HITNO!!!!! - VSEGO POOOOOMAGAAAAAAAAAJJJJJJJJJJJ!!!!!!!!!!!!

[Markec]

Ovo mi je apsolutno hitno- trebam rjesenje do sutra dopodne, pa ak netko zna:

Ono sta je crvenim slovima to je konjugirano

Zadan je skup:

V={ |z1 z2| iz M2(C): z1- 2*z2+z3=0, z1+z2+z3+z4=0 }
.......|z3 z4|



Dokažite da je V realni vektorski prostor, nadite mu neku bazu i odredite dimenziju. Dali je V kompleksni vektorski prostor? Ukoliko jest nadite mu bazu i dimenziju.


(Ovo je inace 5. zadatak s roka 24.6.2004.)

[sleeper]

Prvo, za razumijevanje situacije nije loše prisjetiti se da je C 1-dim. prostor nad samim sobom, a 2-dim. prostor nad R. Odatle, C^k je k-dim. nad C, ali 2k-dim. nad R. Razlika u ovom zadatku (realni prostor jest, ali kompleksni prostor nije) zapravo proizlazi odatle što kompleksno konjugiranje jest linearni operator na realnom prostoru C, ali ne i na kompleksnom prostoru C. Zadani uvjeti na koeficijente matrica stoga jesu linearni uvjeti nad R, ali ne i nad C.

Naime, ako je f(z) = z' (z' neka bude oznaka za kompl. konjugirani broj), onda f(az) = a f(z) kada je a realni, ali f(az) općenito nije jednako af(z) kada je a kompleksni broj, jer f(az) = (az)' = a'z'.

U konkretnom zadatku: matrice nad C mogu se slobodno shvatiti kao uređene četvorke jer nema množenja matrica, rade se samo linearne operacije. Pišimo onda (z1,z2,z3,z4). Nad R, to je ekvivalentno razmatranju uređenih 8-orki kad napišemo z1=a1+i b1 (rastav na realni i imaginarni dio), dakle (a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4). Sve takve čine naravno 8-dim. prostor nad R. Zadana su dva uvjeta na četvorke kompleksnih brojeva, no kad te uvjete rastavimo na realni i imaginarni dio, imamo 4 uvjeta u R:

a1-2a2+a3=0, b1-2b2+b3=0, a1+a2+a3+a4=0, b1-b2-b3+b4=0.

U načelu, potprostor iz zadatka je potprostor rješenja homogenog sustava u R^8 pa će biti dimenzije 8-r, gdje je r rang matrice sustava. Ovdje je očito (ili se izračuna) r=4 i dim. potprostora rješenja je 4. Baza je fundamentalni skup rješenja, lako se izračuna i lako se onda "vrati" u kompleksni oblik, 4 matrice/ur. četvorke tipa (z1,z2,z3,z4) kad se "spoje" izračunati realni i imaginarni dijelovi tih brojeva .

Nad C, promatrani skup nije vektorski prostor jer već kad se uzme npr.
i* (z1,z2,z3,z4), pri čemu je ispunjen uvjet z1-2*(z2)' + z3=0 ,
(iz1,iz2,iz3,iz4) ne ispunjava odgovarajući uvjet, ovdje konkretno zato što (i*z2)' nije jednako i * (z2)' nego -i * (z2)'.

[Gost]

[ahri]

rado bih ti pomogao, ali nazalost nisam vsego.

_________________

[Gost]

Razlika je u tome što neki podskup kompleksnog prostora može biti zatvoren s obzirom na množenje skalarima iz polja R, a da pritom nije zatvoren s obzirom na množenje skalarima iz C\R. Za to je primjer upravo u tom zadatku. Ili jednostavno, već sam R kao podskup od C nije potprostor (nad C).

[rahonavis]

[rahonavis]

[Gost]

OK, tamo je bila greška u predznaku, lapsus, to si dobro uočio. (S tim što ti nisi pisao i na nekim mjestima, ali jasno je).
A za primjer gdje se množi npr. s i pa nije ispunjen uvjet:
Imaš (z1, z2, z3, z4) pri čemu ta četiri kompleksna broja ispunjavaju neke uvjete. Kad bi taj podskup bio poptprostor nad C, onda bi i ta četvorka pomnožena s bilo kojim kompleksnim brojem također ispunjavala zadane uvjete, a to ovdje nije istina jer kad npr. pomnožiš s i dobivaš brojeve za koje ne mora vrijediti jedna jednadžba
( z1 - 2(z2)' + z3 = 0) kad se uvrste i*z1, i*z2 i i*z3, iz razloga koji je prije napisan.

[Gost]

Dodatak: Ako vrijedi

z1 - 2*(z2)' + z3 = 0 i

ako također vrijedi

(i*z1 - 2*(i*z2)' + i*z3 = 0, onda (pomnoži prvu jednadžbu s i i oduzmi od druge) slijedi

(2i + 2i) * (z2)' = 0 odakle z2=0 pa uvjet neće biti ispunjen ako je z2 različit od 0, a postoje četvorke u zadanom podskupu u kojima to niej istina, dakle ne vrijedi uvjet za sve.

[veky]