2. zadatak kolokvij 2010/2011 (zadatak)

[malalodacha]

Zadatak 2 (6 bodova) Nadite sliku funkcije
f(x) = log2(|e^x − sh x| +⌊(2 + x^2)/(1 + x^2)⌋)
te odredite f ([0; 3⟩).


jel može tko pojasnit ovo?

[Optimum]

⌊(2 + x^2)/(1 + x^2)⌋

ovo je funkcija zvana "pod" (najmanje ili jednako cijelo)... nju raspisuješ po slučajevima...
imaš slučajeve tipa:
x=0, funkcija je jednaka 2
-1<x<1/{0}, funkcija se približava dvojki, al je jednaka 1
x>1, x<-1, funkcija se približava jedinici, te iznosi 1, isto kao i za -1<x<1

dalje to radiš po kompoziciji... izračunavaš sliku jedne, te onda kad dobiješ interval, tražiš sliku druge funkcije po tom intervalu.

A funkcija e^x - shx na kraju kad to središ dobiješ da je chx...

[malalodacha]

da, taj sam dio sa ch skužio i napravio..al nije mi jasno kako napravit kompoziciju..tu mi treba mala pomoć

[Phoenix]

[tex]f(x) = log_{2}(\left|e^x-sh(x)\right|+\left\lfloor \frac{2+x^2}{1+x^2} \right\rfloor) = log_{2}(\left|e^x-\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right|+\left\lfloor \frac{1+1+x^2}{1+x^2} \right\rfloor) = log_{2}(\left|\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right|+\left\lfloor \frac{1}{1+x^2} + 1\right\rfloor) = log_{2}( ch(x)+\left\lfloor \frac{1}{1+x^2} + 1\right\rfloor)[/tex]
Do ovdje je jasno, zar ne?
Uoči da je [tex]1 < \frac{1}{1+x^2} + 1 \leq 2[/tex] jer je razlomak uvijek pozitivan, ali nije veći od 1 (odnosno obratno, nazivnik je uvijek pozitivan, ali nije manji od 1). Za [tex]x=0[/tex] vrijedi:
[tex]f(0) = log_{2}( ch(0)+\left\lfloor \frac{1}{1+0^2} + 1\right\rfloor) = log_{2}(1+2) = log_{2}(3)[/tex]
Za [tex]x \neq 0[/tex] vrijedi [tex]\left\lfloor \frac{1}{1+x^2} + 1\right\rfloor) = 1[/tex], stoga je:
[tex]f(x) = log_{2}( ch(x)+1 )[/tex]
A ovo je sada znatno lakše pronaći! Znaš samu sliku funkcije [tex]ch(x)[/tex] (ili, ako moraš objasniti, gledaš posebno područje gdje je strogo padajuća i gdje je strogo rastuća, ili možeš zbog parnosti funkcije promatrati samo jedno od ta dva područja). Za funkciju [tex]log_{2}[/tex] znaš da je strogo rastuća, stoga je dovoljno samo "uvrstiti rubove" pronađene slike izraza [tex]ch(x)+1[/tex].
Ako se ne varam, rješenje na pamet: [tex]\left<1,+\infty\right>[/tex] (pazi, s uključenim posebnim rješenjem za [tex]x=0[/tex]) i [tex]\left<1,log_{2}(ch(3)+1)\right>[/tex] (provjereno da je u ovom intervalu i broj [tex]log_{2}(3)[/tex]).

Nadam se da je sada jasnije.

[Cupcake]

[Phoenix]

[Cupcake]

[lav]

pozdrav! taj drugi zad. pod b)
dal mogu zapisat f(X)=log3(sh(x) +1 ) ?
i zanima me rj. za sliku, meni ispada cijeli R tak da ne vjerujem da je dobro
i znam da je skroz jednostavno al nije mi jasno kak da odredim f([0,2>)
to preko nekih kompozicija ili ??

i zanima me jos da li mogu 3. rijesit preko kompozicija, ja imam a) grupa:
f1(x):= cosx
f2(x):= x-1
f3(x):=|x|
f4(x):=-3 + 1 / x+2
i dalje radim f1^-1(f2^-1(f3^-1(f4^-1(←11/4,-8/3]))))

hvala Vam puno!