| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
Lux86
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 09. 2011. (23:38:43)
Postovi: (1D)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
gflegar
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 10. 2011. (15:03:41)
Postovi: (10D)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
quark
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2011. (16:47:39)
Postovi: (DA)16
Spol:
|
 Postano: 21:49 sub, 26. 5. 2012 Naslov: |
    |
|
Uzmi ONB, proizvoljni [t ex]x[/t ex] i [t ex]y[/t ex] raspiši ih pomoću nje pa izračunaj [t ex]<x | y>[/t ex] i [t ex]<A(x) | A(y)>[/t ex].
|
|
| [Vrh] |
|
Lux86
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 09. 2011. (23:38:43)
Postovi: (1D)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
ruby
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Zenon
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
| Postano: 11:12 ned, 27. 5. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="pedro"][quote="wrathchild"]Ako je netko rjesija, moze reci sta je rjesenje 2.?[/quote]
(424/165 , -10/33 , 92/165) al vrlo lako moguće da je krivo jer sam brzopleto rješavala :D[/quote]
Ja sam dobio [tex]\frac 49 (4,-1,1)[/tex].
| pedro (napisa): | | wrathchild (napisa): | | Ako je netko rjesija, moze reci sta je rjesenje 2.? |
(424/165 , -10/33 , 92/165) al vrlo lako moguće da je krivo jer sam brzopleto rješavala  |
Ja sam dobio [tex]\frac 49 (4,-1,1)[/tex].
|
|
| [Vrh] |
|
xy
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
PermutiranoPrase
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19)
Postovi: (F4)16
Spol:
|
| Postano: 12:16 ned, 27. 5. 2012 Naslov: |
|
|
|
Kako ste vi tako divna rješenja dobili? Moja drugarica i ja rješavale svaka za sebe, svaki put ispada korijen pod korijenom i slične grozote.
Ok, baza za M je {(-2,1,0), (2,0,1)}. To sad treba ortonormirati jer je ortogon. projekcija v. x na potprostor M oblika [tex]a = \left \langle x, e_1\right \rangle x + \left \langle x, e_2\right \rangle x[/tex].
Norma od [tex]e_1[/tex] je [tex]\sqrt{5}[/tex], a onda za [tex]b_2[/tex] dobijemo nešto jako gadno, a kad se to ortonormira... Ne želite znati što ispada.
Je l naš postupak kriv ili? :shock:
Kako ste vi tako divna rješenja dobili? Moja drugarica i ja rješavale svaka za sebe, svaki put ispada korijen pod korijenom i slične grozote.
Ok, baza za M je {(-2,1,0), (2,0,1)}. To sad treba ortonormirati jer je ortogon. projekcija v. x na potprostor M oblika [tex]a = \left \langle x, e_1\right \rangle x + \left \langle x, e_2\right \rangle x[/tex].
Norma od [tex]e_1[/tex] je [tex]\sqrt{5}[/tex], a onda za [tex]b_2[/tex] dobijemo nešto jako gadno, a kad se to ortonormira... Ne želite znati što ispada.
Je l naš postupak kriv ili? 
|
|
| [Vrh] |
|
dalmatinčica
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 10. 2011. (18:46:54)
Postovi: (AC)16
|
|
| [Vrh] |
|
kiara
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 11. 2011. (23:22:57)
Postovi: (55)16
|
|
| [Vrh] |
|
Namdev
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2011. (19:23:40)
Postovi: (29)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
kiara
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 11. 2011. (23:22:57)
Postovi: (55)16
|
| Postano: 13:46 ned, 27. 5. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="PermutiranoPrase"]Kako ste vi tako divna rješenja dobili? Moja drugarica i ja rješavale svaka za sebe, svaki put ispada korijen pod korijenom i slične grozote.
