Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
Alia3 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 01. 2011. (23:07:02) Postovi: (22)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
quark Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2011. (16:47:39) Postovi: (DA)16
Spol:
|
Postano: 0:40 sri, 11. 4. 2012 Naslov: |
|
|
@prvi: traži se barem dvostruka tangenta, nađimo onda dvostruku; što to zapravo znači? Da u tim diralištima [tex](x_{i}, y_{i})[/tex] postižu istu funkcijsku vrijednost; konstruirajmo onda "razliku" te krivulje i tangente. Onda će se takva konstrukcija poništavati baš u tim diralištima i to dva puta.
Matematički rečeno, konstrukcija je polinom s dvije dvostruke nultočke.
(Nacrtaj u Wolframu pa će ti sve biti i više nego jasno)
[tex](x-x_{1})^{2}(x-x_{2})^{2}=x^4-2x^3-3x^2+5x+6-(kx+l)[/tex]
Raspišeš i teorem o jednakosti polinoma i gotovo :D
@drugi: ako je jedan pravac zajednička tangenta, samo trebaš naći jednadžbu tangente na obe krivulje:
[tex]y=f'(c)(x-c)+f(c)[/tex] - općeniti oblik.
Uvrstiš za jednu krivulju, uvrstiš za drugu; kako je to zajednička tangenta, to je isti pravac pa onda izjednačiš dobivene dvije jednadžbe.
Teorem o jednakosti polinoma (opet) i gotovo. :)
@prvi: traži se barem dvostruka tangenta, nađimo onda dvostruku; što to zapravo znači? Da u tim diralištima [tex](x_{i}, y_{i})[/tex] postižu istu funkcijsku vrijednost; konstruirajmo onda "razliku" te krivulje i tangente. Onda će se takva konstrukcija poništavati baš u tim diralištima i to dva puta.
Matematički rečeno, konstrukcija je polinom s dvije dvostruke nultočke.
(Nacrtaj u Wolframu pa će ti sve biti i više nego jasno)
[tex](x-x_{1})^{2}(x-x_{2})^{2}=x^4-2x^3-3x^2+5x+6-(kx+l)[/tex]
Raspišeš i teorem o jednakosti polinoma i gotovo
@drugi: ako je jedan pravac zajednička tangenta, samo trebaš naći jednadžbu tangente na obe krivulje:
[tex]y=f'(c)(x-c)+f(c)[/tex] - općeniti oblik.
Uvrstiš za jednu krivulju, uvrstiš za drugu; kako je to zajednička tangenta, to je isti pravac pa onda izjednačiš dobivene dvije jednadžbe.
Teorem o jednakosti polinoma (opet) i gotovo.
|
|
[Vrh] |
|
vjekovac Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55) Postovi: (2DB)16
Spol:
|
Postano: 9:45 sri, 11. 4. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="Zenon"]Nađite zajedničke tangente na krivulje
[dtex]\begin{array}{ccccc}y & + & x^2 & = & -4\\ x^2 & + & y^2 & = & 4\end{array}[/dtex][/quote]
U ovom zadatku treba ipak napomenuti da je taj pravac tangenta na obje krivulje u dvije razlicite tocke, jer dosta ljudi to zaboravi. Zato cu malo drukcije postaviti rjesenje, makar je naravno kolega quark dobro napisao.
Neka je [tex](x_1,y_1)[/tex] diraliste s prvom krivuljom (parabolom) i [tex](x_2,y_2)[/tex] diraliste s drugom krivuljom (kruznicom).
Uvjeti da je pravac [tex]y=ax+b[/tex] tangenta na prvu krivulju su:
[tex]y_1=ax_1+b[/tex] (diraliste lezi na tangenti)
[tex]y_1 + x_1^2 = -4[/tex] (diraliste lezi na prvoj krivulji)
[tex]-2x_1 = a[/tex] (derivacija je jednaka koeficijentu smjera tangente)
Uvjeti da je pravac [tex]y=ax+b[/tex] tangenta na drugu krivulju su:
[tex]y_2=ax_2+b[/tex] (diraliste lezi na tangenti)
[tex]x_2^2 + y_2^2 = 4[/tex] (diraliste lezi na drugoj krivulji)
[tex]-\frac{x_2}{y_2} = a[/tex] (derivacija je jednaka koeficijentu smjera tangente, derivirali smo implicitno)
Sada je ovo sustav 6 jednadzbi u 6 nepoznanica [tex]a,b,x_1,y_1,x_2,y_2[/tex]. Izgleda zastrasujuce, ali najprije se [tex]x_1,y_1,x_2,y_2[/tex] izraze pomocu a i b. Dobije se bikvadratna jednadzba po a koja ima 4 rjesenja. Trebali bismo dobiti 4 tangente, sto se moze vidjeti i sa slike koju je lako skicirati.
