Teorem o rangu i defektu

[Gost]

Teorem o rangu i defektu kaže:
Neka su V i W konačno dimenzionalni vektorski prostori nad poljem F.
Neka je f linearna funkcija definirana na V sa vrijednostima u W.
Tvrdnja teorema:
dimV=dim(imf)+dim(kerf)

Zanima me zašto se zahtjeva da je funkcija f linearna ?

[Gost]

Zato što to i jest teorem o linearnim funkcijama (operatorima), bez koje pretpostavke npr. slika ni jezgra funkcije ne bi općenito bili potprostori - pa ne bi niti imali dimenziju i cijela stvar ne bi bila suvisla.
Inače, nije nužno da W bude konačnodimenzionalan, dovoljno ja da to bude V pa je onda i Im f konačne dimenzije.

[Gost]

Hvala!
A zašto slika i jezgra općenito nebi bili potprostori ?
Što to ima linearna funkcija,a da nema nelinearna funkcija?To ima veze s ona dva svojstva:aditivnost i homogenost ?
To je jedino što imam kao razliku nelinearne funkcije i linearne funkcije.

[Gost]

Da bi podskup S vektorskog prostora V bio potprostor, nužno je i dovoljno da svaka linearna kombinacija vektora iz S bude također element iz S. Slika nelinarne funkcije neće općenito imati to svojstvo (malo raspiši pa ćeš vidjeti), kao ni jezgra tj podskup onih vektora iz V koje f preslikava u nulvektor iz W. Naravno da su tu bitni aditivnost i homogenost kad ta svojstva i čine linearnost funkcije, koja je time "usklađena" s operacijama na vektorskom prostoru. Općenito je zapravo riječ o homomorfizmu algebarskih struktura, preslikavanju koje je usklađeno s operacijama - f(a*b) = f(a) °f(b), bez obzira kakve su konkretno operacije * i °.
Slika Im f je konačne dimenzije ako je V takav, jer slike vektora baze od V čine skup izvodnica za Im f.

[Gost]

[Gost]

Pogledaj si dokaze, s predavanja ili u literaturi, da su Ker f i Im f potprostori odgovarajućih prostora, V odnosno W pa ćeš vidjeti gdje se koristi linearnost f tj. gdje ne možeš općenito ništa zaključiti bez linearnosti.
Npr. neka su x,y iz Im f, što znači da postoje neki a, b iz V takvi da je
x=f(a), y=f(b). Sad za bilo koje skalare alfa i beta treba vrijediti da je
vektor
alfa * f(a) + beta * f(b)
u skupu Im f, dakle da je to f(c) za neki vektor c iz V.
Sad, ako f jest linearna, onda je
alfa * f(a) + beta * f(b) = f( alfa *a + beta *b) pa je c = alfa *a + beta *b
traženi vektor c iz V.

U suprotnom, dovoljno je naći neki protuprimjer - tj. da Im f ne mora biti potprostor ako f nije linearna funkcija. Recimo, na uređenim parovima realnih brojeva, neka je f((a,b)) = (a^2, 0). Sliku te funkcije čine svi parovi oblika (x,0) gdje je x nenegativan broj, ali takvi parovi ne čine potprostor u R^2 jer npr. nema suprotnog vektora (-x,0) za x različit od 0. Korisno je samostalno smisliti neke slične primjere, a i za Ker f.

[Gost]

Puno hvala!