4. i 5. domaca zadaca

[Tomislav]

Ok neka su a1,a2,...,a5 brojevi takvi da je f(ai)=p, za i=1,..5.

Sada je f(x)-p=g(x)*(x-a1)..(x-a5)

Neka je y nultocka od f.

Sad je -p=(y-a1)...(y-a5)g(y)

Znaci da bi -p imao najmanje 5 razlicitih djelitelja,a ima ih samo 4, tj. +-1, +-p.

[Lepi91]

[pupi]

Hvala

[pupi]

I može još samo iz ove zadaće zadnji http://web.math.hr/nastava/em/EM1/zadace/dz2007/dz5-polinomi.pdf

[satja]

f(1) uvijek iznosi suma koeficijenata polinoma, a f(-1) je uvijek suma koeficijenata uz parne potencije minus suma koeficijenata uz neparne potencije. Dokaži i iskoristi!

[Neno]

na prethodnoj stranici je Flame objasnio 1 primjer, zatim sam pisao B. Pavković 567.3), sad pišem 567.4)
razviti polinom po potencijama

[jema]

moze par pitanja za 5. zadacu...3. zadatak radili smo na vjezbama skoro isti,, znaci da (x-alfa)|M(p,p')...i sad ja krenem radit tu mjeru od p,p' no nikako da dobijem na kraju 0. dobijem ovako: prvo dijeljenje mi daje ostatak x^2+x+1, drugo mi daje ostatak 2x+1 i onda kad podijelim x^2+x+1 sa 2x+1 dobijem ostatak 3/4....?? za 4.zad., je li odg ne? i jos...kako da otvorim rar ako ne mogu stisnut ono use evoluation version? XD ili ako je netko to skinuo, ako moze da mi to upload-a tu, ako se to moze XD hvala

[Zenon]

Hello!
Molim pomoć oko zadatka iz zadaće
Odredi sve [tex]a,b\in\mathbb R[/tex] takve da polinom [tex]p(x)=x^4-4x^3+10x^2+ax+b[/tex] ima dvije dvostruke nultočke.

Probao sam napisati [tex]p(x)=\left(x+A\right)^2\left(x+B\right)^2=\left[\left(x+A\right)\left(x+B\right)\right]^2=\left(x^2+(A+B)x+AB\right)^2=x^4+2(A+B)x^3+\left((A+B)^2+2AB\right)x^2+2(A+B)ABx+A^2B^2[/tex], raspisati, izjednačiti koeficijente i dobijem:
[dtex]\left.\begin{array}{lcr}A+B&=&-2\\\left(A+B\right)^2+2AB&=&10\\2AB\left(A+B\right)&=&a\\A^2B^2&=&b\end{array}\right\}[/dtex]
Ups, sad sam ipak uspio dobiti rješenje [tex]A_{1,2}=1\pm3, \ B_{1,2}=-3\pm3[/tex].
I znači to sada samo uvrstim u zadnje dvije jednadžbe sustava i dobijem [tex]a_{1,2} \ i \ b_{1,2}[/tex] i to su onda sigurno sva i jedina rješenja koja zadovoljavaju uvjete zadatka?

Ovo jednostavno moram staviti jer je preškica
hihihihihihi


Hvala unaprijed!

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[krcko]

Sustav ti je dobar, ali rjesenje mi ispada drugacije (). Drugi nacin je preko Euklidovog algoritma: podijelis p s p', onda p' s ostatkom i izjednacis koeficijente novog ostatka s nulom. Dobit ces sustav od dvije jednadzbe u nepoznanicama a, b.

@jema: u prvom dijeljenju ostatak je x^2+x+2, u drugom je nula. U cetvrtom zadatku odgovor je ne, a ti objasni zasto I nemoj vise cross postati!

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[vsego]

Sitna opaska: moze to i bez trazenja [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex].

1. iz prve dvije jednadzbe zakljucimo da je [tex]AB = \frac{10-(-2)^2}{2} = 3[/tex],

2. iz trece i cetvrte – bez trazenja [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] – dobijemo da je [tex]a = 2 \cdot 3 \cdot (-2) = -12[/tex] i [tex]b = 3^2 = 9[/tex].

Manje posla = manje gresaka.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Zenon]

[dalmatinčica]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/em/EM1/zadace/dz2010/dz4.pdf
kako 1. zad rješit?

[jema]

pokazala sam ja zasto je ne, samo eto da provjerim al jos mi nije jasno kak je ostatak nula jer imam sljedece:
(x^2+x +1):(2x+1)=0.5x+0.25
-(x^2+0.5x)
---------------
0 +0.5x+1
-(0.5x+0.25)
------------------
0 3/4

eto tako sam ja to izracunala XD

Added after 4 minutes:

dalmatincica, znaci f(x)=(x^2+2)*g(x)+taj ostatak....ali isto tako ti je f(x)=(x^2+2)*q1(x)+r1(x), a r1 je ocito stupnja 1, tj. r1(x)=AX+B....sad bi dalje trebalo bit jasno

[Zenon]

[gflegar]

@jema

Greska ti je u prethodnom koraku jer se u ovom zadatku uopce ne dobe polinomi s kojima ti tu racunas

_________________
http://web.studenti.math.pmf.unizg.hr/~gflegar

[zaruljica]

jel iko riješia slučajno 5. zadatak iz 5. domaće zadaće???

[gflegar]

5. zadatak iz 5. zadace:
Sa [tex]x_1, x_2, \ldots, x_5[/tex] oznacimo tocke u kojima polinom [tex]f[/tex] poprima vrijednost [tex]p[/tex]. U tim tockama polinom [tex] F(x) = f(x) - p[/tex] poprima [tex]0[/tex] pa su [tex]x_1, x_2, \ldots, x_5[/tex] nultocke polinoma [tex]F[/tex], tj.
[dtex]F(x) = (x - x_1) \ldots (x-x_5)q(x) \Rightarrow f(x) = (x - x_1) \ldots (x-x_5)q(x) + p[/dtex]

Pretpostavimo da polinom [tex]f[/tex] ima cjelobrojnu nultocku [tex]x_0[/tex].
Tada vrijedi:
[dtex] f(x_0) = (x_0 - x_1) \ldots (x_0 - x_5)q(x_0) + p = 0 \Rightarrow (x_0 - x_1) \ldots (x_0 - x_5)q(x_0) = -p[/dtex]
Kako su [tex]x_1, \ldots, x_5[/tex] medjusobno razliciti, [tex]x_0-x_1, \ldots x_0-x_5[/tex] su medjusobno razliciti djelitelji broja [tex]-p[/tex].
Ali to je kontradikcija jer je [tex]p[/tex] prost pa su mu jednini djelitelji [tex]1, -1, p, -p[/tex].

Dakle, [tex]f[/tex] nema cjelobrojnih nultocaka.

_________________
http://web.studenti.math.pmf.unizg.hr/~gflegar

[zaruljica]

[krcko]

Simetricne jednadzbe i parcijalni razlomci svima jasni? Nitko ne pita, nemojte zanemariti te zadatke.

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[Zenon]

Hajde kad smo već kod toga da provjerim svoje znanje:
S prošlogodišnjeg kolokvija:
[dtex]\frac{1}{(x+2)^3(x^2+5)^2}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x+2)^2}+\frac{C}{(x+2)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+5}+\frac{Fx+G}{(x^2+5)^2}[/dtex]

Nema smisla sada da riješavam sustav.
Ako ovo valja, mogu li dobiti neki kompliciraniji primjer? Ako ne, molim ispravku...
Hvala

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]