Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
krcko Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59) Postovi: (18B3)16
|
|
[Vrh] |
|
logikaus Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 10. 2011. (17:55:23) Postovi: (45)16
|
Postano: 12:11 uto, 17. 1. 2012 Naslov: |
|
|
Trebam pomoć oko dva 'kvalifikacijska' pitanja, 7. i 12.
12 Tm: Rastav na proste faktore.
Mislili li se pod tim da se svaki prirodni broj veći od jedan može prikazati kao umnožak od jednog ili više prostih faktora. Ili je to nešto drugo?
7 Uvođenje skupova N, Z i Q.
Prirodne brojeve smo uveli slično kao i na analizi. I taj dio u potpunosti razumijem. Ali uvođenje Z i Q iz analize i elementarne nije baš slično, i iskreno, iz analize mi se čini jednostavnijim, pa mogu li ja ta dva skupa uvesti kao i na analizi ili moram znati o ovaj način, na koji smo ih mi uveli?
Hvala
Trebam pomoć oko dva 'kvalifikacijska' pitanja, 7. i 12.
12 Tm: Rastav na proste faktore.
Mislili li se pod tim da se svaki prirodni broj veći od jedan može prikazati kao umnožak od jednog ili više prostih faktora. Ili je to nešto drugo?
7 Uvođenje skupova N, Z i Q.
Prirodne brojeve smo uveli slično kao i na analizi. I taj dio u potpunosti razumijem. Ali uvođenje Z i Q iz analize i elementarne nije baš slično, i iskreno, iz analize mi se čini jednostavnijim, pa mogu li ja ta dva skupa uvesti kao i na analizi ili moram znati o ovaj način, na koji smo ih mi uveli?
Hvala
|
|
[Vrh] |
|
gflegar Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 10. 2011. (15:03:41) Postovi: (10D)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
ap Forumaš(ica)
Pridružen/a: 16. 01. 2012. (20:57:13) Postovi: (3)16
|
|
[Vrh] |
|
patakenjac Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 10. 2011. (17:34:05) Postovi: (2F)16
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
Postano: 13:32 pet, 20. 1. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="patakenjac"]Može li mi netko ispisati ili reci gdje mogu naci dokaz za teorem: klase ekvivalencije čine particiju. :musicbox:[/quote]
Neka je S neki neprazan skup. Neka je ~ relacija ekvivalencije na skupu S. Očito je unija svih klasa ekvivalencije jednaka čitavom skupu S.
Neka su A i B dvije klase ekvivalencije na skupu S, s obzirom na relaciju ~. Dokažimo da tada postoje samo dvije mogućnosti: ili su disjunktne ili je A=B.
Pretpostavimo da klase ekvivalencije A i B nisu disjunktne. Neka je x u presjeku klasa A i B. Tada postoji a' iz A takav da je x~a'. Ako je a bilo koji drugi element iz A, tada je a'~a pa zbog tranzitivnosti vrijedi x~a, za svaki a iz A.
Slično, jer je x u B, tada za svaki b iz B vrijedi x~b.
Opet, zbog tranzitivnosti, za svaki a iz A i svaki b iz B vrijedi a~x~b, odnosno a~b. Prema tome svaki a iz A je u B i svaki b iz B je u A, odnosno A=B.
Dakle, svake dvije klase ekvivalencije ili se podudaraju ili su disjunktne. Jer je još unija klasa ekvivalencije jednaka skupu S, tada one čine particiju tog skupa.
[size=9][color=#999999]Added after 9 minutes:[/color][/size]
[quote="logikaus"]Trebam pomoć oko dva 'kvalifikacijska' pitanja, 7. i 12.
12 Tm: Rastav na proste faktore.
Mislili li se pod tim da se svaki prirodni broj veći od jedan može prikazati kao umnožak od jednog ili više prostih faktora. Ili je to nešto drugo?[/quote]
To je nešto drugo, ali jako slično tvome. Misli se na to da se svaki prirodan broj veći od jedan može [b]na jedinstven način[/b] prikazati kao umnožak od jednog ili više prostih faktora (pri čemu rastave koji se sastoje od istih prostih faktora, ali u drugačijem redoslijedu, smatramo istima).
patakenjac (napisa): | Može li mi netko ispisati ili reci gdje mogu naci dokaz za teorem: klase ekvivalencije čine particiju. |
Neka je S neki neprazan skup. Neka je ~ relacija ekvivalencije na skupu S. Očito je unija svih klasa ekvivalencije jednaka čitavom skupu S.
Neka su A i B dvije klase ekvivalencije na skupu S, s obzirom na relaciju ~. Dokažimo da tada postoje samo dvije mogućnosti: ili su disjunktne ili je A=B.
