|
[quote="rahonavis"]Please help.....
[code:1](a*sin(x)+b) / (b*cos(x)+a) = (a*cos(x)+b) / (b*sin(x)+a)[/code:1]
Hvala[/quote]
Pretpostavljam da je to trigonometrijska jednadba koju treba rijesiti po
x@|R .
Dakle, prvo, mora biti bcosx+a!=0 . Buduci da je b>0 , to je
ekvivalentno s cosx!=-a/b . Takoder, jednako tako mora biti sinx!=-a/b .
U tom slucaju, imamo (asinx+b)(bsinx+a)=(bcosx+a)(acosx+b) ,
odnosno ab*sqsinx+sqa*sinx+sqb*sinx+ab=ab*sqcosx+(sqa+sqb)cosx+ab .
Prebacivsi sve na jednu stranu dobijemo
ab(sqsinx-sqcosx)+(sqa+sqb)(sinx-cosx)=0 . Rastavivsi razliku kvadrata i
izlucivsi sinx-cosx ,
(sinx-cosx)(ab(sinx+cosx)+sqa+sqb)=0 . Dakle, ili je sinx=cosx (sto vodi
na tgx=1 , dakle x=pi/4+kpi ), ili je sinx+cosx=-(sqa+sqb)/ab=-(t+1/t) ,
sto je naravno nemoguce (sto si i ti primijetila dolje), jer je
-(t+1/t)<=-(1+1)=-2 , a sinx+cosx>-1+(-1)=-2 (ne mogu oba istovremeno
biti -1 ).
Dakle, jedino rjesenje je x=pi/4+kpi ,k@|Z . Treba jos osigurati da
zadovoljava gornje uvjete: sinx=cosx=+-1/sqrt2 , dakle samo treba biti
a/b!=1/sqrt2 (drugi predznak otpada jer je a/b>0 ), odnosno asqrt2!=b .
Ako je asqrt2=b , pola tih rjesenja otpada - ona za koja je
sinx=cosx=-1/sqrt2 , odnosno ona u trecem kvadrantu. Jos uvijek ostaju
ona u prvom kvadrantu, za koje je sinx=cosx=1/sqrt2 . Odnosno
x=pi/4+2kpi .
Zakljucak: ako je asqrt2!=b , sva rjesenja dana su s x=pi/4+kpi ,k@|Z .
Ako je asqrt2=b , sva rjesenja dana su s x=pi/4+2kpi ,k@|Z .
| rahonavis (napisa): | Please help.....
| Kod: | | (a*sin(x)+b) / (b*cos(x)+a) = (a*cos(x)+b) / (b*sin(x)+a) |
Hvala |
Pretpostavljam da je to trigonometrijska jednadba koju treba rijesiti po
x@|R .
Dakle, prvo, mora biti bcosx+a!=0 . Buduci da je b>0 , to je
ekvivalentno s cosx!=-a/b . Takoder, jednako tako mora biti sinx!=-a/b .
U tom slucaju, imamo (asinx+b)(bsinx+a)=(bcosx+a)(acosx+b) ,
odnosno ab*sqsinx+sqa*sinx+sqb*sinx+ab=ab*sqcosx+(sqa+sqb)cosx+ab .
Prebacivsi sve na jednu stranu dobijemo
ab(sqsinx-sqcosx)+(sqa+sqb)(sinx-cosx)=0 . Rastavivsi razliku kvadrata i
izlucivsi sinx-cosx ,
(sinx-cosx)(ab(sinx+cosx)+sqa+sqb)=0 . Dakle, ili je sinx=cosx (sto vodi
na tgx=1 , dakle x=pi/4+kpi ), ili je sinx+cosx=-(sqa+sqb)/ab=-(t+1/t) ,
sto je naravno nemoguce (sto si i ti primijetila dolje), jer je
-(t+1/t)⇐-(1+1)=-2 , a sinx+cosx>-1+(-1)=-2 (ne mogu oba istovremeno
biti -1 ).
Dakle, jedino rjesenje je x=pi/4+kpi ,k@|Z . Treba jos osigurati da
zadovoljava gornje uvjete: sinx=cosx=+-1/sqrt2 , dakle samo treba biti
a/b!=1/sqrt2 (drugi predznak otpada jer je a/b>0 ), odnosno asqrt2!=b .
Ako je asqrt2=b , pola tih rjesenja otpada - ona za koja je
sinx=cosx=-1/sqrt2 , odnosno ona u trecem kvadrantu. Jos uvijek ostaju
ona u prvom kvadrantu, za koje je sinx=cosx=1/sqrt2 . Odnosno
x=pi/4+2kpi .
Zakljucak: ako je asqrt2!=b , sva rjesenja dana su s x=pi/4+kpi ,k@|Z .
Ako je asqrt2=b , sva rjesenja dana su s x=pi/4+2kpi ,k@|Z .
|
