Usmeni kod prof. Hrvoja Šikića

[pupi]

Ma , kao zeli se pokazat da postoji bar jedan niz koji nije konvergentan tako da pokažemo da vrijedi ono gore šta sam napisala tj. da vrijedi negacija definicije konvergencije niza kao što si ti rekao ali nemam pojma zašto je krivo napisano (vjerovatno krivo prepisano ).

Da da, sad je jasnije

Hvala (dobro bi mi došao neki *highfive* smajlić xD)

[princeza_fiona]

bi li netko mogao napisati formalni dokaz da je (2.)korijen iz x neprekidna funkcija...barem hintove...

[Lepi91]

[Phoenix]

Na predavanju smo pokazali neprekidnost funkcije . Dokaz za je samo poseban slučaj kada uvrštavaš , pa je priča sasvim ista.
Računam da imaš bilješke s predavanja (lakše je pratiti gradivo i kontinuitet s njima), pa ću o neprekidnosti ukratko u crticama.
Dakle, promatramo funkciju . Pokazali smo da je na intervalu strogo rastuća, a kako je neprekidna na cijeloj svojoj domeni, posebno je neprekidna i na ovom intervalu. Budući da je to otvoreni interval u širem smislu, slika funkcije restringirane na taj interval je također otvoreni interval u širem smislu (to je poznati teorem), a s obzirom da je funkcija strogo rastuća, rubne vrijednosti njene slike saznat ćemo promatrajući u što teži funkcijska vrijednost kada teži u , odnosno u . Time se pokaže da je slika također . Dakle, funkcija definirana kao je strogo rastuća bijekcija. Sada je inverz (definiran kao korijen - što mu je zapravo dosad bilo "samo ime") također definiran na otvorenom intervalu, slika mu je otvoreni interval te je istog tipa monotonosti kao i početna funkcija (propozicija s početka semestra). Po drugom poznatom teoremu znamo da je ova funkcija neprekidna.
Funkcija se još može proširiti u točki tako da dokažemo: ako teži u , onda teži u . To je napisano na predavanju: pretpostavi se suprotno i lako se pokaže kontradikcija preko epsilona.

Eto, ovo je otprilike "neformalan" "dokaz" općenito za bilo koji (a u ovom primjeru posebno za ). Za neparne se na sličan način proširi funkcija s na .
Znam da je preopširno i dosta zbunjujuće jer sam se potrudio napisati samo bitne misli, kao i njihov tok. Dobro pročitaj riječ po riječ jer je argumentacija jako bitna i još malo usporedi s bilježnicom. Pitaj ako nešto nije jasno.

[Annemarie]

Jel itko zna kada će biti usmeni za one koji su prošli popravni ispit iz analize? Kada prof Šikić počinje njih ispitivati? Jeli već izašao raspored za to ili?

[antemijoc1991]

zna li itko kada će prof. šikić pitati one čiji je usmeni odgođen?

[princeza_fiona]

[Phoenix]

Naravno, da bi pokazali bijektivnost funkcije, treba pokazati njenu injektivnost i surjektivnost. Ali ako bolje promotriš, i to smo "vješto" pokazali:
1) Funkcija (odnosno restrikcija na intervalu kojeg promatramo) je strogo rastuća (raspis razlike kvadrata i argumentacija za nenegativne vrijednosti), a dokazali smo kratku propoziciju na početku semestra koja kaže: ako je funkcija strogo monotona, onda je injektivna. Iz toga slijedi injektivnost.
2) Pri početku dokaza smo znali da je . Međutim, poslije smo pokazali da je . Stoga, ako promatramo funkciju definiranu ovako: , tada smo sigurni i u njenu surjektivnost.
Konačno, pokazali smo da je injekcija i surjekcija, stoga je i bijekcija.

(Ako je dio za surjektivnost nejasan, evo još detalja: znamo da je slika otvoreni interval zbog teorema kojeg sam naveo. To znači da za svaku vrijednost unutar tog intervala postoji njena vrijednost iz domene, odnosno: . To je zapravo i smisao teorema - da nema broja unutar tih granica za koji ne bi postojao njen iz domene.
Slična stvar je i s primjenom Bolzano-Weierstrassovog teorema za funkcije.)

[princeza_fiona]

[princeza_fiona]

[krasiva]

ima li mozda kakvih novih vijesti o prof. šikiću?
ja sam zadnje na faksu bila u cetvrtak popodne i jos nije niceg bilo pa mi je palo na pamet da se mozda nesto novo znalo vec u petak...
ako je netko kontaktirao asistente ili bio na faksu pa ima informacije, bila bih zahvalna na odgovoru... a ne da dodem sutra tamo i saznam da sam imala usmeni prije 3 sata

[sparkyca]

u petak sam zvala u referadu i one jos uvjek nisu nista znale reci ako se profesor vraca u ponedjeljak na posao il ne... sad jedino ak je neko kontaktirao profesora il asistente pa da zna vise

[stella22]

ja sam čula da od utorka počinju usmeni, a da će sutra biti objavljen raspored ispitivanja..

