| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
diegobisbal
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 10. 2010. (21:00:22)
Postovi: (21)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
pbakic
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30)
Postovi: (143)16
Spol:
|
 Postano: 16:47 čet, 2. 12. 2010 Naslov: |
    |
|
|
Ovako bi se to dalo dokazati:
Definiramo nizove [latex]b_n=\prod_{k=0}^n(1+a_k)[/latex] i [latex]s_n=\sum_{k=0}^n a_k[/latex]
Sada treba pokazati [latex](b_n)[/latex] konvergira akko [latex]s_n[/latex] konvergira
1) neka [latex](s_n)[/latex] konvergira.
Koristimo nejednakost [latex]x+1 \leq e^x[/latex], iz koje dobivamo
[latex]
b_n \leq \prod_{k=0}^n e^{a_k} = e^{s_n}, \forall n\in \mathbb{N}[/latex]
Stavimo ovo na limes po n; kako je funkcija [latex]e^x[/latex] neprekidna i niz [latex](s_n)[/latex] konvergentan, dobivamo da je i niz [latex](e^{s_n})[/latex] konvergentan, iz cega mozemo zakljuciti da je niz [latex](b_n)[/latex] ogranicen. Kako je [latex](b_n)[/latex] ocito rastuc, iz ovoga imamo da je konvergentan.
2) Neka niz [latex](b_n)[/latex] konvergira.
Sad je dovoljno uociti [latex]b_n>s_n, \forall n\in \mathbb{N}[/latex] (to je ocito kad se razmnozi b_n, jer je sve pozitivno).
Kako je niz [latex](s_n)[/latex] rastuc, a majoriziran s nizom [latex](b_n)[/latex] koji je konvergentan, vrijedi isti zakljucak kao u 1), tj. [latex](s_n)[/latex] konvergira
Ovako bi se to dalo dokazati:
Definiramo nizove  i 
Sada treba pokazati  konvergira akko  konvergira
1) neka  konvergira.
Koristimo nejednakost  , iz koje dobivamo
Stavimo ovo na limes po n; kako je funkcija  neprekidna i niz konvergentan, dobivamo da je i niz  konvergentan, iz cega mozemo zakljuciti da je niz ogranicen. Kako je ocito rastuc, iz ovoga imamo da je konvergentan.
2) Neka niz konvergira.
Sad je dovoljno uociti  (to je ocito kad se razmnozi b_n, jer je sve pozitivno).
Kako je niz rastuc, a majoriziran s nizom koji je konvergentan, vrijedi isti zakljucak kao u 1), tj. konvergira
|
|
| [Vrh] |
|
diegobisbal
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 10. 2010. (21:00:22)
Postovi: (21)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
pbakic
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30)
Postovi: (143)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
fireball
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 10. 2005. (18:49:17)
Postovi: (4AB)16
Spol:
Lokacija: s rukom u vatri i nogom u grobu
|
|
| [Vrh] |
|
|
