Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
[Vrh] |
|
veky Forumaš(ica)

Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43) Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
Postano: 11:37 pet, 21. 5. 2004 Naslov: Re: Teorem o izomorfnosti |
|
|
[quote="Anonymous"]Teorem.
Ako je V n-dimenzionalan vektorski prostor nad poljem F onda je V izomorfan s:
a)Mnx1(F)
b)F^n
Samo jedan detalj dokaza me zanima:
Definirali smo funkciju-bijekciju(takva mora postojati za izomorfnost v.prostora) i moramo dokazati da je linearna i bijekcija.
f:V->Mnx1(F),a@F
f( suma od i=1 do m[/quote]
_n_
[quote] pribrojnika:a_i*v_i )=[a_1...a_2[/quote]
:shock: 2 ?? Opet _n_ .
[quote]]@Mnx1(F)
Dakle mi smo uzeli da funkcija ''uzima'' skalare iz lin.kombinacije vektora domene[/quote]
Ne bilo kakvih. _Vektorâ baze_.
[quote] i preslikava[/quote]
"Preslikava" je ovdje kriva riječ. Možeš reći "od njih formira matricu stupac", ali ne "preslikava (skalare)", jer ono što f preslikava su vektori.
[quote] ih u matricu stupac kao element kodomene.
Funkcija je očito injekcija jer su skalari iz linearne kombinacije vektora domene jedinstveni odnosno za svaki vektor domene je izbor skalara jedinsven,pa imamo svojstvo da različitima pridružujemo različito.[/quote]
Ne. To što svaki vektor ima jedinstvene koeficijente nema ništa s činjenicom da je f injektivna. Npr. svaki realni broj ima jedinstven kvadrat, pa svejedno kvadriranje nije injekcija.
Stvar je u tome da različitim vektorima odgovaraju različiti skalari u linearnoj kombinaciji (linkomb vektorâ baze je jedinstveno određena svojim koeficijentima), pa njima odgovaraju različite matrice.
Bolje, kontrapozicijom:
Pretpostavimo da dva vektora w1=sum_i a_i v_i i w2=sum_i b_i v_i imaju iste f-ove:
f(w1)=f(sum_i a_i v_i)=[a_i]_i=[b_i]_i=f(sum_i b_i v_i)=f(w2) .
Iz [a_i]_i=[b_i]_i dobivamo a_i=b_i za sve i , pa je onda
w1=sum_i a_i v_i=sum_i b_i v_i=w2 . So, f(w1)=f(w2) povlači w1=w2 , pa je f injekcija.
[quote]Funkcija je očito i surjekcija jer se za kodomenu koja je F iscrpljuju svi F u domeni.[/quote]
Ne, jer kodomena nije F .
Funkcija je surjekcija zato što je svaki [a_i]_i iz kodomene slika nekog vektora iz domene, konkretno vektora sum_i a_i v_i .
[quote]Pitanje:
Da smo definirati funkciju ovako:
f( suma od i=1 do m pribrojnika:a_i*v_i )=[b_1...b_2]@Mnx1(F) , b_i@F za i=1...n
Kakva je ovo funkcija?[/quote]
(Uz iste napomene o čudnim indeksima m i 2 gore,) ovo nije funkcija. Naime, b_i su slobodne varijable. Svako polje ima bar dva elementa, 0 i 1 . Niste radili trivijalne vektorske prostore, pa je n bar 1 . Dakle, postoje bar dvije matrice koje su pridružene jednom te istom vektoru - jedna koja počinje s 0 , i druga koja počinje s 1 . So, ne radi se o funkciji.
