Odgovori na neka pitanja

[ante003]

Jel mi moze netko objasnit kako da dokazem da je suma ort. komplementa i skupa kojem je to ort. komplement direktna ?
Imam neke svoje teorije i nacine na koje bi dokazao ali nisam bas siguran jel tocno

_________________
Ako ste previše otvorenog uma, ispast će vam mozak
------------------------------------------------------
Racunalo bez Windowsa je kao riba bez bicikla

[pravipurger]

Ja bi nekako ovako rekao:
To proizlazi iz činjenice da je M(ortogonalno) direktan komplement od M u V.
U slučaju M={0} i M=V tvrdnja je trivijalna.
Neka je {b1,...bk} baza za M. Nadopunimo je do baze za V i provedemo G.S. postupak.
Rezultirajuća baza je {e1,...ek,ek+1,...en}.
Očito je {e1,...ek} ortonormirana baza za M. A [{ek+1,...en}]=M(ortogonalno) jer svaki vektor iz te ljuske je okomit na bazu za M.

_________________
No, you clearly don’t know who you’re talking to, so let me clue you in: I am not in danger, Skylar. I am the danger. A guy opens his door and gets shot and you think that of me? No. I am the one who knocks.

[Gost]

Suma nekog potprostora L i potprostora L^(ort) koji se sastoji od
svih vektora koji su ortogonalni na svaki vektor iz V direktna je jer
se u presjeku nalazi samo 0, buduci da je nulvektor jedini koji
je ortogonalan sam na sebe.

Sad je drugo pitanje da li je L^(ort) doista i direktni komplement,
to jest da li je ta direktna suma jednaka cijelom prostoru.
Za to je dobar dokaz s proširivanjem baze i ortogonalizacijom,
kako je navedeno u prethodnom postu.

(Uočimo: nije samo po sebi jasno da je potprostor koji je
gore označen s L^(ort) direktni komplement, iako je to
intuitivno dosta prihvatljivo).

[ante003]

Ok. Znaci da sam dobro bio mislio
Hvala

_________________
Ako ste previše otvorenog uma, ispast će vam mozak
------------------------------------------------------
Racunalo bez Windowsa je kao riba bez bicikla

[cocco]

[Gost]

trebam malu pomoć.
kako da definiram matricu prijelaza, točnije što sve o matrici prijelaza trebam znati?

[jackass9]

možda je malo banalno pitanje, ali jel ima neka definicija riječima za jezgru i sliku? Jer ja sam našao i, barem se nadam naučio, ono s potprostorima...sad neki ljudi tvrde da to nije dovoljno pa ako netko zna može li odgovoriti?


i da li ovo dokaz da je spektar linearnog operatora jednak skupu nultočaka karakterističnog polinoma tog operatora?naime nešto sam si tu čudno pisao pa ne znam jel to sve

spektar(A)={lambda_o je element F ; k_A(lambda_o)=0}
lambda_o je element spektra(A) akko det(A-lambda_o*I)=0 akko k_a(lambda_o)=0

...hvala unaprijed

[Gergonne]

Drugačija definicija jezgre, odnosno slike linearnoga operatora od one koja koristi potprostore mislim da niti ne postoji. Riječima se definicija jezgre može izreći npr. s: "Jezgru linearnoga operatora A:V→W tvore svi oni vektori iz V koje linearni operator A preslika u nulvektor iz W.", a definicija slike s "Sliku linearnoga operatora A:V→W tvore slike svih vektora iz prostora V,. odnosno svi oni vektori w iz prostora W za koje postoji barem jedan vektor v iz prostora V takav da linearan operator A preslika vektor v u vektor w." (analogno kao i za definiciju slike bilo koje realne funkcije jedne realne varijable koja se spominje u Matematičkoj analizi 1.)