Zenon (napisa): | Nađite zajedničke tangente na krivulje
[dtex]\begin{array}{ccccc}y & + & x^2 & = & -4\\ x^2 & + & y^2 & = & 4\end{array}[/dtex] |
U ovom zadatku treba ipak napomenuti da je taj pravac tangenta na obje krivulje u dvije razlicite tocke, jer dosta ljudi to zaboravi. Zato cu malo drukcije postaviti rjesenje, makar je naravno kolega quark dobro napisao.
Neka je [tex](x_1,y_1)[/tex] diraliste s prvom krivuljom (parabolom) i [tex](x_2,y_2)[/tex] diraliste s drugom krivuljom (kruznicom).
Uvjeti da je pravac [tex]y=ax+b[/tex] tangenta na prvu krivulju su:
[tex]y_1=ax_1+b[/tex] (diraliste lezi na tangenti)
[tex]y_1 + x_1^2 = -4[/tex] (diraliste lezi na prvoj krivulji)
[tex]-2x_1 = a[/tex] (derivacija je jednaka koeficijentu smjera tangente)
Uvjeti da je pravac [tex]y=ax+b[/tex] tangenta na drugu krivulju su:
[tex]y_2=ax_2+b[/tex] (diraliste lezi na tangenti)
[tex]x_2^2 + y_2^2 = 4[/tex] (diraliste lezi na drugoj krivulji)
[tex]-\frac{x_2}{y_2} = a[/tex] (derivacija je jednaka koeficijentu smjera tangente, derivirali smo implicitno)
Sada je ovo sustav 6 jednadzbi u 6 nepoznanica [tex]a,b,x_1,y_1,x_2,y_2[/tex]. Izgleda zastrasujuce, ali najprije se [tex]x_1,y_1,x_2,y_2[/tex] izraze pomocu a i b. Dobije se bikvadratna jednadzba po a koja ima 4 rjesenja. Trebali bismo dobiti 4 tangente, sto se moze vidjeti i sa slike koju je lako skicirati.
Zadnja promjena: vjekovac; 18:19 sri, 11. 4. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
Postano: 14:45 sri, 11. 4. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="quark"]@drugi: ako je jedan pravac zajednička tangenta, samo trebaš naći jednadžbu tangente na obe krivulje:
[tex]y=f'(c)(x-c)+f(c)[/tex] - općeniti oblik.
Uvrstiš za jednu krivulju, uvrstiš za drugu; kako je to zajednička tangenta, to je isti pravac pa onda izjednačiš dobivene dvije jednadžbe.
Teorem o jednakosti polinoma (opet) i gotovo. :)[/quote]
Hvala obojici. Prvi sam riješio, a s drugim se još patim. Kako predlaže vjekovac, dobio sam 6 jednadžbi sa 6 nepoznanica, ali ga nisam uspio riješiti. Dobijem polinom 6 stupnja koji se supstitucijom može svesti na polinom trećeg stupnja, ali ne dobijam ništa pametno.
Prateći quarkovu uputu, dobio sam sljedeće:
[tex]y'=-2x[/tex] točka dirališta za ovu krivulju neka je [tex]D_1(a,b)[/tex], pa je onda [tex]y'(a)=-2a[/tex]
[tex]\displaystyle y'=-\frac xy[/tex], točka dirališta [tex]D_2(c,d)[/tex], pa je onda [tex]\displaystyle y'(c)=-\frac{c}{y(c)}=-\frac{c}{d}[/tex].
Jednadžba tangente za prvu krivulju je [tex]y=-2a(x-a)-4-a^2[/tex].
Za drugu je [tex]\displaystyle y=-\frac{c}{d}(x-c)+d[/tex]
E sad, što je ovaj [tex]y(c)=d[/tex]? Uzeo sam da je [tex]\sqrt{4-c^2}[/tex] i pokušao riješiti kako si mi rekao, ali i tu dobijem neki, još gori, polinom 6. stupnja.
Ne znam daljeeeeeeeeeeeeeee :P
quark (napisa): | @drugi: ako je jedan pravac zajednička tangenta, samo trebaš naći jednadžbu tangente na obe krivulje:
[tex]y=f'(c)(x-c)+f(c)[/tex] - općeniti oblik.