HTH,
Anonymous (napisa): | Teorem.
Ako je V n-dimenzionalan vektorski prostor nad poljem F onda je V izomorfan s:
a)Mnx1(F)
b)F^n
Samo jedan detalj dokaza me zanima:
Definirali smo funkciju-bijekciju(takva mora postojati za izomorfnost v.prostora) i moramo dokazati da je linearna i bijekcija.
f:V→Mnx1(F),a@F
f( suma od i=1 do m |
_n_
Citat: | pribrojnika:a_i*v_i )=[a_1...a_2 |
2 ?? Opet _n_ .
Citat: | ]@Mnx1(F)
Dakle mi smo uzeli da funkcija ''uzima'' skalare iz lin.kombinacije vektora domene |
Ne bilo kakvih. _Vektorâ baze_.
"Preslikava" je ovdje kriva riječ. Možeš reći "od njih formira matricu stupac", ali ne "preslikava (skalare)", jer ono što f preslikava su vektori.
Citat: | ih u matricu stupac kao element kodomene.
Funkcija je očito injekcija jer su skalari iz linearne kombinacije vektora domene jedinstveni odnosno za svaki vektor domene je izbor skalara jedinsven,pa imamo svojstvo da različitima pridružujemo različito. |
Ne. To što svaki vektor ima jedinstvene koeficijente nema ništa s činjenicom da je f injektivna. Npr. svaki realni broj ima jedinstven kvadrat, pa svejedno kvadriranje nije injekcija.
Stvar je u tome da različitim vektorima odgovaraju različiti skalari u linearnoj kombinaciji (linkomb vektorâ baze je jedinstveno određena svojim koeficijentima), pa njima odgovaraju različite matrice.
Bolje, kontrapozicijom:
Pretpostavimo da dva vektora w1=sum_i a_i v_i i w2=sum_i b_i v_i imaju iste f-ove:
f(w1)=f(sum_i a_i v_i)=[a_i]_i=[b_i]_i=f(sum_i b_i v_i)=f(w2) .
Iz [a_i]_i=[b_i]_i dobivamo a_i=b_i za sve i , pa je onda
w1=sum_i a_i v_i=sum_i b_i v_i=w2 . So, f(w1)=f(w2) povlači w1=w2 , pa je f injekcija.
Citat: | Funkcija je očito i surjekcija jer se za kodomenu koja je F iscrpljuju svi F u domeni. |
Ne, jer kodomena nije F .
Funkcija je surjekcija zato što je svaki [a_i]_i iz kodomene slika nekog vektora iz domene, konkretno vektora sum_i a_i v_i .
Citat: | Pitanje:
Da smo definirati funkciju ovako:
f( suma od i=1 do m pribrojnika:a_i*v_i )=[b_1...b_2]@Mnx1(F) , b_i@F za i=1...n
Kakva je ovo funkcija? |
(Uz iste napomene o čudnim indeksima m i 2 gore,) ovo nije funkcija. Naime, b_i su slobodne varijable. Svako polje ima bar dva elementa, 0 i 1 . Niste radili trivijalne vektorske prostore, pa je n bar 1 . Dakle, postoje bar dvije matrice koje su pridružene jednom te istom vektoru - jedna koja počinje s 0 , i druga koja počinje s 1 . So, ne radi se o funkciji.
HTH,
|
|
[Vrh] |
|
ZELENIZUBNAPLANETIDO SADE Forumaš(ica)


