zadatak 2.24. (vježbe) (zadatak)

[Gost]

Zadatak je ovdje http://web.math.hr/nastava/stat/files/chap2_novo.pdf
Ne znam kako bi se riješilo pod (a), za početak
Krenula sam ovako:
Kako to riješiti? Znam da je vrijednost integrala jedaka 1 dok su granice od -infti do infti, da li se to može nekako tu iskoristiti?

[pmli]

Treba paziti s predznacima kod nejednakosti. Slučajna varijabla [tex]X[/tex] poprima i pozitivne i negativne vrijednosti, a [tex]x[/tex] također može biti pozitivan i negativan. Ajmo prvo razlučiti na slučajeve po predznacima od [tex]X[/tex]:
[dtex]F_Y(x) = \mathbb{P}(Y \leq x) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x\right) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x, X = 0\right) + \mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x, X > 0\right)[/dtex]
Znamo da je [tex]\mathbb{P}(X = 0) = 0[/tex], pa je i [tex]\mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x, X = 0\right) = 0[/tex]. Slijedi da je
[dtex]F_Y(x) = \mathbb{P}\left(x X \leq 1, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(x X \geq 1, X > 0\right)[/dtex]
Sad možemo gledati ovisno o tome kakvog je [tex]x[/tex] predznaka:

• [tex]\displaystyle x = 0 \quad \Rightarrow \quad F_Y(0) = \mathbb{P}\left(0 \leq 1, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(0 \geq 1, X > 0\right) = \mathbb{P}\left(X < 0\right) = \frac{1}{2}[/tex]
  
• [tex]\displaystyle x > 0 \quad \Rightarrow \quad F_Y(x) = \mathbb{P}\left(X \leq \frac{1}{x}, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(X \geq \frac{1}{x}, X > 0\right) = \mathbb{P}\left(X < 0\right) + \mathbb{P}\left(X \geq \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2} + 1 - \Phi\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{2} - \Phi\left(\frac{1}{x}\right)[/tex]
  
• [tex]\displaystyle x < 0 \quad \Rightarrow \quad F_Y(x) = \mathbb{P}\left(X \geq \frac{1}{x}, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(X \leq \frac{1}{x}, X > 0\right) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{x} \leq X < 0\right) = \Phi(0) - \Phi\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2} - \Phi\left(\frac{1}{x}\right)[/tex]

Dakle, [dtex]F_Y(x) = \left\{ \begin{array}{cl}
\frac{3}{2} - \Phi\left(\frac{1}{x}\right), & x > 0 \\
\frac{1}{2}, & x = 0 \\
\frac{1}{2} - \Phi\left(\frac{1}{x}\right), & x < 0
\end{array} \right.[/dtex]
Ne znam može li se [tex]\Phi\left(\frac{1}{x}\right)[/tex] eksplicitno izračunati, pa sam ostavio u takvom obliku.

[w]

Tako je, rješenje ostavite u ovom obliku (ne postoji eksplicitni oblik za [tex]\phi(\frac 1 x)[/tex] ).

Sad vidim i da je u rješenjima na webu napravljena greška, u zadnjem redu za slučaj [tex]x<0[/tex].

[.anchy.]

Može li pomoć za zadatak 2.25 po a)?
za y>0 dobim integral lambda/alfa * int.od 0 do y-beta od(e^(-lambda*s/alfa)ds)
Ne znam trebam li uopće računati integral(i općenito,neke zadatke računamo preko integrala,a neke ne-why?), jer mi se iz rješenja čini kao da ne trebam ali ne znam kako i zašto se dobi to rješenje?

[pmli]

[.anchy.]

[pmli]

Mogli bi u tim zadacima ostaviti rješenje sa funkcijama distribucije, ali ako je moguće egzaktno odrediti odgovarajuće integrale, možda je bolje riješiti do kraja. Može nas zanimati je li rješenje neka poznata distribucija. Vjerojatno je osoba koja je tipkala ta rješenja htjela sebi olakšati posao (kod tih uniformnih treba puno slučajeva raspisati).

[w]

Da, nažalost rješenja nisu potpuna (a i potkralo se nekoliko grešaka). U zadacima ovog tipa cilj je dobiti egzaktnu formulu za funkciju distribucije, naravno tamo gdje je to moguće. Jednom kada odredite [tex]F_Y[/tex] preko [tex]F_X[/tex] i ako je poznata egzaktna formula za [tex]F_X[/tex], samim uvrštavanjem dolazite do [tex]F_Y[/tex] (u rješenjima fali upravo taj korak uvrštavanja).

No [tex]F_X[/tex] nema uvijek poznatu formu (na primjer kod normalne distribucije) pa je potrebno "riješiti integral" (onda kada je to moguće).