Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
pbakic Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30) Postovi: (143)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
dodoria Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 10. 2011. (13:31:15) Postovi: (E)16
|
|
[Vrh] |
|
PermutiranoPrase Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19) Postovi: (F4)16
Spol:
|
Postano: 10:10 uto, 25. 10. 2011 Naslov: |
|
|
Mene zbunjuje sljedeće:
Zadatak je:
Zadana je [tex] f : [\pi , {3\pi \over 2}] \to R[/tex].
[tex] f(x) = (\cos x)^5 + 3[/tex].
Je li to surjekcija?
Dakle, moram izraziti x preko y.
[tex]y = (\cos x)^5 + 3 [/tex].
1. Djelujem s arccos? Ali arccos je definiran na [tex][0, \pi][/tex], ne [tex][\pi , {3\pi \over 2}][/tex]. Moram dakle imati pomak ulijevo i "izokrenuti" kosinus (tj. dodati neki broj u [tex]\cos x[/tex] i dodati minus ispred svega?
2. A što je s tim da mi je u zadatku zadan "dio" intervala, [tex]\pi \over 2[/tex], a ne cijeli, [tex]\pi[/tex], ako me razumijete. :?
3. Što ću onda s ovim svim pod arkusom, tj. [tex] y = (\arccos((\cos x)^5 + 3)[/tex]?
Mene zbunjuje sljedeće:
Zadatak je:
Zadana je [tex] f : [\pi , {3\pi \over 2}] \to R[/tex].
[tex] f(x) = (\cos x)^5 + 3[/tex].
Je li to surjekcija?
Dakle, moram izraziti x preko y.
[tex]y = (\cos x)^5 + 3 [/tex].
1. Djelujem s arccos? Ali arccos je definiran na [tex][0, \pi][/tex], ne [tex][\pi , {3\pi \over 2}][/tex]. Moram dakle imati pomak ulijevo i "izokrenuti" kosinus (tj. dodati neki broj u [tex]\cos x[/tex] i dodati minus ispred svega?
2. A što je s tim da mi je u zadatku zadan "dio" intervala, [tex]\pi \over 2[/tex], a ne cijeli, [tex]\pi[/tex], ako me razumijete.
3. Što ću onda s ovim svim pod arkusom, tj. [tex] y = (\arccos((\cos x)^5 + 3)[/tex]?
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
Postano: 10:22 uto, 25. 10. 2011 Naslov: |
|
|
[quote="PermutiranoPrase"]Mene zbunjuje sljedeće:
Zadatak je:
Zadana je [tex] f : [\pi , {3\pi \over 2}] \to R[/tex].
[tex] f(x) = (\cos x)^5 + 3[/tex].
Je li to surjekcija?
Dakle, moram izraziti x preko y.
[tex]y = (\cos x)^5 + 3 [/tex].
1. Djelujem s arccos? Ali arccos je definiran na [tex][0, \pi][/tex], ne [tex][\pi , {3\pi \over 2}][/tex]. Moram dakle imati pomak ulijevo i "izokrenuti" kosinus (tj. dodati neki broj u [tex]\cos x[/tex] i dodati minus ispred svega?
2. A što je s tim da mi je u zadatku zadan "dio" intervala, [tex]\pi \over 2[/tex], a ne cijeli, [tex]\pi[/tex], ako me razumijete. :?
3. Što ću onda s ovim svim pod arkusom, tj. [tex] y = (\arccos((\cos x)^5 + 3)[/tex]?[/quote]
Da bi provjerio je li f surjekcija trebaš provjeriti je li slika te funkcije jednaka njenoj kodomeni, tj. cijelom skupu realnih brojeva.
PermutiranoPrase (napisa): | Mene zbunjuje sljedeće:
Zadatak je:
Zadana je [tex] f : [\pi , {3\pi \over 2}] \to R[/tex].
[tex] f(x) = (\cos x)^5 + 3[/tex].