Uvrstiš za jednu krivulju, uvrstiš za drugu; kako je to zajednička tangenta, to je isti pravac pa onda izjednačiš dobivene dvije jednadžbe.
Teorem o jednakosti polinoma (opet) i gotovo. |
Hvala obojici. Prvi sam riješio, a s drugim se još patim. Kako predlaže vjekovac, dobio sam 6 jednadžbi sa 6 nepoznanica, ali ga nisam uspio riješiti. Dobijem polinom 6 stupnja koji se supstitucijom može svesti na polinom trećeg stupnja, ali ne dobijam ništa pametno.
Prateći quarkovu uputu, dobio sam sljedeće:
[tex]y'=-2x[/tex] točka dirališta za ovu krivulju neka je [tex]D_1(a,b)[/tex], pa je onda [tex]y'(a)=-2a[/tex]
[tex]\displaystyle y'=-\frac xy[/tex], točka dirališta [tex]D_2(c,d)[/tex], pa je onda [tex]\displaystyle y'(c)=-\frac{c}{y(c)}=-\frac{c}{d}[/tex].
Jednadžba tangente za prvu krivulju je [tex]y=-2a(x-a)-4-a^2[/tex].
Za drugu je [tex]\displaystyle y=-\frac{c}{d}(x-c)+d[/tex]
E sad, što je ovaj [tex]y(c)=d[/tex]? Uzeo sam da je [tex]\sqrt{4-c^2}[/tex] i pokušao riješiti kako si mi rekao, ali i tu dobijem neki, još gori, polinom 6. stupnja.
Ne znam daljeeeeeeeeeeeeeee
|
|
[Vrh] |
|
rom Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2010. (11:10:35) Postovi: (2D)16
|
|
[Vrh] |
|
vjekovac Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55) Postovi: (2DB)16
Spol:
|
Postano: 18:36 sri, 11. 4. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="Zenon"]Kako predlaže vjekovac, dobio sam 6 jednadžbi sa 6 nepoznanica, ali ga nisam uspio riješiti. Dobijem polinom 6 stupnja koji se supstitucijom može svesti na polinom trećeg stupnja, ali ne dobijam ništa pametno.[/quote]
Mozda sam ja kriv jer imam stamparsku gresku u trecoj jednadzbi. Dakle, pise [tex]-2x_1=a[/tex], tj. nema kvadrata.
Iz trece jednadzbe se dobije [tex]x_1=-\frac{a}{2}[/tex] pa se uvrsti u prvu sto daje [tex]y_1=-\frac{a^2}{2}+b[/tex] pa se konacno oboje uvrsti u drugu, koja postaje [tex]b=\frac{a^2}{4}-4[/tex]
Iz seste jednadzbe se dobije [tex]x_2=-a y_2[/tex] pa se uvrsti u cetvrtu sto daje [tex]y_2=\frac{b}{a^2+1}[/tex], a onda je i [tex]x_2=\frac{-ab}{a^2+1}[/tex] pa se konacno oboje uvrsti u petu, koja postaje [tex]b^2=4a^2+4[/tex]
Sada konacno imamo [tex]\Big(\frac{a^2}{4}-4\Big)^2=4a^2+4[/tex].
To je jednadba cetvrtog stupnja, ima cetiri rjesenja [tex]a_1,a_2,a_3,a_4[/tex], koji god to brojevi bili.
Odavde se dobiju pripadni [tex]b_1,b_2,b_3,b_4[/tex] i time su dobivene cetiri tangente.
[quote="rom"]pitanje ako je netko cuo asistente...jel moramo računati asimptote u ispitivanju toka ako je ocito da ih nema, ili je dovoljno samo komentirati ovih ili ovih nema?[/quote]
Uvijek trebate ispitati postoje li asimptote te (ukoliko postoje) odrediti ih.
Ako je ocigledno da ih nema, onda valjda mozete napisati jednu recenicu obrazlozenja.
Naprimjer: "Vertikalnih asimptota nema jer je funkcija definirana i neprekidna u svakoj realnoj tocki." itd.
Zenon (napisa): | Kako predlaže vjekovac, dobio sam 6 jednadžbi sa 6 nepoznanica, ali ga nisam uspio riješiti. Dobijem polinom 6 stupnja koji se supstitucijom može svesti na polinom trećeg stupnja, ali ne dobijam ništa pametno. |
Mozda sam ja kriv jer imam stamparsku gresku u trecoj jednadzbi. Dakle, pise [tex]-2x_1=a[/tex], tj. nema kvadrata.