Ok, baza za M je {(-2,1,0), (2,0,1)}. To sad treba ortonormirati jer je ortogon. projekcija v. x na potprostor M oblika [tex]a = \left \langle x, e_1\right \rangle x + \left \langle x, e_2\right \rangle x[/tex].
Norma od [tex]e_1[/tex] je [tex]\sqrt{5}[/tex], a onda za [tex]b_2[/tex] dobijemo nešto jako gadno, a kad se to ortonormira... Ne želite znati što ispada.
Je l naš postupak kriv ili? :shock:[/quote]
Lakse je da nadjes bazu za M i za ortogonalni komplement od M, to je zajedno baza za R3, i onda je zadani vektor jedinstveno prikazan u toj bazi, nadjes koeficijente, i podjelist koji je dio u M a koji u njegovom komplementu, i ortogonalna projekcija na M je ovaj dio u M. To je lakse nego ortonormirati bazu jer su to uvijek neki korijeni ili nesto.
A sto se tice tvog rjesenja, mislim da ti je kriva ova ortogonalna projekcija, ona ti je a=<x,e1>e1 + <x,e2>e2
| PermutiranoPrase (napisa): | Kako ste vi tako divna rješenja dobili? Moja drugarica i ja rješavale svaka za sebe, svaki put ispada korijen pod korijenom i slične grozote.
Ok, baza za M je {(-2,1,0), (2,0,1)}. To sad treba ortonormirati jer je ortogon. projekcija v. x na potprostor M oblika [tex]a = \left \langle x, e_1\right \rangle x + \left \langle x, e_2\right \rangle x[/tex].
Norma od [tex]e_1[/tex] je [tex]\sqrt{5}[/tex], a onda za [tex]b_2[/tex] dobijemo nešto jako gadno, a kad se to ortonormira... Ne želite znati što ispada.
Je l naš postupak kriv ili? |
Lakse je da nadjes bazu za M i za ortogonalni komplement od M, to je zajedno baza za R3, i onda je zadani vektor jedinstveno prikazan u toj bazi, nadjes koeficijente, i podjelist koji je dio u M a koji u njegovom komplementu, i ortogonalna projekcija na M je ovaj dio u M. To je lakse nego ortonormirati bazu jer su to uvijek neki korijeni ili nesto.
A sto se tice tvog rjesenja, mislim da ti je kriva ova ortogonalna projekcija, ona ti je a=<x,e1>e1 + <x,e2>e2
|
|
| [Vrh] |
|
PermutiranoPrase
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19)
Postovi: (F4)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
xy
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
miss.zohar
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2011. (20:47:40)
Postovi: (A)16
|
|
| [Vrh] |
|
xy
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
miss.zohar
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2011. (20:47:40)
Postovi: (A)16
|
| Postano: 17:21 ned, 27. 5. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="xy"][quote="Namdev"]
Neka me netko ispravi ako griješim, ali mislim da se u trećem zadatku stupci matrice moraju ortonormirati, proširiti do ONB i tada vektori te baze čine stupce unitarne matrice.[/quote]
meni taj zadatak nikako nije jasan, zar ne ispadne norma 0? kako bi trebalo izgledat rješenje? možeš li raspisat bar nešto, gubim živce na tome... :?[/quote]
Nije norma 0. Kad skalarno množiš vektor sa samim sobom, komponente od "samog sebe" su ti konjugirane pa dobiješ da je norma baš 1. Uzmi da su ti prva dva vektora baza za neki potprostor M i onda nađi ortogonalni komplement. S bazom za ortogonalni komplement proširi matricu.
| xy (napisa): | | Namdev (napisa): |
Neka me netko ispravi ako griješim, ali mislim da se u trećem zadatku stupci matrice moraju ortonormirati, proširiti do ONB i tada vektori te baze čine stupce unitarne matrice. |
meni taj zadatak nikako nije jasan, zar ne ispadne norma 0? kako bi trebalo izgledat rješenje? možeš li raspisat bar nešto, gubim živce na tome...  |
Nije norma 0. Kad skalarno množiš vektor sa samim sobom, komponente od "samog sebe" su ti konjugirane pa dobiješ da je norma baš 1. Uzmi da su ti prva dva vektora baza za neki potprostor M i onda nađi ortogonalni komplement. S bazom za ortogonalni komplement proširi matricu.
