Nizovi

[kre5o]

Trebam malu pomoć oko jednog zadatka. Danas smo radili tm koji govori ako je niz rastuć/padajuć i ograničen odozgo/odozdo onda je konvergenta i ima limes koji je sup/inf tog niza.
pa imamo zadatak
i napišemo to rekurzivno


Dakle prvo moramo odrediti jel padajuć/rastuć. E sad tu dolazim do djela koji ne razumijem. Stavljamo neki od kojeg nadalje je taj niz padajući. Kako smo odredili da je taj .
Kako znamo da takav uopće postoji?
npr. kod zadatka gdje je niz rek. zadan s nismo tražili već smo direktno dokazivali

[mornik]

Dakako, a priori ne znamo postoji li neki nakon kojeg je niz padajući. Npr., za trivijalni niz očito ne postoji takav . No, mi smo ga tu eksplicitno našli, a samim njegovim pronalaženjem i pokazali da postoji.

Naprosto, pogledajmo čemu je ekvivalentno . To je upravo (pomnožili smo obje strane s ). Sad, ako pretpostavimo da je (a ako je negativan, niz će stalno mijenjati predznak, pa takav nećemo moći pronaći jer će niz stalno padati, pa rasti, pa opet padati itd.), očito (formalno, indukcijom) vrijedi da je , pa vidimo da je , tj. . Sad, ja ne znam kako ste vi definirali "od kojeg nadalje je taj niz padajući" - tu ima možda neka sitna razlika s umjesto ili nešto, ja sam tu dobio da je zapravo već i sasvim u redu, ali to je ionako potpuno nebitno.

Dakle, mi smo pronašli takav - što je bitno, nismo prvo pretpostavili da on postoji, pa zatim ga koristeći to pronašli (jer bi tu bila neka logička greška sakrivena - mogao bi uistinu i ne postojati), nego smo ga odmah našli. Dakle, uistinu smo pokazali da ovaj zadovoljava tvrdnju.

[kre5o]

Hvala mornik, skužio sam sada. Zaboravio sam navesti da je

Added after 42 minutes:

još jedno pitance, ovaj put off topic, al pošto sam već tu..
Dakle kako dokazat da je

[goranm]

[pbakic]

ops, sori, preduhitren sam...

Pa za ovu prvu ekvipotenciju treba konstruirati dovoljno je konstruirati injekcije u oba smjera (po Cantor-Bernstein-Schröderovom teoremu).
Iz <a,b> u [a,b] se ocito mozemo posluziti identitetom, a lako se pokaze da je npr f(x)=(x+(a+b)/2)/2 injekcija s [a,b] u <a,b> (znamo da je linearna funkcija injektivna, samo je pitanje dal je slika [a,b] sadrzana u <a,b>)

Sad jos preostaje pokazati da su <a,b> i R ekvipotentni (iz toga ce slijediti ekvipotentnost s [a,b] jer se radi o relaciji ekvivalencije koja je, posebno, tranzitivna)
To mozemo pokazati kompozicijom sljedecih funkcija:




f1 je bijekcija izmedju <a,b> i ←pi/2,pi/2>, a f2 bijekcija izmedju ←pi/2,pi/2> i R.

Iz ovog vidimo da je bijekcija s na

[vuja]

Help. Treba izračunati limes niza definiranog sa a1=5, a(n+1)=(4(an)^2 + 1)/15. Znam da ide u beskonačno, ali ne znam kak bih to riješio pravilno

[satja]

Lako dokažeš da je niz rastući. Sada pretpostavi suprotno: ne ide u beskonačno nego ima limes, neka je on jednak L. Ako u rekurzivnoj relaciji prijeđeš na limes s obje strane dobivaš L = (4L^2 + 1)/15, riješiš to i vidiš da nijedno od mogućih rješenja te jednadžbe ne može biti limes niza jer su oba rješenja manja od 5. Kontradikcija!