Je li to surjekcija?
Dakle, moram izraziti x preko y.
[tex]y = (\cos x)^5 + 3 [/tex].
1. Djelujem s arccos? Ali arccos je definiran na [tex][0, \pi][/tex], ne [tex][\pi , {3\pi \over 2}][/tex]. Moram dakle imati pomak ulijevo i "izokrenuti" kosinus (tj. dodati neki broj u [tex]\cos x[/tex] i dodati minus ispred svega?
2. A što je s tim da mi je u zadatku zadan "dio" intervala, [tex]\pi \over 2[/tex], a ne cijeli, [tex]\pi[/tex], ako me razumijete.
3. Što ću onda s ovim svim pod arkusom, tj. [tex] y = (\arccos((\cos x)^5 + 3)[/tex]? |
Da bi provjerio je li f surjekcija trebaš provjeriti je li slika te funkcije jednaka njenoj kodomeni, tj. cijelom skupu realnih brojeva.
|
|
[Vrh] |
|
PermutiranoPrase Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19) Postovi: (F4)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
simon11 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 10. 2011. (21:02:52) Postovi: (7C)16
Spol:
Lokacija: FunkyTown
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
Phoenix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07) Postovi: (164)16
Sarma: -
|
Postano: 23:40 sub, 29. 10. 2011 Naslov: |
|
|
Pretpostavimo da postoji. Tada je i [tex]f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] strogo padajuća bijekcija. Kako je [tex]x^3[/tex] kao funkcija strogo rastuća bijekcija, tada je i [tex]f^{-1}(x^3)[/tex] strogo padajuća bijekcija.
Desna strana nejednakosti se može raspisati kao [tex]f(f(x)^2+f(x))=f(f(x)^2+f(x)+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})=f([f(x)+\frac{1}{2}]^2-\frac{1}{4})[/tex]. Kako je [tex]f[/tex] strogo padajuća, a [tex][f(x)+\frac{1}{2}]^2 \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}[/tex], zaključujemo sljedeće: [tex]f([f(x)+\frac{1}{2}]^2-\frac{1}{4}) \leq f(-\frac{1}{4})[/tex].
Sada promotrimo početnu nejednakost i uočimo sljedeće:
[tex]f^{-1}(x^3) \leq f(f(x)^2+f(x)) \leq f(-\frac{1}{4})[/tex]
Uočimo sljedeće:
1. S obzirom da je [tex]f^{-1}(x^3)[/tex] surjekcija, vrijedi da za svaki [tex]y \in \mathbb{R}[/tex] postoji [tex]x_y \in \mathbb{R}[/tex] takav da je [tex]y=f^{-1}(x_y^3)[/tex].
2. Za svaki [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] vrijedi [tex]f^{-1}(x^3) \leq f(-\frac{1}{4})[/tex], pri čemu je [tex]f(-\frac{1}{4})[/tex] neki broj.
Znači, istodobno [tex]f^{-1}(x^3)[/tex] postiže svaku vrijednost iz skupa realnih brojeva (1.) i ograničen je odozgo (2.), što je samo po sebi kontradikcija (uzmeš [tex]y \in \mathbb{R}, y > f(-\frac{1}{4})[/tex] i imaš [tex]f^{-1}(x_y^3) = y > f(-\frac{1}{4}) \geq f^{-1}(x_y^3) = y \Rightarrow y > y[/tex]).
Dakle, pretpostavka je bila pogrešna. Padajuća bijekcija [tex]f[/tex] koja zadovoljava zadanu nejednakost ne postoji.
Pretpostavimo da postoji. Tada je i [tex]f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] strogo padajuća bijekcija. Kako je [tex]x^3[/tex] kao funkcija strogo rastuća bijekcija, tada je i [tex]f^{-1}(x^3)[/tex] strogo padajuća bijekcija.
