|
[quote] Neka je M prostor rjesenja homogenog sustava
x1+x2- x3-3x4=0
x2-2x3-2x4=0
odrediti bazu za anihilator[/quote]
Valjda anihilator od M .
Dakle, f1 i f2 , zadani s
f1(x1..4):=x1+x2-x3-3x4 i f2(x1..4):=x2-2x3-2x4
su očito linearni funkcionali na |R^4 (čega je M potprostor), i
poništavaju sve vektore u M . Štoviše, M je upravo zadan kao skup
svih vektora (x1..4) koje poništavaju ova dva funkcionala, dakle
(po teoremu refleksije ({f1,f2}^0)^0=~=[{f1,f2}] ) svaki drugi funkcional
koji ih poništava je linearna kombinacija od f1 i f2 .
Dakle {f1,f2} je skup izvodnica za M^0 .
Budući da je f1(e1)=1 a f2(e1)=0 , slijedi da se f1 ne može napisati
kao lam*f2 . Također, iz f1(1,0,1,0)=0 a f2(1,0,1,0)=-2 slijedi da se
ni f2 ne može napisati kao lam*f1 , pa su f1 i f2 linearno nezavisni.
Odnosno, {f1,f2} je (jedna) baza za M^0 .
[quote]je li f(x1,x2,x3,x4)=(x1-2x2+3x3-4x4) u anihilatoru[/quote]
Treba provjeriti može li se f zapisati kao
linearna kombinacija od f1 i f2 . Probajmo.
f=alfa*f1+beta*f2 . Uvrstimo gornje vektore ( e1 i (1,0,1,0) ):
f(e1)=alfa*f1(e1)+beta*f2(e1)
f(1,0,0,0)=alfa*1+beta*0
1-2*0+3*0-4*0=alfa*1+0
1=alfa
f(1,0,1,0)=alfa*0+beta*(-2)
4=-2beta => beta=-2 .
Dakle, jedini kandidat za f je f1-2f2 . No
(f1-2f2)(e2)=f1(e2)-2f2(e2)=1-2*1=-1 ,
a f(e2)=-2 , pa to ne zadovoljava. Dakle, f nije u [{f1,f2}]=M^0 .
Primijeti da je to ekvivalentno pitanju moze li se jednadžba
x1-2x2+3x3-4x4=0
dobiti elementarnim transformacijama iz gornje dvije jednadžbe.
Sad znamo da ne može. (Gornji vektori su upravo uzimani po tome koju
jednadžbu trebaju (ne) zadovoljavati.)
| Citat: | Neka je M prostor rjesenja homogenog sustava
x1+x2- x3-3x4=0
x2-2x3-2x4=0
odrediti bazu za anihilator |
Valjda anihilator od M .
Dakle, f1 i f2 , zadani s
f1(x1..4):=x1+x2-x3-3x4 i f2(x1..4):=x2-2x3-2x4
su očito linearni funkcionali na |R^4 (čega je M potprostor), i
poništavaju sve vektore u M . Štoviše, M je upravo zadan kao skup
svih vektora (x1..4) koje poništavaju ova dva funkcionala, dakle
(po teoremu refleksije ({f1,f2}^0)^0=~=[{f1,f2}] ) svaki drugi funkcional
koji ih poništava je linearna kombinacija od f1 i f2 .
Dakle {f1,f2} je skup izvodnica za M^0 .
Budući da je f1(e1)=1 a f2(e1)=0 , slijedi da se f1 ne može napisati
kao lam*f2 . Također, iz f1(1,0,1,0)=0 a f2(1,0,1,0)=-2 slijedi da se
ni f2 ne može napisati kao lam*f1 , pa su f1 i f2 linearno nezavisni.
Odnosno, {f1,f2} je (jedna) baza za M^0 .
| Citat: | | je li f(x1,x2,x3,x4)=(x1-2x2+3x3-4x4) u anihilatoru |
Treba provjeriti može li se f zapisati kao
linearna kombinacija od f1 i f2 . Probajmo.
f=alfa*f1+beta*f2 . Uvrstimo gornje vektore ( e1 i (1,0,1,0) ):
f(e1)=alfa*f1(e1)+beta*f2(e1)
f(1,0,0,0)=alfa*1+beta*0
1-2*0+3*0-4*0=alfa*1+0
1=alfa
f(1,0,1,0)=alfa*0+beta*(-2)
4=-2beta ⇒ beta=-2 .
Dakle, jedini kandidat za f je f1-2f2 . No
(f1-2f2)(e2)=f1(e2)-2f2(e2)=1-2*1=-1 ,
a f(e2)=-2 , pa to ne zadovoljava. Dakle, f nije u [{f1,f2}]=M^0 .
Primijeti da je to ekvivalentno pitanju moze li se jednadžba
x1-2x2+3x3-4x4=0
dobiti elementarnim transformacijama iz gornje dvije jednadžbe.
Sad znamo da ne može. (Gornji vektori su upravo uzimani po tome koju
jednadžbu trebaju (ne) zadovoljavati.)
|