Pridružen/a: 04. 03. 2004. (19:56:15) Postovi: (54F)16
Lokacija: hm?
|
Postano: 11:46 pet, 21. 5. 2004 Naslov: Re: Teorem o izomorfnosti |
|
|
[quote="Anonymous"]f( suma od i=1 do m pribrojnika:a_i*v_i )=[b_1...b_2]@Mnx1(F) , b_i@F za i=1...n
Kakva je ovo funkcija?[/quote]
a b_i bi bili?
[b_1...b_n], mislis?
a_1,...a_n je, pretpostavljam baza prostora?
U svakom slucaju: definirao si linearni operator na bazi. Kakav god bio odabir skalara b_i fja f ce biti linearni operator.
Dimenzija domene je jednaka dimenziji kodomene.
Dakle: R(f)<=dimMnx1
2 sl.
1) R(f)=n => Kerf=0 => f-ja je injekcija, a buduci da je i surjekcija...
2) R(f)<n => postoji M e Mnx1 koji nije u slici => fja nije surjekcija i R(f)<dimV pa nije ni injekcija
Dakle: ukoliko je [b1...b2] lin. nezavisan, tj. baza prostora, onda imas izomorfizam. Inace nemas nista :)
[color=darkred]AL DI stigne izmedju Pregledaj i Posalji ???![/color] :rotfl: :rotfl: :D :lol: :rotfl:
Anonymous (napisa): | f( suma od i=1 do m pribrojnika:a_i*v_i )=[b_1...b_2]@Mnx1(F) , b_i@F za i=1...n
Kakva je ovo funkcija? |
a b_i bi bili?
[b_1...b_n], mislis?
a_1,...a_n je, pretpostavljam baza prostora?
U svakom slucaju: definirao si linearni operator na bazi. Kakav god bio odabir skalara b_i fja f ce biti linearni operator.
Dimenzija domene je jednaka dimenziji kodomene.
Dakle: R(f)⇐dimMnx1
2 sl.
1) R(f)=n ⇒ Kerf=0 ⇒ f-ja je injekcija, a buduci da je i surjekcija...
2) R(f)<n ⇒ postoji M e Mnx1 koji nije u slici ⇒ fja nije surjekcija i R(f)<dimV pa nije ni injekcija
Dakle: ukoliko je [b1...b2] lin. nezavisan, tj. baza prostora, onda imas izomorfizam. Inace nemas nista
AL DI stigne izmedju Pregledaj i Posalji ???!
_________________
Pupoljak nije negiran. Rekao sam to i ponovit cu to jos jedanput. Pupoljak NIJE negirAn.
MADD
(Mothers Against Dirty Dialectics)
Based on a true story. NOT.
Ko ih sljivi, mi sviramo punk 
|
|
[Vrh] |
|
veky Forumaš(ica)

Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43) Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
[Vrh] |
|
vsego Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09) Postovi: (3562)16
Spol: 
Lokacija: /sbin/init
|
|
[Vrh] |
|
ZELENIZUBNAPLANETIDO SADE Forumaš(ica)


Pridružen/a: 04. 03. 2004. (19:56:15) Postovi: (54F)16
Lokacija: hm?
|
Postano: 14:40 pet, 21. 5. 2004 Naslov: |
|
|
PA NIsam ni ja od jucer !? :sillyroll: Provjerim da me nije (opet) pretekao prije nego stisnem Posalji, al.... :D
PA NIsam ni ja od jucer !? Provjerim da me nije (opet) pretekao prije nego stisnem Posalji, al....
_________________
Pupoljak nije negiran. Rekao sam to i ponovit cu to jos jedanput. Pupoljak NIJE negirAn.
MADD
(Mothers Against Dirty Dialectics)
Based on a true story. NOT.
Ko ih sljivi, mi sviramo punk 
|
|
[Vrh] |
|
vsego Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09) Postovi: (3562)16
Spol: 
Lokacija: /sbin/init
|
|
[Vrh] |
|
veky Forumaš(ica)

Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43) Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
[Vrh] |
|
veky Forumaš(ica)

Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43) Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
Postano: 14:52 pet, 21. 5. 2004 Naslov: Re: Teorem o izomorfnosti |
|
|
[quote="ZELENIZUBNAPLANETIDOSADE"][quote="Anonymous"]f( suma od i=1 do m pribrojnika:a_i*v_i )=[b_1...b_2]@Mnx1(F) , b_i@F za i=1...n
Kakva je ovo funkcija?[/quote]
a b_i bi bili?
[b_1...b_n], mislis?
a_1,...a_n je, pretpostavljam baza prostora?[/quote]
Khm... ne, valjda. Naime, prije ih je trpao u matricu, pa su to valjda skalari - koeficijenti, a v_i su baza prostora. U skladu i s uobičajenim pisanjem skalara prije vektora u hibridnom produktu...
[quote]U svakom slucaju: definirao si linearni operator na bazi.[/quote]
Jest, ali ga je definirao i svuda drugdje. :-/
[quote] Kakav god bio odabir skalara b_i fja f ce biti linearni operator.[/quote]
Čak i da je funkcija (vidi gore napomenu o tome), bit će konstanta, dakle linearan operator akko je nuloperator.
[quote]Dimenzija domene je jednaka dimenziji kodomene.[/quote]
?
[quote]Dakle: R(f)<=dimMnx1
2 sl.
1) R(f)=n => Kerf=0 => f-ja je injekcija, a buduci da je i surjekcija...
2) R(f)<n => postoji M e Mnx1 koji nije u slici => fja nije surjekcija i R(f)<dimV pa nije ni injekcija
Dakle: ukoliko je [b1...b2] lin. nezavisan, tj. baza prostora, onda imas izomorfizam. Inace nemas nista :)[/quote]
Sve si izmiješao. b-ovi nisu vektori... bar se nadam. :-)
A i piše gore b_i@F ...
ZELENIZUBNAPLANETIDOSADE (napisa): | Anonymous (napisa): | f( suma od i=1 do m pribrojnika:a_i*v_i )=[b_1...b_2]@Mnx1(F) , b_i@F za i=1...n
Kakva je ovo funkcija? |
a b_i bi bili?
[b_1...b_n], mislis?
a_1,...a_n je, pretpostavljam baza prostora? |
Khm... ne, valjda. Naime, prije ih je trpao u matricu, pa su to valjda skalari - koeficijenti, a v_i su baza prostora. U skladu i s uobičajenim pisanjem skalara prije vektora u hibridnom produktu...
Citat: | U svakom slucaju: definirao si linearni operator na bazi. |
Jest, ali ga je definirao i svuda drugdje. :-/
Citat: | Kakav god bio odabir skalara b_i fja f ce biti linearni operator. |
Čak i da je funkcija (vidi gore napomenu o tome), bit će konstanta, dakle linearan operator akko je nuloperator.
Citat: | Dimenzija domene je jednaka dimenziji kodomene. |
?
Citat: | Dakle: R(f)⇐dimMnx1
2 sl.
1) R(f)=n ⇒ Kerf=0 ⇒ f-ja je injekcija, a buduci da je i surjekcija...
2) R(f)<n ⇒ postoji M e Mnx1 koji nije u slici ⇒ fja nije surjekcija i R(f)<dimV pa nije ni injekcija
Dakle: ukoliko je [b1...b2] lin. nezavisan, tj. baza prostora, onda imas izomorfizam. Inace nemas nista  |
Sve si izmiješao. b-ovi nisu vektori... bar se nadam.
A i piše gore b_i@F ...
|
|
[Vrh] |
|
ZELENIZUBNAPLANETIDO SADE Forumaš(ica)


Pridružen/a: 04. 03. 2004. (19:56:15) Postovi: (54F)16
Lokacija: hm?
|
Postano: 21:51 ned, 23. 5. 2004 Naslov: |
|
|
[quote="vsego"][quote="ZELENIZUBNAPLANETIDOSADE"]PA NIsam ni ja od jucer !? :sillyroll: Provjerim da me nije (opet) pretekao prije nego stisnem Posalji, al.... :D[/quote]
Provjeris, cekas 9 minuta i onda posaljes? :shock: :rotfl:
Mozda nisi najbolje shvatio koncept "provjere"? :PP[/quote]
:PP da, dobro, recimo da sam vidio i boljih dana :sillyroll: buduci da je bilo maaalko :zivili: taj dan i onda jos 60-ak uzastopnih sati sati poslije :D
:OT: postoji li usb alkotester sa linux podrskom?
i da... [b1...b2] su elementi matrice ? Ah, whell.. :wacky: :)
vsego (napisa): | ZELENIZUBNAPLANETIDOSADE (napisa): | PA NIsam ni ja od jucer !? Provjerim da me nije (opet) pretekao prije nego stisnem Posalji, al....  |
Provjeris, cekas 9 minuta i onda posaljes?
Mozda nisi najbolje shvatio koncept "provjere"?  |
da, dobro, recimo da sam vidio i boljih dana buduci da je bilo maaalko taj dan i onda jos 60-ak uzastopnih sati sati poslije
postoji li usb alkotester sa linux podrskom?
i da... [b1...b2] su elementi matrice ? Ah, whell..
_________________
Pupoljak nije negiran. Rekao sam to i ponovit cu to jos jedanput. Pupoljak NIJE negirAn.
MADD
(Mothers Against Dirty Dialectics)
Based on a true story. NOT.
Ko ih sljivi, mi sviramo punk 
|
|
[Vrh] |
|
|