Desna strana nejednakosti se može raspisati kao [tex]f(f(x)^2+f(x))=f(f(x)^2+f(x)+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})=f([f(x)+\frac{1}{2}]^2-\frac{1}{4})[/tex]. Kako je [tex]f[/tex] strogo padajuća, a [tex][f(x)+\frac{1}{2}]^2 \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}[/tex], zaključujemo sljedeće: [tex]f([f(x)+\frac{1}{2}]^2-\frac{1}{4}) \leq f(-\frac{1}{4})[/tex].
Sada promotrimo početnu nejednakost i uočimo sljedeće:
[tex]f^{-1}(x^3) \leq f(f(x)^2+f(x)) \leq f(-\frac{1}{4})[/tex]
Uočimo sljedeće:
1. S obzirom da je [tex]f^{-1}(x^3)[/tex] surjekcija, vrijedi da za svaki [tex]y \in \mathbb{R}[/tex] postoji [tex]x_y \in \mathbb{R}[/tex] takav da je [tex]y=f^{-1}(x_y^3)[/tex].
2. Za svaki [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] vrijedi [tex]f^{-1}(x^3) \leq f(-\frac{1}{4})[/tex], pri čemu je [tex]f(-\frac{1}{4})[/tex] neki broj.
Znači, istodobno [tex]f^{-1}(x^3)[/tex] postiže svaku vrijednost iz skupa realnih brojeva (1.) i ograničen je odozgo (2.), što je samo po sebi kontradikcija (uzmeš [tex]y \in \mathbb{R}, y > f(-\frac{1}{4})[/tex] i imaš [tex]f^{-1}(x_y^3) = y > f(-\frac{1}{4}) \geq f^{-1}(x_y^3) = y \Rightarrow y > y[/tex]).
Dakle, pretpostavka je bila pogrešna. Padajuća bijekcija [tex]f[/tex] koja zadovoljava zadanu nejednakost ne postoji.
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
Postano: 23:58 sub, 29. 10. 2011 Naslov: |
|
|
[quote="Phoenix"]Pretpostavimo da postoji. Tada je i [tex]f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] strogo padajuća bijekcija. Kako je [tex]x^3[/tex] kao funkcija strogo rastuća bijekcija, tada je i [tex]f^{-1}(x^3)[/tex] strogo padajuća bijekcija.
Desna strana nejednakosti se može raspisati kao [tex]f(f(x)^2+f(x))=f(f(x)^2+f(x)+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})=f([f(x)+\frac{1}{2}]^2-\frac{1}{4})[/tex]. Kako je [tex]f[/tex] strogo padajuća, a [tex][f(x)+\frac{1}{2}]^2 \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}[/tex], zaključujemo sljedeće: [tex]f([f(x)+\frac{1}{2}]^2-\frac{1}{4}) \leq f(-\frac{1}{4})[/tex].
Sada promotrimo početnu nejednakost i uočimo sljedeće:
[tex]f^{-1}(x^3) \leq f(f(x)^2+f(x)) \leq f(-\frac{1}{4})[/tex]
Uočimo sljedeće:
1. S obzirom da je [tex]f^{-1}(x^3)[/tex] surjekcija, vrijedi da za svaki [tex]y \in \mathbb{R}[/tex] postoji [tex]x_y \in \mathbb{R}[/tex] takav da je [tex]y=f^{-1}(x_y^3)[/tex].
2. Za svaki [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] vrijedi [tex]f^{-1}(x^3) \leq f(-\frac{1}{4})[/tex], pri čemu je [tex]f(-\frac{1}{4})[/tex] neki broj.
Znači, istodobno [tex]f^{-1}(x^3)[/tex] postiže svaku vrijednost iz skupa realnih brojeva (1.) i ograničen je odozgo (2.), što je samo po sebi kontradikcija (uzmeš [tex]y \in \mathbb{R}, y > f(-\frac{1}{4})[/tex] i imaš [tex]f^{-1}(x_y^3) = y > f(-\frac{1}{4}) \geq f^{-1}(x_y^3) = y \Rightarrow y > y[/tex]).
