.

[PopStevo]

hehe i imam odgovor, pitao sam profesora
ne primjenjuješ tvrdnju Cauchyjeva teorema, nego dokaz.
ali ima jedna suptilnost- postoje dvije definicije homotopnosti koje se koriste (kako je ovdje već spominjano). pogledaj ih, stranice 30 i 32 ovdje: http://web.math.hr/~ungar/NASTAVA/MA/Analiza4.pdf

dakle, ako imaš nulhomotopan zatvoren put, onda ga možeš raspoloviti na dva homotopna puta sa zajedničkim rubnim točkama (i to je tvrdnja koju bi se zapravo trebalo dokazati). i slijedi dokaz iz skripte

eh, za ovu spornu tvrdnju o indeksu potrebno je dokazati jednakost integrala po homotopnim zatvorenim putevima koji ne moraju nužno imati zajedničke rubne točke. koristi se druga definicija pa dokaz dan za Cauchyjev teorem nije dokaz te tvrdnje. ali da bi se ona ipak dokazala, postupak je potpuno analogan dokazu Cauchyjeva teorema. samo uz par različitih detalja

valjd nisam previše zakomplicirao ali to ti je ako baš hoćeš da sve bude precizno...

Added after 3 minutes:

i šema s integralom po vijencu i slični trikovi nisu ono na što je profesor ciljao u dokazu 34.3(i)

[Glupko_3.14]

pa mislim da razumijem, dakle nisi previse zakomplicirao

daj jos reci sad, iako to nije ono na sto je profesor ciljao, kaj ne bi bilo i to dobro?
(pod spojnica koju sam ranije spomenula sam mislila na put tau(s)=H(a,s)=H(b,s) )

_________________
Nov, još gluplji.

[PopStevo]

nisam točno skužio kako si mislila...
znači, uzmem dva zatvorena homotopna puta. što sad s njima napravim?

[Glupko_3.14]

da, da, znaci dva homotopna zatvorena puta, i uzmemo treći put koji ih spaja, njega bas nadjemo pomocu homotopije, odnosno uzmemo to je nacrtano na stranici 32 skripte, odnosno takav put je definiran na pocetku stranice 33

i sada uzmemo da je put koji promatramo i na koji cemo primijeniti opci Cauchyjev teorem suma puteva
to je zatvoren put, i nulhomotopan je (kao i put na vrhu stranice 102) pa kad na njega primijenimo tm dobijemo da je integral po tom putu 0, a s druge strane kada ga raspisemo pokrati nam se tocno tako da dobijemo da je integral po jednak integralu po

valjda

_________________
Nov, još gluplji.

[PopStevo]

da, to je u biti taj dokaz koji mi je profesor rekao

[Glupko_3.14]

vuhuuuu

samo kaj nisam ipak onda izgleda razumjela sto si napisao, meni se to cinilo malo kompliciranije od ovog, sa vise koraka. aaaa dokaz pa daaa taj postupak je u biti u dokazu jer je to zapravo integral homotopije po stranicama pravokutnika jes jes

hvala sto si prenio profesorov odgovor, mene je strah bilo sto pitat profesora jer sam trebala polozit ovaj kolegij pred 4 godine

_________________
Nov, još gluplji.