Teorem o zadavanju linearnog operatora na bazi

[Gost]

Teorem:

V,W su konačno dimenzionalni vektorski prostori,dimV=n.
{v_1,...,v_n}-baza za V.
{w_1,...,w_n}-proizvoljan skup vektora iz W.

Tvrdnja teorema:
Postoji jedinstveni linearni operator takav da vrijedi: A(v_i)=w_i i=1...n

Moja tvrdnja:
Kako ja iz W uzimam _proizvoljan_ skup vektora i pogađam ih sa svojim lin.operatorom A to znači da mi A mora biti _surjekcija_?
A kako je svojstvo baze da su njeni elementi(vektori) različiti i imam ih n, i imam skup u kodomeni koji se sastoji od n-vektora, to znači da će linearni operator biti i injekcija?
Zapravo,znači li to doista?
Ako imam skup od n-vektora _proizvoljno_ odabranih mogu li ja uzeti dva puta isti element?
U tom slučaju mi lin.op. ne mora biti injekcija.

Znam da teorem kaže da zadati lin.operator na bazi je isto što i zadati lin.operator na cijeloj domeni zbog jedinstvenosti linearnog operatora.

Upravo su vektori baze odnosno njihova linearna kombinacija kreatori bilo kojeg vektora domene,pa,ako znam djelovanje lin.funkcije na vektore baze znam i djelovanje lin.funkcije na bilo koji vektor jer je svaki vektor sazdan od vektora baze.

[sleeper]

O tome kakvo će posebno svojstvo imati operator A odlučuje izbor vektora w_1,...w_n. To može biti skup izvodnica kodomene pa će tada A biti surjektivan. (Uz uvjet da dim W nije veća od n).
A može biti injektivan ako izabrani vektori čine lin.nezavisan skup u kodomeni (uz uvjet da je dim W najmanje n).
Među izabranim vektorima w_i može biti jednakih, štoviše svi smiju biti jednaki. U svakom slučaju A će biti jednoznačno zadan djelovanjem na bazi domene.

[Gost]

[veky]

[Gost]

[Gost]

Linearna 3 i 4 ne postoji, zasad, postoji npr. kolegij Vektorski prostori, ali ovdje nije u pitanju nikakva "naprednija" lin.algebra s nekim težim dokazima nego baš ona elementarna. Na predavanjiam se obično dokaže da je linearni operator injektivan ako i samo ako svaki lin.nezavisan skup preslikava u lin.nezavisan skup. U tome je sadržana cijela stvar, ako je dobro razumijem tvoje pitanje.

[Gost]

Aha!
Ma ne kažem da je dokaz gadan već mislim da smo mi taj dokaz mimoišli pa pretpostavih da profesor od nas očekuje da si to sami dokažemo.

[Gost]

Sad, ne znam je li vaš nastavnik zaobišao taj dokaz, ali mislim da se obično u tom dokazu već barata s činjenicom da je lin. operator injektivan ako i samo ako mu se jezgra sastoji samo od nul-vektora. To olakšava razmatranje. Možda to nisi uočio?

[veky]

[Gost]

[veky]

[Gost]

[veky]

[Gost]

[veky]