Funkcija, slika, praslika, intervali rasta i pada,... (zadatak)

[CROmpir]

Evo imam jedan problemcic, nisam sreo jos ovakav zadatak pa ako netko zna da mi pomogne rijesiti..

Funkija f:R-R t.d za svaki x vrijedi:

x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x-2=f(x+1)

a). Izvedite formulu za f
b). Odredite sliku za f i skup f^-1 ([-9/4, 0])
c). Odredite intervale rasta i pada funkcije f i na svakom od njih nadite inverznu funkciju restrikcije od f na taj interval.

[mornik]

Dobro, s izuzetkom a) stvar je dosta tipična, makar, moram priznati, krajnje odvratna.

U svakom slučaju, hajde da izvedemo a). Umjesto ćemo uvrstiti u jednakost . Tako ćemo dobiti s desne strane , a to nam je tražena formula za .

Dobro, dakle, imamo . Kad to raspišeš, što je posao koji se svakom iole razumnom građaninu ove zemlje gadi, dobijemo .

Sad b) vjerojatno znaš riješiti - naprosto se radi o kompoziciji funkcija i . Stoga vjerojatno onda nije problem naći sliku i prasliku funkcije - reci ako treba pomoć.

Naposljetku, pogledajmo c), čime dolazimo do još jednog krajnje odvratnog podzadatka. Dobro, dakle, zanima nas kada je funkcija rastuća. ponovno prikazujemo kao kompoziciju funkcija i . OK, sad, razlikovat ćemo nekoliko slučajeva:

Prvo, neka je . Tada je rastuća funkcija. E, sad, ovaj dio je malo teško objasniti, a i malo smo neprecizni, but here it is. Dakle, neka je . Tada imamo da je padajuća funkcija (zato smo uzeli baš tu granicu za ), to lako provjeriš s grafa ili kako već. E, sad, ako uzmemo , tj. , imamo kompoziciju padajuće i rastuće (svugdje u ovom zadatku radi se o strogo padajućim i strogo rastućim funkcijama, zapravo... to nam treba da znamo da inverzi postoje) funkcije, pa je tu funkcija padajuća. Analogno, za imamo kompoziciju dvije rastuće funkcije, pa je stvar rastuća. Dakle, na funkcija pada, a na raste.

Ako je , stvar ide potpuno analogno ( je neparna funkcija, uostalom, pa možemo to direktno iskoristiti kao argument). Funkcija tu, dakle, (strogo) pada na , a (strogo) raste na .

Sad ostaje još sitan element traženja inverza na tim intervalima. Pa dobro: rješavamo . Budući da s desne strane mi imamo kvadratnu jednadžbu po , znamo da je . Dakle, . U ovom smo trenutku zapravo gotovi - našli smo sva četiri inverza. Sad nam samo ostaje pitanje koji pripada kojem intervalu. U intervalima i je negativan, pa se prvi pretvara u minus. E, sad, u ovom intervalu koji ide iz minus beskonačnosti, je veći od , pa drugi postaje plus. Razmišljanja su potpuno analogna za ostala tri intervala: za prvi gledaš je li pozitivan ili negativan, a za drugi gledaš je li veće ili manje od . Dakle, napokon smo došli do kraja, wee!

Sasvim je vjerojatno da nešto nije jasno... zaboga, pa nije ni meni u ovom trenutku.

[lavicha]

ja sam se pogubila malo....
dakle, kod praslike kompozicije.. u ovom slucaju, kompozicija je f=f1of2, dali trazim prvo prasliku na odredenom intervalu od f2, pa onda to sto dobim gledam u f1? ili prvo gledam prasliku od f1 na odredenom(zadanom) intervalu, pa sto dobim gledam u f2?

_________________
‎....I think about the little things that make life great!!

[Rufert]

Da li R(f) predstavlja interval u kojem se nalazi f(x), a D(f) interval u kojem se nalazi x, to me malo buni?

[Cobs]

[Joker]

pitanje!!!

ako je funkcija zadana f(x)=4. korijen iz X (nzm to ljepse zapisat)

trazi se slika na intervalu od [-4,0]...

koje je rjesnje?

[Tomislav]

Slika je 0, jer funkcija nije definirana za niti jedan drugi element u zadanom intervalu, osim 0.

[frutabella]

[Tomislav]

0 je element intervala [-4,0]. Tako da f(0) = 0, pa je slika intervala [-4,0] jedan jedini element, i to 0. Stvarno ne shvacam sto nije tu jasno...

[Joker]

blago tebi kad ne shvacas sta tu nije jasno,samo sam htjela biti sigurna u rjesenje...hvala na pomoci

[PermutiranoPrase]

Da ne otvaram novu temu... Malo pitanjce, možda glupo, ali me zbunjuje:
Ako tražim sliku funkcije [tex]f(x) = \sqrt x[/tex] na nekom pozitivnom intervalu, npr. [1,4], hoće li mi rješenje biti samo pozitivan interval, [1,2] ili oba intervala, [-2,-1]U[1,2]? Samo pozitivan, je l da?

[kenny]

Protupitanje: što je domena, a što kodomena funkcije [tex]f(x) = \sqrt{x}[/tex]? Time sam ti sve rekao...

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[PermutiranoPrase]

Domena sve pozitivno, kodomena isto... Jer u protivnom bi za isti x postojale 2 vrijednosti, a onda to nije funkcija.

[goranm]

[PermutiranoPrase]

E, hvala na ispravku. Vezano uz to, sjetih se sada, R+ uključuje sve poz.realne brojeve, nulu ne?

I još jedan zadatak me mori, nešto slično tome smo radili na vježbama, ali ovaj je dosta kompliciraniji i čudno mi ispada:
Kolokvij 2009., 3. Odredi [tex]f^{-1}([0,1]), f(x) = |2x^2 + 2x - |x^2 - 1|[/tex]. Ovo se ne može napisati kao kompozicija nego bih trebala rastavljati na slučajeve, pa napraviti graf, pa iz grafa iščitati rješenje, ili?

[Zenon]

[Shaman]

apsolutna vrijednost je uvijek veca od nule a kako je vece ili jednako mozes naci samo nultocke, i onda rijesiti izraz pod apsolutnom vrijednoscu manje jednako 1, dobijes kao rezultat od -2 do -2/3 unija od 0 do 0.55 sve ukljceno. nultocke se nalaze u tom intervalu.
naravo moras promatrati izraz x^2-1 kad je pozitivno a kad negativno pa ima malo vise posla jer to moras napraviti za obje nejednazdbe kad je vece ili jednako od -1 i manje ili jednako od 1.

_________________
it was merely a setback

[PermutiranoPrase]

Hvala! Riješila sam sad preko nejednadžbi, ne grafa, konačno, iz 3.pokušaja ispada normalno sigurno rješenje. (1.rješavanje propalo, u 2.rješavanju graf mi je nekako sumnjivo ispao, vjerojatno je bio dijelom kriv).

[sasha.f]

4. zadatak, kolokvij 2005., može netko napisat koja je slike funkcije?

[angelika]

Može pomoć... kako se računski traži slika racionalnih funkcija?
npr. f(x)= (4x+1)/(2x+3)