[toy.200]

[wannaknow]

[frutabella]

Pitanje:

da li ima jos onih s popravnih usmenih, ili odmah krece od ovih s popravninh kolokvija?

zamolila bih da netko objavi raspored, tko prije vidi

[sparkyca]

ima nas jos s popravnih usmenih, i stvarno, ak vam nije problem da neko slika raspored ispitivanja tak da mi smrtnici koji nismo u zg da znamo kad imamo

[Ilja]

Usmeni za studente profesora Šikića (koji su prošli popravni kolokvij) bit će u srijedu u 16 sati.

[Alia3]

Ako bi mogla pomoć oko jednog zadatka,teorijskog,imam ga rješenog ali mi nisu jasne baš sve stvari,ma kako trivijalne bile. Zadatak je dokazati da je [tex] \sqrt[n]{n} [/tex]

[tex] \epsilon>0 [/tex]
[tex](1+\epsilon)^n = 1 + n*\epsilon + \frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2 + .... + \epsilon^n \geq \frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2 [/tex]
Sad za početak mi nije jasno zašto smo počeli sa [tex](1+\epsilon)^n[/tex],jel samo zato da se poslije naštima na teorem o sendviču tj omeđenost?

Sad provjeravamo dali je [tex]\frac{n-1}{2}\epsilon^2 > 1 [/tex] Zašto baš to??
[tex]\Rightarrow n>1+\frac{2}{\epsilon^2}[/tex]
Po Arhimedovom aksiomu postoji [tex] n_{0}=n_{0}(\epsilon)\in N[/tex] takav da je [tex]n_{0} > 1+\frac{2}{\epsilon^2}[/tex] tj. [tex]\frac{n_{0}-1}{2}\epsilon^2>1[/tex]
[tex]\Rightarrow n\geq n_{0} \Rightarrow (1+\epsilon)^n \geq n(\frac{n-1}{2})\epsilon^2 \geq n(\frac{n_{0}-1}{2})\epsilon^2 > n > 1[/tex]
[tex] (1+\epsilon)^n > n > 1 [/tex] primjenimo n-ti korjen
[tex](1+\epsilon) > \sqrt[n]{n} > 1 [/tex]
[tex]\epsilon > \sqrt[n]{n} > 0 [/tex]
[tex] \mid \sqrt[n]{n} -1 \mid < \epsilon [/tex]
[tex] \Rightarrow \lim \sqrt[n]{n} = 1 [/tex]

Jel predzadnji korak smijem napraviti jer je \epislon > 0 a -\epsilon < 0??? pa pošto je niz definitivno veći od nule veći je i od \epsilon?

Razumjem da je to više manje namještavanje,ali ako profesor pita što mu reći? S obzirom da on voli takve detalje pitati. Smijem li mu reći da je to namještavanje ili što?

[gflegar]

Pretpostavljam da treba dokazati [tex]lim_{n} \sqrt[n]{n} = 1[/tex].
Krenes od druge strane...
Zelimo dobiti:
[dtex] (\forall \epsilon > 0)(\exists n_\epsilon \in \mathbb N)(\forall n \in \mathbb N) (n > n_\epsilon) \Rightarrow (|\sqrt[n]{n} - 1| < \epsilon)[/dtex]
Tj. hocemo dokazati da je [tex] 1 < \sqrt[n]{n} < \epsilon + 1 \Leftrightarrow 1 < n < (\epsilon + 1)^n[/tex].
Ocito vrijedi ovo:
[dtex] (\epsilon + 1)^n = 1 + n\epsilon + \frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2 + \ldots + \epsilon^n \geq \frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2[/dtex]
Sada po arhimedovom aksiomu postoji [tex] n_0 \in \mathbb N[/tex] takav da je [tex] (n_0 - 1)\epsilon^2 \geq 2[/tex] pa za sve [tex] n > n_0[/tex] imamo:
[dtex]\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2 > \frac{n(n_0-1)}{2}\epsilon^2 \geq n\frac{2}{2} = n > 1[/dtex]
Pa zbog strogog rasta korjena za [tex]n_\epsilon = n_0[/tex] vrijedi gornja implikacija, tj. [tex]lim_{n} \sqrt[n]{n} = 1[/tex].
Nadam se da je sad jasnije zbog cega se uzme bas to.

Added after 3 minutes:

I jos nekoliko stvari koje si krivo shvatio/la.