Tema za provjeru naših rješenja (zadatak)

[Zenon]

Ne znam stvarno gdje bih ovo stavio, pa sam otvorio temu u kojoj ću ubuduće postavljati svoja rješenja za koja nisam siguran jesu li točna.
Pa počnimo:
[dtex]f(x)=\sqrt{\frac{\log_3 x-1}{\log_3 x-2}}[/dtex]
Slika funkcije mi je ispala [tex]\left[\frac{\sqrt2}{2},+\infty\right>[/tex], a [tex]f([1,3])=\left[0,\frac{\sqrt2}{2}\right][/tex].

Čudno mi je što slika podskupa domene nije podskup slike domene.


EDIT: Našao sam grešku, sada mi sve štima.

[Zenon]

Zadana funkcija [tex]f(x)=e^{\sin \sqrt{x}}[/tex], treba naći prasliku [tex]f^{\leftarrow}(<0,1>)[/tex].
Moj postupak:
[dtex]D_f=[0,+\infty>[/dtex]
[dtex]0<e^{\sin \sqrt{x}}<1[/dtex]
Lijeva strana uvijek vrijedi, ostaje
[dtex]e^{\sin \sqrt{x}}<1[/dtex]
[dtex]\sin \sqrt{x}<0[/dtex]
[dtex]\sqrt{x}\in \left←\pi+2k\pi,2k\pi\right>,k\in \mathbb N[/dtex]

[dtex]-\pi+2k\pi<\sqrt x<2k\pi[/dtex]
Kako su i [tex]x^2[/tex] i [tex]\sqrt x[/tex] na domeni strogo rastuće, smijem kvadrirati.
[dtex]\pi^2\left(2k-1\right)^2<x<4k^2\pi^2[/dtex]
[dtex]f^{\leftarrow}(<0,1>)=\left<\pi^2\left(2k-1\right)^2,4k^2\pi^2\right>,k\in\mathbb N[/dtex]


Što ne valja?

[rafaelm]

[Zenon]

[rafaelm]

Ja bih rekao da [tex]\sin \sqrt x < 0[/tex] povlači [tex]\sqrt x \in \langle (2k-1)\pi, 2k\pi \rangle [/tex], za neki [tex]k \in \mathbb N[/tex].

[Zenon]

[Deni001]

Iz [tex]\sin{\sqrt{x}}<0[/tex] slijedi da je [tex]\sqrt{x}\in \left<(2k-1)\pi,2k\pi\right>[/tex] ako se ne varam.

edit: malo sam zakasnio ocito xD

Kako znas da nesto ne valja?

[Zenon]

Valja li sve ostalo?
[tex]\sin \sqrt x[/tex] nije periodična na domeni funkcije. Može li se to onda uopće ovako riješiti?

[rafaelm]

[BlameGame]

Kako treba inverz funkcije i ako djelujemo sa arc sin dali to ne znaci da rjesenje ne moze biti za neki k, nego samo u Rf od arc sin sto bi bilo od -pi/2 do pi/2 ??

[student_92]

Nisam siguran u ovo rješenje pa evo pitam. Kako ide [color=blue]prvi zadatak[/color] iz prvoga kolovija B grupa?

I kako pristupiti drugom zadatku?

[R2-D2]

Hoće li na kolokviju biti samo zadaci?

[Zenon]

Na kolokviji su samo zadaci, da.
Inače, zamislio sam da ovo bude tema u kojoj mi damo svoja riješenja i postupak i pitamo valja li, a ne da tražimo da nam netko drugi riješi. Ali dobro.

Zadatak:
Postoji li surjekcija f s R u R takva da je funkcija g s R u R definirana formulom [dtex]g(x):=f(9^x+3^x)[/dtex] bijekcija?

Dobio sam da postoji i primjer takve funkcije je [tex]\log_2 x[/tex]. Valja li?

[Phoenix]

Rekao bih da ti je dobro, da (premda napamet gledam). Wolfram Alpha se također ne buni.

[Shaman]

ako je funkcija zadana s R u R zar nemora joj onda domena biti cijeli R?
Meni je rijesenje f(x)={ abs(x) za x<=0 i logx za x>0, jel to ispravno?

_________________
it was merely a setback

[Zenon]

[Phoenix]

[student_92]

Je li u 2. zad. B grupe iz 2010. rješenje za sliku funkcije -->
Rf = [0, +besk.> \ {1} ?

[R2-D2]

Meni je ispalo samo [0, +besk>.

[Shaman]

ja sam dobio od [0, +beskonacno>\{1} jer kad napravis inverznu funkciju nazivnik eksponenta nesmije biti nula a to je y^2-1, akako y mora biti veci ili jednak nuli samo se izbaci 1.

_________________
it was merely a setback