Iz trece jednadzbe se dobije [tex]x_1=-\frac{a}{2}[/tex] pa se uvrsti u prvu sto daje [tex]y_1=-\frac{a^2}{2}+b[/tex] pa se konacno oboje uvrsti u drugu, koja postaje [tex]b=\frac{a^2}{4}-4[/tex]
Iz seste jednadzbe se dobije [tex]x_2=-a y_2[/tex] pa se uvrsti u cetvrtu sto daje [tex]y_2=\frac{b}{a^2+1}[/tex], a onda je i [tex]x_2=\frac{-ab}{a^2+1}[/tex] pa se konacno oboje uvrsti u petu, koja postaje [tex]b^2=4a^2+4[/tex]
Sada konacno imamo [tex]\Big(\frac{a^2}{4}-4\Big)^2=4a^2+4[/tex].
To je jednadba cetvrtog stupnja, ima cetiri rjesenja [tex]a_1,a_2,a_3,a_4[/tex], koji god to brojevi bili.
Odavde se dobiju pripadni [tex]b_1,b_2,b_3,b_4[/tex] i time su dobivene cetiri tangente.
rom (napisa): | pitanje ako je netko cuo asistente...jel moramo računati asimptote u ispitivanju toka ako je ocito da ih nema, ili je dovoljno samo komentirati ovih ili ovih nema? |
Uvijek trebate ispitati postoje li asimptote te (ukoliko postoje) odrediti ih.
Ako je ocigledno da ih nema, onda valjda mozete napisati jednu recenicu obrazlozenja.
Naprimjer: "Vertikalnih asimptota nema jer je funkcija definirana i neprekidna u svakoj realnoj tocki." itd.
Zadnja promjena: vjekovac; 10:15 čet, 12. 4. 2012; ukupno mijenjano 2 put/a.
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
student_92 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46) Postovi: (B9)16
|
Postano: 13:15 ned, 15. 4. 2012 Naslov: |
|
|
Ako imamo funkciju f(x) = (1-lnx) / (1+lnx), onda je njezina domena skup <0, +inf> \ {1/e}.
Zašto onda W-alpha kao graf izbacuje ovo?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%281-lnx%29+%2F+%281%2Blnx%29
Isto tako, dobio sam da je funkcija padajuća na cijeloj domeni, na intervalu <0, 1/e> konkavna, na <1/e, e> konveksna, ali to mi se ne poklapa kod crtanja grafa s činjenicom da je 1/e vertikalna asimptota ove funkcije.
Radim li negdje grešku?
Ako imamo funkciju f(x) = (1-lnx) / (1+lnx), onda je njezina domena skup <0, +inf> \ {1/e}.
Zašto onda W-alpha kao graf izbacuje ovo?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%281-lnx%29+%2F+%281%2Blnx%29
Isto tako, dobio sam da je funkcija padajuća na cijeloj domeni, na intervalu <0, 1/e> konkavna, na <1/e, e> konveksna, ali to mi se ne poklapa kod crtanja grafa s činjenicom da je 1/e vertikalna asimptota ove funkcije.
Radim li negdje grešku?
|
|
[Vrh] |
|
Linadus Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 09. 2010. (12:57:28) Postovi: (2C)16
|
|
[Vrh] |
|
piccola Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2009. (15:39:50) Postovi: (D7)16
|
Postano: 13:47 ned, 15. 4. 2012 Naslov: |
|
|
ja isto preko LH dobijem 1,al mislim da se ne rješava tako...trebalo bi i meni objašnjenje zašto :?
[size=9][color=#999999]Added after 10 minutes:[/color][/size]
[quote="student_92"]Ako imamo funkciju f(x) = (1-lnx) / (1+lnx), onda je njezina domena skup <0, +inf> \ {1/e}.
Zašto onda W-alpha kao graf izbacuje ovo?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%281-lnx%29+%2F+%281%2Blnx%29
Isto tako, dobio sam da je funkcija padajuća na cijeloj domeni, na intervalu <0, 1/e> konkavna, na <1/e, e> konveksna, ali to mi se ne poklapa kod crtanja grafa s činjenicom da je 1/e vertikalna asimptota ove funkcije.