|
|
| [Vrh] |
|
dalmatinčica
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 10. 2011. (18:46:54)
Postovi: (AC)16
|
|
| [Vrh] |
|
gflegar
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 10. 2011. (15:03:41)
Postovi: (10D)16
Spol:
|
| Postano: 19:25 ned, 27. 5. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="dalmatinčica"][quote="gflegar"]Probaj dokazati da ako postoji [tex]\alpha \in \mathbb{F}[/tex] takav da za neki vektor [tex]e_i[/tex] iz ortonormirane baze vrijedi [tex] ||Ae_i|| = |\alpha|^2 \cdot ||e_i|| [/tex] onda za svaki [tex]e_j[/tex] iz ONB vrijedi [tex]||Ae_j|| = |\alpha|^2 \cdot ||e_j|| [/tex].
(Da dobijes ideju za dokaz: gledaj sto se dogadja u [tex]V^2[/tex] ako nije tako i pokusaj dobiti kontradikciju sa cinjenicom da [tex]A[/tex] cuva kuteve)[/quote]
ok, kako pokazati da je taj alfa isti za sve Aej?
ne uspjevam nikako
molim odgovor
hvala[/quote]
Ustvari je umjesto [tex] ||Ae_i|| = |\alpha|^2 \cdot ||e_i|| [/tex] dovoljno uzeti [tex] ||Ae_i|| = \alpha, \ \alpha \in \mathbb R^+[/tex].
Neka je [tex]||Ae_1|| = \alpha[/tex]. Pretpostavimo da postoji [tex]e_i[/tex] takav da je [tex]||Ae_i|| \neq \alpha[/tex].
Lako se pokaze da je [tex]e_1 + e_i \perp e_1 - e_i[/tex].
Ali tada je [tex]\langle A(e_1 + e_i), A(e_1 - e_i) \rangle = \langle Ae_1, Ae_1 \rangle - \langle Ae_i, Ae_i \rangle = ||Ae_1||^2 - ||Ae_i||^2 \neq 0[/tex] sto je kontradikcija sa pretpostavkom zadatka.
EDIT:
Koja je analogija sa vektorskim prostorom [tex]V^2[/tex] (to je i ideja dokaza)?
Vektori [tex]e_1[/tex] i [tex]e_j[/tex] razapinu kvadrat.
Jer [tex]A[/tex] cuva kuteve vektori [tex]Ae_1[/tex] i [tex]Ae_2[/tex] razapinju barem pravokutnik.
Mi zelimo pokazati da oni u stvari razapinju kvadrat (tj, da operator [tex]A[/tex] jednako "produzuje" oba vektora baze).
Zbog cega to mora biti tako? Dijagonale kvadrata su okomite, dok dijagonale pravokutnika nisu. Ali, [tex]A[/tex] cuva kuteve, pa [tex]Ae_1[/tex] i [tex]Ae_j[/tex] moraju razapinjati kvadrat.
Vektori [tex]e_1 + e_i[/tex] i [tex]e_1 - e_i[/tex] su upravo dijagonale kvadrata.
[size=9][color=#999999]Added after 5 minutes:[/color][/size]
[quote="miss.zohar"]Bi li netko bio dobra duša i napisao kako je riješio 4. zadatak? Ne mogu ukomponirat ovo sve što se raspravljalo o tom zadatku u ovoj temi u neko konkretno rješenje. Hvala unaprijed! :)[/quote]
Sada je u slucaju [tex]\alpha = 0[/tex], [tex]A[/tex] nuloperator pa se moze uzeti bilo koji unitaran operator i jednakost je zadovoljena za [tex]\lambda = 0[/tex].
