|
[quote]zadana je matrica A=[7 -4 0//a -7 b//3 -2 0]
čije su dvije svojstvene vrijednosti -1 i 1.
odredite a,b realne brojeve
i algebarske kratnosti svih svojstvenih vrijednosti od A. [/quote]
Da je 1 svojstvena vrijednost ( Ax=x za neki x!=0 ), znači da je
matrica A-I=[6 -4 0//a -8 b//3 -2 -1] singularna ( x joj je u jezgri).
Njena determinanta ne sadrži b jer je [6 -4//3 -2] singularna, pa se
iz 48-4a=0 lako dobije a=12 .
Također, analogno, A+I=[8 -4 0//12 -6 b//3 -2 1] je singularna.
Sad je [8 -4] proporcionalan s [12 -6] (a nije s [3 -2] )
a na mjestu (1,3) pise 0 , pa je b=0 . Rjesenje je a=12&b=0 .
[quote]ZAD2 zadan je linearan operator A: s M2(R) u M2(R) sa
[code:1]A[a b]:=[a-b -a+b+2c]
[c d] [a-c-d -a+2c+d] ,[/code:1]
treba odrediti defekt[/quote]
A([a b//c d])=[0 0//0 0] povlači homogen sustav 4x4
a-b=-a+b+2c=a-c-d=-a+2c+d=0 ,
odnosno a=b=b+2c=c+d=2c+d , iz čega c=0 . Uvrstivši to unatrag,
dobijemo a=b=d . Dakle, tipična matrica u jezgri je
[a b//c d]=[a a//0 a]=a[1 1//0 1] , odnosno matrica [1 1//0 1] čini
skup izvodnica za jezgru. Jer je samo jedna, a nije nulmatrica, čini i
bazu, pa je defekt (dimenzija jezgre) od A jednak 1 .
[quote] i rang[/quote]
Po teoremu o rangu i defektu, r(A)=dimD(A)-d(A) . Dimenzija domene je
dimenzija od |R^(2x2) , dakle 4 , pa je r(A)=4-1=3 .
[quote] i matricu A u kanonskoj bazi od M2(R) [/quote]
Kanonska baza od |R^(2x2) je {E1,E2,E3,E4} , gdje je E1=[1 0//0 0] ,
E2=[0 1//0 0] , E3=[0 0//1 0] i E4=[0 0//0 1] . Gledamo kako A djeluje
na te matrice, i rezultate zapisujemo u toj bazi. Koeficijente pisemo u
stupce matrice od A .
AE1=A[1 0//0 0]=[1-0 -1+0+2*0//1-0-0 -1+2*0+0]=[1 -1//1 -1]=
=[1 0//0 0]-[0 1//0 0]+[0 0//1 0]-[0 0//0 1]=E1-E2+E3-E4
(koeficijenti 1,-1,1,-1 ).
AE2=A[0 1//0 0]=[-1 1//0 0]=-E1+E2 (koeficijenti -1,1,0,0 )
AE3=[0 2//-1 2] (koeficijenti 0,2,-1,2 )
AE4=[0 0//-1 1]
Dakle, matrica od A u kanonskoj bazi je
[code:1] [ 1 -1 0 0]
A(E1,E2,E3,E4)=[-1 1 2 0]
[ 1 0 -1 -1]
[-1 0 2 1][/code:1]
Primijeti da si to mogao i ovako (ako se radi o kanonskoj bazi):
citas komponente slike onim redom kao sto idu jedinice u kanonskoj bazi,
i za svaku od njih pises koeficijente uz a,b,c,d redom u _retke_
matrice. Prvo imas a-b . Znaci u prvi redak ide 1,-1,0,0 . Onda -a+b+2c ,
dakle drugi redak je -1,1,2,0 , itd.
| Citat: | zadana je matrica A=[7 -4 0//a -7 b//3 -2 0]
čije su dvije svojstvene vrijednosti -1 i 1.
odredite a,b realne brojeve
i algebarske kratnosti svih svojstvenih vrijednosti od A. |
Da je 1 svojstvena vrijednost ( Ax=x za neki x!=0 ), znači da je
matrica A-I=[6 -4 0//a -8 b//3 -2 -1] singularna ( x joj je u jezgri).
Njena determinanta ne sadrži b jer je [6 -4//3 -2] singularna, pa se
iz 48-4a=0 lako dobije a=12 .
Također, analogno, A+I=[8 -4 0//12 -6 b//3 -2 1] je singularna.
Sad je [8 -4] proporcionalan s [12 -6] (a nije s [3 -2] )
a na mjestu (1,3) pise 0 , pa je b=0 . Rjesenje je a=12&b=0 .
| Citat: | ZAD2 zadan je linearan operator A: s M2(R) u M2(R) sa
| Kod: | A[a b]:=[a-b -a+b+2c]
[c d] [a-c-d -a+2c+d] , |
treba odrediti defekt |
A([a b//c d])=[0 0//0 0] povlači homogen sustav 4x4
a-b=-a+b+2c=a-c-d=-a+2c+d=0 ,
odnosno a=b=b+2c=c+d=2c+d , iz čega c=0 . Uvrstivši to unatrag,
dobijemo a=b=d . Dakle, tipična matrica u jezgri je
[a b//c d]=[a a//0 a]=a[1 1//0 1] , odnosno matrica [1 1//0 1] čini
skup izvodnica za jezgru. Jer je samo jedna, a nije nulmatrica, čini i
bazu, pa je defekt (dimenzija jezgre) od A jednak 1 .
Po teoremu o rangu i defektu, r(A)=dimD(A)-d(A) . Dimenzija domene je
dimenzija od |R^(2x2) , dakle 4 , pa je r(A)=4-1=3 .
| Citat: | | i matricu A u kanonskoj bazi od M2(R) |
Kanonska baza od |R^(2x2) je {E1,E2,E3,E4} , gdje je E1=[1 0//0 0] ,
E2=[0 1//0 0] , E3=[0 0//1 0] i E4=[0 0//0 1] . Gledamo kako A djeluje
na te matrice, i rezultate zapisujemo u toj bazi. Koeficijente pisemo u
stupce matrice od A .
AE1=A[1 0//0 0]=[1-0 -1+0+2*0//1-0-0 -1+2*0+0]=[1 -1//1 -1]=
=[1 0//0 0]-[0 1//0 0]+[0 0//1 0]-[0 0//0 1]=E1-E2+E3-E4
(koeficijenti 1,-1,1,-1 ).
AE2=A[0 1//0 0]=[-1 1//0 0]=-E1+E2 (koeficijenti -1,1,0,0 )
AE3=[0 2//-1 2] (koeficijenti 0,2,-1,2 )
AE4=[0 0//-1 1]
Dakle, matrica od A u kanonskoj bazi je
| Kod: | [ 1 -1 0 0]
A(E1,E2,E3,E4)=[-1 1 2 0]
[ 1 0 -1 -1]
[-1 0 2 1] |
Primijeti da si to mogao i ovako (ako se radi o kanonskoj bazi):
citas komponente slike onim redom kao sto idu jedinice u kanonskoj bazi,
i za svaku od njih pises koeficijente uz a,b,c,d redom u _retke_
matrice. Prvo imas a-b . Znaci u prvi redak ide 1,-1,0,0 . Onda -a+b+2c ,
dakle drugi redak je -1,1,2,0 , itd.
|