Dakle, pretpostavka je bila pogrešna. Padajuća bijekcija [tex]f[/tex] koja zadovoljava zadanu nejednakost ne postoji.[/quote]
Hvala kolega! Poprilično sam zadovoljan s Vašim zalaganjen na forumu :D
Morat ću Vas nekako nagraditi :D
Phoenix (napisa): | Pretpostavimo da postoji. Tada je i [tex]f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] strogo padajuća bijekcija. Kako je [tex]x^3[/tex] kao funkcija strogo rastuća bijekcija, tada je i [tex]f^{-1}(x^3)[/tex] strogo padajuća bijekcija.
Desna strana nejednakosti se može raspisati kao [tex]f(f(x)^2+f(x))=f(f(x)^2+f(x)+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})=f([f(x)+\frac{1}{2}]^2-\frac{1}{4})[/tex]. Kako je [tex]f[/tex] strogo padajuća, a [tex][f(x)+\frac{1}{2}]^2 \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}[/tex], zaključujemo sljedeće: [tex]f([f(x)+\frac{1}{2}]^2-\frac{1}{4}) \leq f(-\frac{1}{4})[/tex].
Sada promotrimo početnu nejednakost i uočimo sljedeće:
[tex]f^{-1}(x^3) \leq f(f(x)^2+f(x)) \leq f(-\frac{1}{4})[/tex]
Uočimo sljedeće:
1. S obzirom da je [tex]f^{-1}(x^3)[/tex] surjekcija, vrijedi da za svaki [tex]y \in \mathbb{R}[/tex] postoji [tex]x_y \in \mathbb{R}[/tex] takav da je [tex]y=f^{-1}(x_y^3)[/tex].
2. Za svaki [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] vrijedi [tex]f^{-1}(x^3) \leq f(-\frac{1}{4})[/tex], pri čemu je [tex]f(-\frac{1}{4})[/tex] neki broj.
Znači, istodobno [tex]f^{-1}(x^3)[/tex] postiže svaku vrijednost iz skupa realnih brojeva (1.) i ograničen je odozgo (2.), što je samo po sebi kontradikcija (uzmeš [tex]y \in \mathbb{R}, y > f(-\frac{1}{4})[/tex] i imaš [tex]f^{-1}(x_y^3) = y > f(-\frac{1}{4}) \geq f^{-1}(x_y^3) = y \Rightarrow y > y[/tex]).
Dakle, pretpostavka je bila pogrešna. Padajuća bijekcija [tex]f[/tex] koja zadovoljava zadanu nejednakost ne postoji. |
Hvala kolega! Poprilično sam zadovoljan s Vašim zalaganjen na forumu
Morat ću Vas nekako nagraditi
|
|
[Vrh] |
|
lav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2011. (12:50:51) Postovi: (5)16
|
|
[Vrh] |
|
kenny Petica iz zalaganja
Pridružen/a: 28. 03. 2003. (09:18:36) Postovi: (3B7)16
Spol:
Lokacija: ...somewhere over the rainbow...