U slucaju [tex]\alpha \neq 0[/tex] treba uzeti [tex]\lambda = \alpha[/tex] i pokazati da je tada [tex] U = \frac{1}{\lambda}A[/tex] unitaran operator.
| dalmatinčica (napisa): | | gflegar (napisa): | Probaj dokazati da ako postoji [tex]\alpha \in \mathbb{F}[/tex] takav da za neki vektor [tex]e_i[/tex] iz ortonormirane baze vrijedi [tex] ||Ae_i|| = |\alpha|^2 \cdot ||e_i|| [/tex] onda za svaki [tex]e_j[/tex] iz ONB vrijedi [tex]||Ae_j|| = |\alpha|^2 \cdot ||e_j|| [/tex].
(Da dobijes ideju za dokaz: gledaj sto se dogadja u [tex]V^2[/tex] ako nije tako i pokusaj dobiti kontradikciju sa cinjenicom da [tex]A[/tex] cuva kuteve) |
ok, kako pokazati da je taj alfa isti za sve Aej?
ne uspjevam nikako
molim odgovor
hvala |
Ustvari je umjesto [tex] ||Ae_i|| = |\alpha|^2 \cdot ||e_i|| [/tex] dovoljno uzeti [tex] ||Ae_i|| = \alpha, \ \alpha \in \mathbb R^+[/tex].
Neka je [tex]||Ae_1|| = \alpha[/tex]. Pretpostavimo da postoji [tex]e_i[/tex] takav da je [tex]||Ae_i|| \neq \alpha[/tex].
Lako se pokaze da je [tex]e_1 + e_i \perp e_1 - e_i[/tex].
Ali tada je [tex]\langle A(e_1 + e_i), A(e_1 - e_i) \rangle = \langle Ae_1, Ae_1 \rangle - \langle Ae_i, Ae_i \rangle = ||Ae_1||^2 - ||Ae_i||^2 \neq 0[/tex] sto je kontradikcija sa pretpostavkom zadatka.
EDIT:
Koja je analogija sa vektorskim prostorom [tex]V^2[/tex] (to je i ideja dokaza)?
Vektori [tex]e_1[/tex] i [tex]e_j[/tex] razapinu kvadrat.
Jer [tex]A[/tex] cuva kuteve vektori [tex]Ae_1[/tex] i [tex]Ae_2[/tex] razapinju barem pravokutnik.
Mi zelimo pokazati da oni u stvari razapinju kvadrat (tj, da operator [tex]A[/tex] jednako "produzuje" oba vektora baze).
Zbog cega to mora biti tako? Dijagonale kvadrata su okomite, dok dijagonale pravokutnika nisu. Ali, [tex]A[/tex] cuva kuteve, pa [tex]Ae_1[/tex] i [tex]Ae_j[/tex] moraju razapinjati kvadrat.
Vektori [tex]e_1 + e_i[/tex] i [tex]e_1 - e_i[/tex] su upravo dijagonale kvadrata.
Added after 5 minutes:
| miss.zohar (napisa): | Bi li netko bio dobra duša i napisao kako je riješio 4. zadatak? Ne mogu ukomponirat ovo sve što se raspravljalo o tom zadatku u ovoj temi u neko konkretno rješenje. Hvala unaprijed!  |
Sada je u slucaju [tex]\alpha = 0[/tex], [tex]A[/tex] nuloperator pa se moze uzeti bilo koji unitaran operator i jednakost je zadovoljena za [tex]\lambda = 0[/tex].
U slucaju [tex]\alpha \neq 0[/tex] treba uzeti [tex]\lambda = \alpha[/tex] i pokazati da je tada [tex] U = \frac{1}{\lambda}A[/tex] unitaran operator.
Zadnja promjena: gflegar; 19:34 ned, 27. 5. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
|