Pretpostavimo da klase ekvivalencije A i B nisu disjunktne. Neka je x u presjeku klasa A i B. Tada postoji a' iz A takav da je x~a'. Ako je a bilo koji drugi element iz A, tada je a'~a pa zbog tranzitivnosti vrijedi x~a, za svaki a iz A.
Slično, jer je x u B, tada za svaki b iz B vrijedi x~b.
Opet, zbog tranzitivnosti, za svaki a iz A i svaki b iz B vrijedi a~x~b, odnosno a~b. Prema tome svaki a iz A je u B i svaki b iz B je u A, odnosno A=B.
Dakle, svake dvije klase ekvivalencije ili se podudaraju ili su disjunktne. Jer je još unija klasa ekvivalencije jednaka skupu S, tada one čine particiju tog skupa.
Added after 9 minutes:
logikaus (napisa): | Trebam pomoć oko dva 'kvalifikacijska' pitanja, 7. i 12.
12 Tm: Rastav na proste faktore.
Mislili li se pod tim da se svaki prirodni broj veći od jedan može prikazati kao umnožak od jednog ili više prostih faktora. Ili je to nešto drugo? |
To je nešto drugo, ali jako slično tvome. Misli se na to da se svaki prirodan broj veći od jedan može na jedinstven način prikazati kao umnožak od jednog ili više prostih faktora (pri čemu rastave koji se sastoje od istih prostih faktora, ali u drugačijem redoslijedu, smatramo istima).
_________________ The Dude Abides
|
|
[Vrh] |
|
patakenjac Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 10. 2011. (17:34:05) Postovi: (2F)16
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
patakenjac Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 10. 2011. (17:34:05) Postovi: (2F)16
|
|
[Vrh] |
|
krcko Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59) Postovi: (18B3)16
|
|
[Vrh] |
|
PermutiranoPrase Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19) Postovi: (F4)16
Spol:
|
Postano: 18:47 ned, 22. 1. 2012 Naslov: |
|
|
Imamo relaciju koju smo definirali za definirati skup Q, da je (a,b) ~ (c,d) <=> ad=bc.
To je relacija ekvivalencije. U dokazu tranzitivnosti imamo sljedeći dio:
Želimo (a,b) ~ (e,f), tj. af=be. Vrijedi ad=bc, cf=de. Za c različit od nule imamo de = 0, ad=0. Iz toga zaključujemo da je e=0 i a=0.
Zašto nismo zaključili da je d=0? Ili je ovo samo jedan od 2 slučaja koja možemo imati, ali smo mi zapisali samo potonji jer nam on koristi, a prvi slučaj, da je d=0, nam ne koristi ničemu? :?
I još jedno pitanje - kod dokaza tm. o dijeljenju s ostatkom, kod dokaza jedinstvenosti:
Pretpostavimo [tex]a = q_1b + r_1 = q_2b+r_2, 0\leq r_1, r_2 < b[/tex]. Slijedi [tex](q_1-q_2)b=r_2-r_1[/tex]. Za [tex]q_1 \neq q_2[/tex] imamo [tex]|q_1-q_2|b \geq b[/tex], a [tex]|r_2-r_1|<b[/tex]. Ova zadnja rečenica mi nije nimalo jasna, otkud, kako, zašto? :shock:
Imamo relaciju koju smo definirali za definirati skup Q, da je (a,b) ~ (c,d) ⇔ ad=bc.
To je relacija ekvivalencije. U dokazu tranzitivnosti imamo sljedeći dio:
Želimo (a,b) ~ (e,f), tj. af=be. Vrijedi ad=bc, cf=de. Za c različit od nule imamo de = 0, ad=0. Iz toga zaključujemo da je e=0 i a=0.
Zašto nismo zaključili da je d=0? Ili je ovo samo jedan od 2 slučaja koja možemo imati, ali smo mi zapisali samo potonji jer nam on koristi, a prvi slučaj, da je d=0, nam ne koristi ničemu?
I još jedno pitanje - kod dokaza tm. o dijeljenju s ostatkom, kod dokaza jedinstvenosti:
Pretpostavimo [tex]a = q_1b + r_1 = q_2b+r_2, 0\leq r_1, r_2 < b[/tex]. Slijedi [tex](q_1-q_2)b=r_2-r_1[/tex]. Za [tex]q_1 \neq q_2[/tex] imamo [tex]|q_1-q_2|b \geq b[/tex], a [tex]|r_2-r_1|<b[/tex]. Ova zadnja rečenica mi nije nimalo jasna, otkud, kako, zašto?