Jednakost spektra linearnog operatora A i skupa nultočaka svojstvenog polinoma istog operatora može se dokazati ovako:

Neka je skup E bilo koja baza vektorskoga prostora V na kojemu je definiran operator A. Neka je lambda element spektra operatora A. To znači da je lambda svojstvena vrijednost operatora A. Prema definiciji svojstvene vrijednosti, to znači da postoji x iz V različit od nulvektora (iz V) takav da je Ax = (lambda)*x. Iz te jednakosti slijedi (A - (lambda)*I)x = 0, pa linearni operator A-(lambda)*I ima netrivijalnu jezgru (jer je x različit od nulvektora u V). To znači da linearni operator A-(lambda)*I nije injekcija, odnosno da linearni operator A-(lambda)*I nije bijekcija. Prema definiciji izomorfizma, slijedi da A-(lambda)*I nije izomorfizam između prostora V i njemu pripadnoga polja F. To znači da matrični zapis operatora A-(lambda)*I u bazi E nije regularna matrica, odnosno da razlika matrice A (koja je matrični zapis operatora A u bazi E) i matrice (lambda)*I nije regularna matrica. Prema jednoj od karakterizacija regularnih matrica, matrica nije regularna aki i samo ako je njezina determinanta jednaka nuli. Dakle, determinanta matrice A-(lambda)*I jednaka je nuli. Prema definiciji karakterističnog polinoma, to znači da je lambda nultočka karakterističnog polinoma matrice A.

Time je formalno dokazano da je spektar linearnog operatora podskup skupa nultočaka svojstvenog polinoma matrice A. Budući da su sve tvrdnje korištene u gornjem dokazu međusobno ekvivalentne, slijedi istinitost obratne inkluzije, a time i tvrdnja.

[Juraj Siftar]

Gotovo sve je OK, ali ovo je pogrešno ( vjerojatno lapsus):

"Prema definiciji izomorfizma, slijedi da A-(lambda)*I nije izomorfizam između prostora V i njemu pripadnoga polja F".

Naravno, nije riječ o izomorfizmu između V i F, nego V i V.

Izomorfizam se ni ne mora spominjati, iako je istina, dovoljno je
zaključiti da A - (lambda)I nije injektivan itd.

[jackass9]

hvala vam puno oboje na brzim i superpreciznim odgovorima...

sad se nadam da će mi to pitanje doć sutra na usmenom

[Gergonne]

Sorry zbog nenamjernog lapsusa u prethodnom postu i hvala profesoru na ispravci.

Bilo je pitanje vezano za matricu prijelaza. Zadamo neke dvije različite baze E1= {e1,...,en} i F1 = {f1,...,fn} prostora V. Zbog pretpostavke n = dim(V) svaka od tih baza sadrži točno n vektora. Budući da je E1 baza, postoje skalari a11, ..., an1 iz pripadnog polja F takvi da je

f1 = a11*e1 + ... + an1*en.

Iz istog razloga postoje skalari a12, ..., an2 iz polja F takvi da je

f2 = a12*e1 + ... + an2*en.

Postupak ponovimo za svaki vektor iz baze F1. Sve dobivene skalare složimo u jednu matricu P (reda n) tako da u prvom stupcu te matrice budu koeficijenti a11,..., an1 u prikazu vektora f1 pomoću vektora e1, ..., en, u drugom stupcu koeficijenti a12, ..., an2 u prikazu vektora f2 pomoću vektora e1, ..., en itd. Dobivena matrica P naziva se matrica prijelaza iz baze E1 u bazu F1 i to je matrica reda n.

Na pitanje što sve trebaš znati o matrici prijelaza najbolje ti može odgovoriti profesor, ali mislim da bi trebalo znati npr.
- P je regularna matrica;
- P^(-1) je matrica prijelaza iz baze F1 u bazu E1;
- ako je x = (x1,..., xn) prikaz vektora x iz V u bazi E1, onda je x' = (P)^(-1)*x prikaz tog vektora u bazi F1;
- ako je A matrični zapis linearnog operatora A iz L(V) u bazi E1, onda je matrični zapis tog operatora u bazi F1 matrica A1 = (P)^(-1)*A*P.

[Swerz]

U attachmentu se nalazi C/P nekih korisnih postova sa ovog foruma vezanog uz LA2, pa mozda nekome pomogne nagodinu...

_________________
Though your dreams be tossed and blown...

[Gery]

Pozdrav,

Je Vam upisane ocjene u studomat ili samo meni nisu??

[Swerz]

Bez brige, nisi jedini. Meni fale još 3 ocjene.

_________________
Though your dreams be tossed and blown...

[Juraj Siftar]

Dakle, sve ocjene iz Linearne algebre 2 poslane su u Računski centar
i svakako će biti unesene u ISVU, tempom kako već stignu.
Bude li netko u dvojbi da ipak nije unesena ocjena (ali ne još danas,
nego za nekoliko dana) može me pitati mailom da provjerim jesam
li unio podatke u listu. Ako jesam, daljnji je postupak na RC-u.

J. Šiftar