|
1. domaća zadaća uglavnom se odnosi na neke metode konstrukcije
blok dizajna iz zadanih ili već postojećih dizajna. Za opisane incidencijske
strukture trebat će pokazati da su blok dizajni, izračunati njihove
parametre i konstruirati neke primjere.
Umjesto lambda pisat ću L, dakle općenito t-(v,k,L) dizajn.
Indeks (donji) pisat će u obliku D_c odnosno D_0.
[b]1. Komplementarni dizajn[/b]
Neka je D 2-(v,k,L) dizajn. Definiramo novu incid. strukturu D_c tako da
je skup točaka isti kao za D, a blokovi su komplementi blokova od D
(to jest, točka je incidentna s blokom u D_c ako i samo ako nije
incidentna s odgovarajućim blokom u D).
Pokažite da je D_c blok dizajn i odredite njegove parametre.
Napomena: samo balansiranost i izračunavanje "novog L"
("komplementarnog" za L) zahtijeva malo truda.
Nadalje, izračunajte parametre komplementarnih dizajna za konačnu
projektivnu ravninu i za Hadamardove dizajne općenito
(Hadamardov dizajn ima parametre 2-(4L+3, 2L+1, L)).
Je li komplementarni dizajn simetričnog dizajna i sam simetričan?
Je li potreban neki dodatni uvjet na parametre D da bi
komplementarna struktura bila dizajn?
[b]2. Rezidualni dizajn[/b]
Konstrukcija rezidualnog dizajna od nekog simetričnog dizajna
poopćenje je poznatog postupka kako se iz projektivne ravnine
dobiva afina ravnina.
Neka je D simetrični 2-(v.k,L) dizajn i neka je D_0 incid. struktura
koja se dobiva uklanjanjem jednog bloka iz D i svih njegovih točaka,
a incidencija u D_0 je onda restrikcija incidencije iz D na preostale
točke i blokove.
Pokažite da je D_0 dizajn i odredite njegove parametre. Zašto je
važno pretpostaviti da je D simetrični dizajn?
[b]3. Derivirani dizajn[/b]
Neka je D t-(v,k,L) dizajn pri čemu je t najmanje 3.
Neka je P bilo koja točka dizajna. Novu incidencijsku strukturu D'
zadajemo tako da uzmemo sve točke osim P i sve blokove koji
sadrže P, a incidencija u D' restrikcija je incidencije iz D na
odabrane točke i blokove.
Pokažite da je D' (t-1)-(v-1, k-1, L) dizajn. Taj dizajn naziva se
deriviranim dizajnom od D, u točki P.
Može li D' biti simetrični dizajn i kakve parametre treba imati
3-(v,k,L) dizajn da bi se deriviranjem dobio simetrični dizajn?
Za dizajne s parametrima 5-(12,6,1) i 5-(24,8,1) primijenite
tri puta uzastopno deriviranje (izračunajte parametre za po tri
dobivena dizajna u oba slučaja). Dobivaju li se tim postupkom
na kraju neki nama otprije poznati dizajni?
Kakvi bi bili parametri 3-dizajna čijim se deriviranjem dobiva
projektivna ravnina reda 2? Pokušajte konstruirati takav dizajn,
polazeći od ravnine reda 2. Nadalje, da li postoji 4-dizajn takav
da se njegovim deriviranjem dva puta dobije projektivna
ravnina reda 2?
[b]4. zadatak[/b]
Nađite neki primjer vrijednosti v, k, L (pri čemu je v veći od 20),
ali različit od (22,7,2), tako da odgovarajući simetrični dizajn ne
postoji iako je ispunjena osnovna relacija L (v-1) = k(k-1),
zato što nije ispunjen uvjet Schutzenbergerovog teorema
(za parne vrijednosti v).
1. domaća zadaća uglavnom se odnosi na neke metode konstrukcije
blok dizajna iz zadanih ili već postojećih dizajna. Za opisane incidencijske
strukture trebat će pokazati da su blok dizajni, izračunati njihove
parametre i konstruirati neke primjere.
Umjesto lambda pisat ću L, dakle općenito t-(v,k,L) dizajn.
Indeks (donji) pisat će u obliku D_c odnosno D_0.
1. Komplementarni dizajn
Neka je D 2-(v,k,L) dizajn. Definiramo novu incid. strukturu D_c tako da
je skup točaka isti kao za D, a blokovi su komplementi blokova od D
(to jest, točka je incidentna s blokom u D_c ako i samo ako nije
incidentna s odgovarajućim blokom u D).
Pokažite da je D_c blok dizajn i odredite njegove parametre.
Napomena: samo balansiranost i izračunavanje "novog L"
("komplementarnog" za L) zahtijeva malo truda.
Nadalje, izračunajte parametre komplementarnih dizajna za konačnu
projektivnu ravninu i za Hadamardove dizajne općenito
(Hadamardov dizajn ima parametre 2-(4L+3, 2L+1, L)).
Je li komplementarni dizajn simetričnog dizajna i sam simetričan?
Je li potreban neki dodatni uvjet na parametre D da bi
komplementarna struktura bila dizajn?
2. Rezidualni dizajn
Konstrukcija rezidualnog dizajna od nekog simetričnog dizajna
poopćenje je poznatog postupka kako se iz projektivne ravnine
dobiva afina ravnina.
Neka je D simetrični 2-(v.k,L) dizajn i neka je D_0 incid. struktura
koja se dobiva uklanjanjem jednog bloka iz D i svih njegovih točaka,
a incidencija u D_0 je onda restrikcija incidencije iz D na preostale
točke i blokove.
Pokažite da je D_0 dizajn i odredite njegove parametre. Zašto je
važno pretpostaviti da je D simetrični dizajn?
3. Derivirani dizajn
Neka je D t-(v,k,L) dizajn pri čemu je t najmanje 3.
Neka je P bilo koja točka dizajna. Novu incidencijsku strukturu D'
zadajemo tako da uzmemo sve točke osim P i sve blokove koji
sadrže P, a incidencija u D' restrikcija je incidencije iz D na
odabrane točke i blokove.
Pokažite da je D' (t-1)-(v-1, k-1, L) dizajn. Taj dizajn naziva se
deriviranim dizajnom od D, u točki P.
Može li D' biti simetrični dizajn i kakve parametre treba imati
3-(v,k,L) dizajn da bi se deriviranjem dobio simetrični dizajn?
Za dizajne s parametrima 5-(12,6,1) i 5-(24,8,1) primijenite
tri puta uzastopno deriviranje (izračunajte parametre za po tri
dobivena dizajna u oba slučaja). Dobivaju li se tim postupkom
na kraju neki nama otprije poznati dizajni?
Kakvi bi bili parametri 3-dizajna čijim se deriviranjem dobiva
projektivna ravnina reda 2? Pokušajte konstruirati takav dizajn,
polazeći od ravnine reda 2. Nadalje, da li postoji 4-dizajn takav
da se njegovim deriviranjem dva puta dobije projektivna
ravnina reda 2?
4. zadatak
Nađite neki primjer vrijednosti v, k, L (pri čemu je v veći od 20),
ali različit od (22,7,2), tako da odgovarajući simetrični dizajn ne
postoji iako je ispunjena osnovna relacija L (v-1) = k(k-1),
zato što nije ispunjen uvjet Schutzenbergerovog teorema
(za parne vrijednosti v).
|