Zadnja promjena: PermutiranoPrase; 19:15 ned, 22. 1. 2012; ukupno mijenjano 2 put/a.
|
|
[Vrh] |
|
Pjotr Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 09. 2011. (16:47:19) Postovi: (A)16
Lokacija: Zagreb
|
|
[Vrh] |
|
PermutiranoPrase Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19) Postovi: (F4)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
pandora Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2011. (16:55:23) Postovi: (1A)16
|
Postano: 19:41 ned, 22. 1. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="PermutiranoPrase"]
I još jedno pitanje - kod dokaza tm. o dijeljenju s ostatkom, kod dokaza jedinstvenosti:
Pretpostavimo [tex]a = q_1b + r_1 = q_2b+r_2, 0\leq r_1, r_2 < b[/tex]. Slijedi [tex](q_1-q_2)b=r_2-r_1[/tex]. Za [tex]q_1 \neq q_2[/tex] imamo [tex]|q_1-q_2|b \geq b[/tex], a [tex]|r_2-r_1|<b[/tex]. Ova zadnja rečenica mi nije nimalo jasna, otkud, kako, zašto? :shock:[/quote]
|q2-q1|*b će sigurno biti veće (ili jednako) od b, jer su q1, q2 cijeli brojevi, a i stavljanjem njihove razlike pod apsolutnu vrijednost, b množiš pozitivnim brojem, stoga je to veće od b (jednako b ako je |q2-q1| = 1)
dok na desnoj strani imaš |r2-r1|, a kako znaš r2 < b i r1 <b, onda će sigurno |r2-r1|<b
vidiš sad da je apsolutna vrijednost lijeve strane veća od b, dok je apsolutna vrijednost desne strane manja od b, i tu je kontradikcija
nadam se da sam dobro objasnila, ako je nešto krivo molim da me se ispravi
ispričavam se na nekorištenju latexa
PermutiranoPrase (napisa): |
I još jedno pitanje - kod dokaza tm. o dijeljenju s ostatkom, kod dokaza jedinstvenosti:
Pretpostavimo [tex]a = q_1b + r_1 = q_2b+r_2, 0\leq r_1, r_2 < b[/tex]. Slijedi [tex](q_1-q_2)b=r_2-r_1[/tex]. Za [tex]q_1 \neq q_2[/tex] imamo [tex]|q_1-q_2|b \geq b[/tex], a [tex]|r_2-r_1|<b[/tex]. Ova zadnja rečenica mi nije nimalo jasna, otkud, kako, zašto? |
|q2-q1|*b će sigurno biti veće (ili jednako) od b, jer su q1, q2 cijeli brojevi, a i stavljanjem njihove razlike pod apsolutnu vrijednost, b množiš pozitivnim brojem, stoga je to veće od b (jednako b ako je |q2-q1| = 1)
dok na desnoj strani imaš |r2-r1|, a kako znaš r2 < b i r1 <b, onda će sigurno |r2-r1|<b
vidiš sad da je apsolutna vrijednost lijeve strane veća od b, dok je apsolutna vrijednost desne strane manja od b, i tu je kontradikcija
nadam se da sam dobro objasnila, ako je nešto krivo molim da me se ispravi
ispričavam se na nekorištenju latexa
|
|
[Vrh] |
|
Pjotr Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 09. 2011. (16:47:19) Postovi: (A)16
Lokacija: Zagreb
|
|
[Vrh] |
|
PermutiranoPrase Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19) Postovi: (F4)16
Spol:
|
Postano: 20:17 ned, 22. 1. 2012 Naslov: |
|
|
Hvala vam! Da, q-ovi su cijeli brojevi.. :boliglava:
Ok, dalje. :D
Gledala sam neke dokaze ekvipotentnosti Q i Z, ali nisu mi baš jasni, išla bih radije po Krckovom. Jasno mi je zašto imam [tex]cardQ \geq cardN[/tex], ali zašto vrijedi ovo drugo, [tex]cardQ \leq card(Z*N)[/tex]?
I dok dokaza da je [tex]cardR > cardN[/tex], nije mi uopće jasno zašto skup <0,1> nije prebrojiv. Imamo one [tex]f(1) = 0.a_{11}a_{12}a_{13}..., f(2) = 0.a_{21}a_{22}a_{23}..., f(3) = 0.a_{31}a_{32}a_{33}..., [/tex], pri čemu su a-evi znamenke od 0 do 9.
Zašto je [tex]x=0.x_1x_2x_3... \neq f(n)[/tex] pri čemu je [tex]x_i = 1[/tex] za [tex]a_{ii} \neq 1[/tex], te [tex]x_i = 2[/tex] za [tex]a_{ii}=1[/tex]?
