Recimo da je A skup svih aritmetickih nizova (a-nizova), A=(a1,a2,a3,...).
Vrijedi slijedece svojstvo:
(a1,a2,a3,...)+(b1,b2,b3,...)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3,...) (*)
kako je općeniti član a-niza jednak a(n)=a1+(n-1)d, možemo pisati:
(a1,a1+d,a1+2d,...,a1+(n-1)d,...)
kako vrijedi svojstvo (*) prijasnji skup mozemo pisati u obliku:
(a1,a1,a1,...,a1,...)+(0,d,2d,3d,...(n-1)d,...)
sada izlucimo a1 i d:
a1(1,1,1,...,1,...)+d(0,1,2,3,...,(n-1),...)
iz ovoga slijedi da su skupovi (nazovimo ih m i n) m=(1,1,1,...) i n=(0,1,2,3,...) sustav izvodnica.
Sada samo jos treba dokazati da su oni linearno nezavisni.
Am+Bn=0
A(1,1,1,...)+B(0,1,2,3,...)=0
imamo sustav jednadzbi:
A=0
A+B=0
A+2B=0
.
.
.
A+(n-1)B=0
.
.
.
Očito je da su jedina rjesenja A=0 i B=0.
Dokazali smo da je {m,n} sustavi izvodnica i da je linearno nezavisan. Ocito je da dim{m,n}=2. Dakle, {m,n} je baza skupa A.
Recimo da je A skup svih aritmetickih nizova (a-nizova), A=(a1,a2,a3,...).
Vrijedi slijedece svojstvo:
(a1,a2,a3,...)+(b1,b2,b3,...)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3,...) (*)
kako je općeniti član a-niza jednak a(n)=a1+(n-1)d, možemo pisati:
(a1,a1+d,a1+2d,...,a1+(n-1)d,...)
kako vrijedi svojstvo (*) prijasnji skup mozemo pisati u obliku:
(a1,a1,a1,...,a1,...)+(0,d,2d,3d,...(n-1)d,...)
sada izlucimo a1 i d:
a1(1,1,1,...,1,...)+d(0,1,2,3,...,(n-1),...)
iz ovoga slijedi da su skupovi (nazovimo ih m i n) m=(1,1,1,...) i n=(0,1,2,3,...) sustav izvodnica.
Sada samo jos treba dokazati da su oni linearno nezavisni.
Am+Bn=0
A(1,1,1,...)+B(0,1,2,3,...)=0
imamo sustav jednadzbi:
A=0
A+B=0
A+2B=0
.
.
.
A+(n-1)B=0
.
.
.
Očito je da su jedina rjesenja A=0 i B=0.
Dokazali smo da je {m,n} sustavi izvodnica i da je linearno nezavisan. Ocito je da dim{m,n}=2. Dakle, {m,n} je baza skupa A.
|