|
[quote]Moze li mi netko reci samo okvirno kako se rijesava
integralna jednadzba? Nemam pojma sto se s tim radi.[/quote]
Derivira se. Preciznije, svede se na diferencijalnu jednadžbu.
Najčešće integral nakon dovoljno deriviranja nestane, ili se
ciklički opet pojavi u istom obliku, pa ga se može eliminirati
(kao dolje).
(Ne zaboraviti na granice koje ovise o t prilikom deriviranja integrala.)
[quote] Evo primjer:
x(t)=cost+2*integral od 0 do t(cos(t-z)x(z)dz)[/quote]
Deriviravši jednom, dobijemo
x'(t)=-sint-2int{z:0~t}(sin(t-z)x(z))+2x(t) .
Još jedno deriviranje daje
x''(t)=-cost-2int{z:0~t}(cos(t-z)x(z))+2x'(t) .
Iz toga i početne jednadžbe možemo eliminirati int{z:0~t}(cos(t-z)x(z)) ,
i dobijemo x''(t)-2x'(t)+x(t)=0 , što je linearna diferencijalna
jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima, koja se lako
riješi. Dobije se e^t(C1+tC2) . No nisu sva ta rješenja ujedno i
rješenja početne integralne jednadžbe: int{z:0~0}(...)=0 , pa
uvrštavanjem t=0 u izraze za x(t) i x'(t) gore imamo
x(0)=1 & x'(0)=2x(0)=2*1=2 . To su početni uvjeti, uz koje gornja
diferencijalna jednadžba ima jedinstveno rješenje x(t)=(1+t)e^t .
| Citat: | Moze li mi netko reci samo okvirno kako se rijesava
integralna jednadzba? Nemam pojma sto se s tim radi. |
Derivira se. Preciznije, svede se na diferencijalnu jednadžbu.
Najčešće integral nakon dovoljno deriviranja nestane, ili se
ciklički opet pojavi u istom obliku, pa ga se može eliminirati
(kao dolje).
(Ne zaboraviti na granice koje ovise o t prilikom deriviranja integrala.)
| Citat: | Evo primjer:
x(t)=cost+2*integral od 0 do t(cos(t-z)x(z)dz) |
Deriviravši jednom, dobijemo
x'(t)=-sint-2int{z:0~t}(sin(t-z)x(z))+2x(t) .
Još jedno deriviranje daje
x''(t)=-cost-2int{z:0~t}(cos(t-z)x(z))+2x'(t) .
Iz toga i početne jednadžbe možemo eliminirati int{z:0~t}(cos(t-z)x(z)) ,
i dobijemo x''(t)-2x'(t)+x(t)=0 , što je linearna diferencijalna
jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima, koja se lako
riješi. Dobije se e^t(C1+tC2) . No nisu sva ta rješenja ujedno i
rješenja početne integralne jednadžbe: int{z:0~0}(...)=0 , pa
uvrštavanjem t=0 u izraze za x(t) i x'(t) gore imamo
x(0)=1 & x'(0)=2x(0)=2*1=2 . To su početni uvjeti, uz koje gornja
diferencijalna jednadžba ima jedinstveno rješenje x(t)=(1+t)e^t .
|
