|
Nekoliko komentara u vezi s rješavanjem zadataka u 2. testu
(a time i u domaćim zadaćama).
Primjetno je dosta "kompliciranja" jednostavnih stvari, čime se,
dakako, ne gube bodovi, ali se gubi vrijeme, a jednostavne stvari
suvišnim ispisivanjima mogu se učiniti težima ili zamornijima nego
što to stvarno jesu.
Tipičan primjer je provjeravanje da li neki vektor pripada zadanom
(pot)prostoru, kad je taj potprostor zadan određenom jednadžbom
(bilo da je to potprostor simetričnih matrica, potprostor polinoma
koji u 0 poprimaju vrijednost 0 ili potprostor uređenih n-torki koje
zadovoljavaju određenu linearnu jednadžbu).
Umjesto da se jednostavno vidi/provjeri je li neka matrica simetrična
(što je očito, ona je jednostavno takva zadana) ili polinom
uvrštavanjem 0 daje 0 ili n-torka zadovoljava jednadžbu,
nepotrebno zakučasta metoda (često opažena u radovima)
takva je da se najprije nađe baza za zadani potprostor pa se onda
ispituje može li se zadani vektor (matrica, polinom, n-torka)
prikazati kao linearna kombinacija elemenata te baze.
Ponavljam, nije to pogrešno i ne gube se bodovi, ali se gubi vrijeme.
Nadalje, ako za dva potprostora treba utvrditi jesu li jednaki ili
je jedan od njih pravi potprostor drugog ili nije ispunjeno ništa od
prethodnog, onda ako se već utvrdi da je, primjerice, M sadržan
u N i da je dim M < dim N, doista je suvišno provjeravati je li
svaki vektor iz N sadržan u M. Jasno da nije. Bodovi se ne gube,
ali ostaje dojam nejasnoća u razmišljanju.
S druge strane, ako treba ispitati je li neka matrica invertibilna,
a još se nije radilo rang i determinantu, onda se očekuje da se
invertibilnost ispita po definiciji. Tako nije unaprijed jasno da je
inverzna matrica dijagonalne matrice (ako postoji) i sama dijagonalna.
To se izračuna (lako, zato je i zadana dijagonalna matrica),
a ako se "samo" pogodi da je inverzna matrica dijagonalna i koji
su koeficijenti na dijagonali (očito), onda je to samo jedan smjer
traženog određivanja uvjeta (dovoljnost, a ne i nužnost).
Na kraju, invertibilnost matrice
cos x - sin x
sin x cos x
(inače poznate kao matrice rotacije za x, ali to ovdje nije nužno
znati), nije bila sama po sebi predmet zadatka u domaćoj zsdaći,
no bila je zapravo dio zadatka u kojem se pokazuje da potenciranje
takve matrice bilo kojim cjelobrojnim eksponentom n rezultira
matricom jednakog oblika, ali s nx umjesto x.
Za n = -1 to je upravo inverzna matrica.
Dakle, kao rješenje svakako se priznaje i jednstavna provjera
da za svaki realni x množenjem gornje matrice s matricom
cos x sin x
-sin x cos x
dobivamo jediničnu matricu.
Priznavala se i primjena gotovih formula za inverz matrice reda 2
(jer je izvođena i na predavanjima i vježbama, premda ta formula
nije još rađena za općenite matrice),
no kod izračunavanja inverzne matrice po definiciji oduziman je
1 bod ako se primjenjivalo dijeljenje s cos x ili sin x, a da se
posebno ne razmotre i slučajevi kad je cos x = 0 ili sin x = 0.
Toliko radi razjašnjavanja bodovanja ovog zadatka.
Nekoliko komentara u vezi s rješavanjem zadataka u 2. testu
(a time i u domaćim zadaćama).
Primjetno je dosta "kompliciranja" jednostavnih stvari, čime se,
dakako, ne gube bodovi, ali se gubi vrijeme, a jednostavne stvari
suvišnim ispisivanjima mogu se učiniti težima ili zamornijima nego
što to stvarno jesu.
Tipičan primjer je provjeravanje da li neki vektor pripada zadanom
(pot)prostoru, kad je taj potprostor zadan određenom jednadžbom
(bilo da je to potprostor simetričnih matrica, potprostor polinoma
koji u 0 poprimaju vrijednost 0 ili potprostor uređenih n-torki koje
zadovoljavaju određenu linearnu jednadžbu).
Umjesto da se jednostavno vidi/provjeri je li neka matrica simetrična
(što je očito, ona je jednostavno takva zadana) ili polinom
uvrštavanjem 0 daje 0 ili n-torka zadovoljava jednadžbu,
nepotrebno zakučasta metoda (često opažena u radovima)
takva je da se najprije nađe baza za zadani potprostor pa se onda
ispituje može li se zadani vektor (matrica, polinom, n-torka)
prikazati kao linearna kombinacija elemenata te baze.
Ponavljam, nije to pogrešno i ne gube se bodovi, ali se gubi vrijeme.
Nadalje, ako za dva potprostora treba utvrditi jesu li jednaki ili
je jedan od njih pravi potprostor drugog ili nije ispunjeno ništa od
prethodnog, onda ako se već utvrdi da je, primjerice, M sadržan
u N i da je dim M < dim N, doista je suvišno provjeravati je li
svaki vektor iz N sadržan u M. Jasno da nije. Bodovi se ne gube,
ali ostaje dojam nejasnoća u razmišljanju.
S druge strane, ako treba ispitati je li neka matrica invertibilna,
a još se nije radilo rang i determinantu, onda se očekuje da se
invertibilnost ispita po definiciji. Tako nije unaprijed jasno da je
inverzna matrica dijagonalne matrice (ako postoji) i sama dijagonalna.
To se izračuna (lako, zato je i zadana dijagonalna matrica),
a ako se "samo" pogodi da je inverzna matrica dijagonalna i koji
su koeficijenti na dijagonali (očito), onda je to samo jedan smjer
traženog određivanja uvjeta (dovoljnost, a ne i nužnost).
Na kraju, invertibilnost matrice
cos x - sin x
sin x cos x
(inače poznate kao matrice rotacije za x, ali to ovdje nije nužno
znati), nije bila sama po sebi predmet zadatka u domaćoj zsdaći,
no bila je zapravo dio zadatka u kojem se pokazuje da potenciranje
takve matrice bilo kojim cjelobrojnim eksponentom n rezultira
matricom jednakog oblika, ali s nx umjesto x.
Za n = -1 to je upravo inverzna matrica.
Dakle, kao rješenje svakako se priznaje i jednstavna provjera
da za svaki realni x množenjem gornje matrice s matricom
cos x sin x
-sin x cos x
dobivamo jediničnu matricu.
Priznavala se i primjena gotovih formula za inverz matrice reda 2
(jer je izvođena i na predavanjima i vježbama, premda ta formula
nije još rađena za općenite matrice),
no kod izračunavanja inverzne matrice po definiciji oduziman je
1 bod ako se primjenjivalo dijeljenje s cos x ili sin x, a da se
posebno ne razmotre i slučajevi kad je cos x = 0 ili sin x = 0.
Toliko radi razjašnjavanja bodovanja ovog zadatka.
|