Hvala vam! Da, q-ovi su cijeli brojevi..
Ok, dalje.
Gledala sam neke dokaze ekvipotentnosti Q i Z, ali nisu mi baš jasni, išla bih radije po Krckovom. Jasno mi je zašto imam [tex]cardQ \geq cardN[/tex], ali zašto vrijedi ovo drugo, [tex]cardQ \leq card(Z*N)[/tex]?
I dok dokaza da je [tex]cardR > cardN[/tex], nije mi uopće jasno zašto skup <0,1> nije prebrojiv. Imamo one [tex]f(1) = 0.a_{11}a_{12}a_{13}..., f(2) = 0.a_{21}a_{22}a_{23}..., f(3) = 0.a_{31}a_{32}a_{33}..., [/tex], pri čemu su a-evi znamenke od 0 do 9.
Zašto je [tex]x=0.x_1x_2x_3... \neq f(n)[/tex] pri čemu je [tex]x_i = 1[/tex] za [tex]a_{ii} \neq 1[/tex], te [tex]x_i = 2[/tex] za [tex]a_{ii}=1[/tex]?
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
Postano: 20:27 ned, 22. 1. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="PermutiranoPrase"]Zašto je [tex]x=0.x_1x_2x_3... \neq f(n)[/tex] pri čemu je [tex]x_i = 1[/tex] za [tex]a_{ii} \neq 1[/tex], te [tex]x_i = 2[/tex] za [tex]a_{ii}=1[/tex]?[/quote]
Taj x nije f(1) jer se od f(1) razlikuje u prvoj decimali, tj. ako je
[tex]a_{11}=1[/tex], onda [tex]x_1[/tex] nije 1, a ako [tex]a_{11}\neq 1[/tex], onda je [tex]x_1=1[/tex].
Isto tako, taj x nije f(2) jer se razlikuju u drugoj decimali. Pa nije niti f(3), niti f(4), ... , niti f(n) jer se razlikuju u n-toj decimali, za svaki prirodan broj n.
PermutiranoPrase (napisa): | Zašto je [tex]x=0.x_1x_2x_3... \neq f(n)[/tex] pri čemu je [tex]x_i = 1[/tex] za [tex]a_{ii} \neq 1[/tex], te [tex]x_i = 2[/tex] za [tex]a_{ii}=1[/tex]? |
Taj x nije f(1) jer se od f(1) razlikuje u prvoj decimali, tj. ako je
[tex]a_{11}=1[/tex], onda [tex]x_1[/tex] nije 1, a ako [tex]a_{11}\neq 1[/tex], onda je [tex]x_1=1[/tex].
Isto tako, taj x nije f(2) jer se razlikuju u drugoj decimali. Pa nije niti f(3), niti f(4), ... , niti f(n) jer se razlikuju u n-toj decimali, za svaki prirodan broj n.
_________________ The Dude Abides
|
|
[Vrh] |
|
PermutiranoPrase Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19) Postovi: (F4)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
Postano: 21:21 ned, 22. 1. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="PermutiranoPrase"]Gledala sam neke dokaze ekvipotentnosti Q i Z, ali nisu mi baš jasni, išla bih radije po Krckovom. Jasno mi je zašto imam [tex]cardQ \geq cardN[/tex], ali zašto vrijedi ovo drugo, [tex]cardQ \leq card(Z*N)[/tex]?[/quote]
Ne znam što je po Krckovom. Ako na Q gledaš kao skup svih razlomaka m/n, gdje je m cijeli, a n prirodan broj i pri čemu su m i n relativno prosti, onda je f(m/n)=(m,n) injekcija iz Q u ZxN što znači da je card(Q) manji od ili jednak card(ZxN), a jer je card(ZxN)=card(N), onda je i card(Q) manji od ili jednak card(N).
PermutiranoPrase (napisa): | Gledala sam neke dokaze ekvipotentnosti Q i Z, ali nisu mi baš jasni, išla bih radije po Krckovom. Jasno mi je zašto imam [tex]cardQ \geq cardN[/tex], ali zašto vrijedi ovo drugo, [tex]cardQ \leq card(Z*N)[/tex]? |
Ne znam što je po Krckovom. Ako na Q gledaš kao skup svih razlomaka m/n, gdje je m cijeli, a n prirodan broj i pri čemu su m i n relativno prosti, onda je f(m/n)=(m,n) injekcija iz Q u ZxN što znači da je card(Q) manji od ili jednak card(ZxN), a jer je card(ZxN)=card(N), onda je i card(Q) manji od ili jednak card(N).
_________________ The Dude Abides
|
|
[Vrh] |
|
PermutiranoPrase Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19) Postovi: (F4)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
|