|
|
[Vrh] |
|
gflegar Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 10. 2011. (15:03:41) Postovi: (10D)16
Spol:
|
Postano: 10:25 pon, 31. 10. 2011 Naslov: |
|
|
[quote="kenny"]Postupak za određivanje inverzne fje je jednostavan:
1. zamjeni mjesto x i y
2. izrazi sve preko y
3. dobio/la si inverz :D
Dakle, za ovu funkciju bi bilo:
[tex]f(x) = \cos(\pi \sin x)[/tex]
[tex]y = \cos(\pi \sin x)[/tex]
[tex]x = \cos(\pi \sin y)[/tex]
[tex]\displaystyle\arccos x = \pi \sin y[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{\arccos x}{\pi} = \sin y[/tex]
[tex]\displaystyle y = \arcsin \left(\frac{\arccos x}{\pi}\right)[/tex]
[tex]\displaystyle f^{-1}(x) = \arcsin \left(\frac{\arccos x}{\pi}\right)[/tex]
Dakle, samo trebaš znati koja je suprotna funkcije svake funkcije... ;)[/quote]
Samo jos treba paziti da ti inverzna funkcija upadne u dobar interval, posto su arcus funkcije inverzi restrikcija trigonometrijskih funkcija, pa da upadne u interval [tex] \left[\pi, \frac{3\pi}{2} \right][/tex], ona bi morala glasiti
[tex]\displaystyle f^{-1}(x) = \pi - \arcsin \left(\frac{\arccos x}{\pi}\right)[/tex]
kenny (napisa): | Postupak za određivanje inverzne fje je jednostavan:
1. zamjeni mjesto x i y
2. izrazi sve preko y
3. dobio/la si inverz
Dakle, za ovu funkciju bi bilo:
[tex]f(x) = \cos(\pi \sin x)[/tex]
[tex]y = \cos(\pi \sin x)[/tex]
[tex]x = \cos(\pi \sin y)[/tex]
[tex]\displaystyle\arccos x = \pi \sin y[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{\arccos x}{\pi} = \sin y[/tex]
[tex]\displaystyle y = \arcsin \left(\frac{\arccos x}{\pi}\right)[/tex]
[tex]\displaystyle f^{-1}(x) = \arcsin \left(\frac{\arccos x}{\pi}\right)[/tex]
Dakle, samo trebaš znati koja je suprotna funkcije svake funkcije... |
Samo jos treba paziti da ti inverzna funkcija upadne u dobar interval, posto su arcus funkcije inverzi restrikcija trigonometrijskih funkcija, pa da upadne u interval [tex] \left[\pi, \frac{3\pi}{2} \right][/tex], ona bi morala glasiti
[tex]\displaystyle f^{-1}(x) = \pi - \arcsin \left(\frac{\arccos x}{\pi}\right)[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
°bubble° Forumaš(ica)
Pridružen/a: 31. 10. 2011. (12:03:20) Postovi: (25)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
lav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2011. (12:50:51) Postovi: (5)16
|
Postano: 12:46 pon, 31. 10. 2011 Naslov: |
|
|
hvala puno na odgovoru, sad mi je jasno kako naci inverznu f-ju. hvala :D
imam jos jedan problem(ocito nemam dovoljno predznanja is srednje) al, mocu me kad trazim domenu, znam sve uvjete zadat al ne znam rijesit npr.
sin x/2 > 1/2
arctg pi/4 ...
pa me zanima jel mogu imat za takve stvari kalkulator na kolokviju, ako ne, jel ima tu neka fora kak se to rijesi ... hvala.
hvala puno na odgovoru, sad mi je jasno kako naci inverznu f-ju. hvala
imam jos jedan problem(ocito nemam dovoljno predznanja is srednje) al, mocu me kad trazim domenu, znam sve uvjete zadat al ne znam rijesit npr.
sin x/2 > 1/2
arctg pi/4 ...
pa me zanima jel mogu imat za takve stvari kalkulator na kolokviju, ako ne, jel ima tu neka fora kak se to rijesi ... hvala.
|
|
[Vrh] |
|
pandora Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2011. (16:55:23) Postovi: (1A)16
|
|
[Vrh] |
|
gflegar Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 10. 2011. (15:03:41) Postovi: (10D)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
°bubble° Forumaš(ica)
Pridružen/a: 31. 10. 2011. (12:03:20) Postovi: (25)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Shaman Forumaš(ica)
Pridružen/a: 24. 09. 2011. (22:21:43) Postovi: (76)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
thinkpink223 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 09. 2011. (09:24:57) Postovi: (12)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Shaman Forumaš(ica)
Pridružen/a: 24. 09. 2011. (22:21:43) Postovi: (76)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
|