Greeneov teorem za krug

[KG]

Jel može netko raspisat Greena za krug...ne treba sve, samo ovaj dio po rubu kak ide...probo sam ga parametrizirat sa sin i cos pa sa y=+/-r-x^2, al mi uvijek ispadne nekaj kaj ne mogu supstitucijom natjerat da ispadne ko prva strana...To je 4. zad iz prošlogodišnjeg kolokvija: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf

[pmli]

Jedan način je da integral po rubu parametriziraš u polarnim koordinatama, a po krugu (kao u dokazu Greenovog teorema za jedinični kvadrat) koristeći Fubinijev tm i Newton-Leibnizovu formulu integriraš u pravokutnim koordinatama i riješiš se parcijalnih derivacija. Zatim trigonometrijskim supstitucijama svedeš na ovaj po rubu. Morat ćeš jako paziti na predznake i da supstitucije budu injektivne (npr. sinus je injektivan na , ali ne na ).
Sve u svemu, ima puno posla. Ako negdje zapneš, reci.

[KG]

Napatio sam se, ali uspio sam nekak dobit zahvaljujući ovim trigonometrijskim supstitucijama. Evo sarma

[googol]

[KG]

E ovak... Imaš u skripti dokaz Greenovog teorema za jedinični kvadrat pa prvo to prođi da vidiš malo na jednostavnom primjeru kak se rade supstitucije, mijenjaju granice i slično. Radi se u 3 koraka: 1. raspišeš integral po području, 2. raspišeš integral po rubu područja i 3. radiš supstitucije dok ne dobiješ da su te dvije stvari iste Ugl, kad se raspiše dvostruki intgral po krugu dobiješ ukupno 4 jednostruka integrala svi u granicama od -r do r. Ovaj drugi dio "ovisi" o putu koji uzmeš da opišeš kružnicu...ja sam uzeo od -pi do pi (r*cost, r*sint) i tak dobiješ 2 jednostruka integrala od -pi do pi. Na kraju radiš supstitucije u ovom prvom izrazu oblika x=r*cost , y=r*sint i moraš dobit ovaj drugi izraz. Nisam baš vičan u latexu pa ti ne mogu izraze napisat preciznije.....valjda ti ovo pomaže, a imaš i tu na forumu raspisan Green za trapez: http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=16799[/tt][/table]

Added after 2 minutes:

Ups...krivi link..Tu je raspisano: http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=13348