Radim li negdje grešku?[/quote]
idi kod obje slike na prozorčić u desnom gornjem kutu gdje piše complex-valued plot i promijeni u real-valued plot pa je dobra slika
ja isto preko LH dobijem 1,al mislim da se ne rješava tako...trebalo bi i meni objašnjenje zašto
Added after 10 minutes:
student_92 (napisa): | Ako imamo funkciju f(x) = (1-lnx) / (1+lnx), onda je njezina domena skup <0, +inf> \ {1/e}.
Zašto onda W-alpha kao graf izbacuje ovo?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%281-lnx%29+%2F+%281%2Blnx%29
Isto tako, dobio sam da je funkcija padajuća na cijeloj domeni, na intervalu <0, 1/e> konkavna, na <1/e, e> konveksna, ali to mi se ne poklapa kod crtanja grafa s činjenicom da je 1/e vertikalna asimptota ove funkcije.
Radim li negdje grešku? |
idi kod obje slike na prozorčić u desnom gornjem kutu gdje piše complex-valued plot i promijeni u real-valued plot pa je dobra slika
|
|
[Vrh] |
|
dalmatinčica Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 10. 2011. (18:46:54) Postovi: (AC)16
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
Postano: 13:57 ned, 15. 4. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="Linadus"]1.71.(c) http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_5.pdf
dobijem da je rješenje 1, a čini mi se da bi po wolframu trebalo biti da ne postoji
može pomoć?
hvala unaprijed :)[/quote]
Sve valja, a i [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%28x+to+0%29%28%28cosh+x-1%29%2F%281-cos+x%29%29]Wolfram Alpha[/url] se slaže. Naravno da se može tako jer ako dobiješ limes, onda po teoremu postoji i limes prije "deriviranja" i jednak je tom limesu i tako ulančano primjenjuješ sve dok ne dođeš do početnog izraza.
L'Hopitalovo pravilo se ne može primjeniti ako, nakon deriviranja brojnika i nazivnika, limes ne postoji.
Sve valja, a i Wolfram Alpha se slaže. Naravno da se može tako jer ako dobiješ limes, onda po teoremu postoji i limes prije "deriviranja" i jednak je tom limesu i tako ulančano primjenjuješ sve dok ne dođeš do početnog izraza.
L'Hopitalovo pravilo se ne može primjeniti ako, nakon deriviranja brojnika i nazivnika, limes ne postoji.
|
|
[Vrh] |
|
piccola Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2009. (15:39:50) Postovi: (D7)16
|
|
[Vrh] |
|
Linadus Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 09. 2010. (12:57:28) Postovi: (2C)16
|
Postano: 14:14 ned, 15. 4. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="Zenon"][quote="Linadus"]1.71.(c) http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_5.pdf
dobijem da je rješenje 1, a čini mi se da bi po wolframu trebalo biti da ne postoji
može pomoć?
hvala unaprijed :)[/quote]
Sve valja, a i [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%28x+to+0%29%28%28cosh+x-1%29%2F%281-cos+x%29%29]Wolfram Alpha[/url] se slaže. Naravno da se može tako jer ako dobiješ limes, onda po teoremu postoji i limes prije "deriviranja" i jednak je tom limesu i tako ulančano primjenjuješ sve dok ne dođeš do početnog izraza.
L'Hopitalovo pravilo se ne može primjeniti ako, nakon deriviranja brojnika i nazivnika, limes ne postoji.[/quote]
da nisi stavio i link na wolframa, još uvijek bi mi upitnik visio nad glavom :D
ja sam upisala chx pa mi je izbaciva za ctgh, a ne cosh -.-
hvala!
edit:
[quote="dalmatinčica"]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28coshx-1%29%2F%281-cos+x%29%2C+x-%3E0[/quote]
tebi isto hvala :)
Zenon (napisa): |
Sve valja, a i Wolfram Alpha se slaže. Naravno da se može tako jer ako dobiješ limes, onda po teoremu postoji i limes prije "deriviranja" i jednak je tom limesu i tako ulančano primjenjuješ sve dok ne dođeš do početnog izraza.
L'Hopitalovo pravilo se ne može primjeniti ako, nakon deriviranja brojnika i nazivnika, limes ne postoji. |
da nisi stavio i link na wolframa, još uvijek bi mi upitnik visio nad glavom
ja sam upisala chx pa mi je izbaciva za ctgh, a ne cosh -.-
hvala!
edit:
tebi isto hvala
|
|
[Vrh] |
|
student_92 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46) Postovi: (B9)16
|
|
[Vrh] |
|
dalmatinčica Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 10. 2011. (18:46:54) Postovi: (AC)16
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
Phoenix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07) Postovi: (164)16
Sarma: -
|
|
[Vrh] |
|
|