2.kolokvij 2011/2012. (zadatak)

[N.B.]

intraf, 2. kolokvij 2010.
2. zadatak.
ova forma nije zatvorena, pa se ne moze primjeniti niti jedan od onih teorema, da se skrati taj postupak racunanja..a "uvrstavanjem" dobijem
cudesan izraz od (e^(1/2 * sinx) * sin( 1/2 * sinx) - sinx ) * sinx .....

jel postoji neki pametan nacin kako rijesiti ovo?

_________________
It is not enough to have a good mind; the main thing is to use it well.

[kikzmyster]

Napisi ovaj integral kao [tex]\int_\gamma(e^x\sin y + y)\, dx + (e^x\cos y + x)\, dy - \int_\gamma 3y \,dx [/tex]. Sad se prvi integral lako dobije, jer je potencijal podintegralne funkcije [tex]e^x \sin y + xy [/tex], a drugi integral isto izgleda lagan

[N.B.]

hvala
a 3.zadatak, iste godine?

_________________
It is not enough to have a good mind; the main thing is to use it well.

[kikzmyster]

za b) i c) samo treba znat definiciju, a one su u skripti od predavanja.

za a), jednostavno uzmemo dva vektora iz ovog kvadrata (u biti, iz ravnine u kojoj lezi kvadrat), i trazimo njihov vektorski produkt. Uzmemo npr. [tex]\vec{AB}=(0,\sqrt{2},0)[/tex] i [tex]\vec{AD} = (-1,0,1)[/tex]. Sad je njihov vektorski produkt jednak [tex]\displaystyle \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right| = \sqrt{2}(1,0,1)[/tex]. Da bi od ovog dobili jednicnu normalu, treba je samo podijeliti s normom, a to je 2.

u d) dijelu treba parametrizirati sve 4 stranice kvadrata (s orijentacijom A→B→C→D), i integrirati. Evo na primjer kako bi parametrizirali [tex]\vec{DA}[/tex]. Vidimo da taj dio ruba lezi u x-z ravnini, i dio je pravca x+z=1 kojeg mozemo opisati sa [tex](t, 1-t), t \in [0,1] [/tex],a kako imamo jos i y=0, trazena parametrizacija je [tex](t,0, 1-t), t \in [0,1] [/tex]. I tako za ostale dijelove ruba.

[princeza_fiona]

a šesti?

[N.B.]

a 2009. 2. zadatak? ili 3. cini mi se slicno

_________________
It is not enough to have a good mind; the main thing is to use it well.

[kikzmyster]

evo prvo sesti:

Po definiciji je [tex]d \mu = (dz^2)\wedge dx + (dx^2)\wedge dy + (d y^2) \wedge d z [/tex]. Sad, formalno je, npr. [tex]dz^2 = \frac{\partial z^2}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z^2}{\partial y}\,dy + \frac{\partial z^2}{\partial z}\, dz = 0 + 0 + 2z \, dz = 2z \, dz[/tex], ali to smo i prije (na analizi 2, difrafu) "znali". Znaci imamo [tex] d \mu = 2z \, dz \wedge dx + 2x \, dx \wedge dy + 2y \, dy \wedge dz [/tex]. Sad, za [tex]d(d\mu)[/tex] nam pomogne propozicija 20.8 u skripti koja kaze da je [tex]d(d\mu) = 0[/tex] za [tex]\mu \in C^2[/tex] na otvorenom skupu. Ovo mozemo primijeniti, jer su [tex] z^2, x^2, y^2 \in C^2[/tex] pa je [tex]d(d\mu) = 0[/tex].

I na kraju, da bi izracunali ovaj integral, treba samo slijediti definiciju (sto ipak malo duze traje ). Po definiciji je [tex] \displaystyle \int_\varphi d\mu = \int_Q d\mu (\varphi(u,v))(\frac{\partial \varphi}{\partial u}(u,v) \, , \, \frac{\partial \varphi}{\partial v}(u,v) )\, dudv [/tex]. Kako je [tex]\varphi(u,v)=(u,uv,v) [/tex], to je [tex]\displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial u}(u,v) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ v \\ 0 \end{array}\right) \; , \; \frac{\partial \varphi}{\partial v}(u,v) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ u \\ 1 \end{array}\right) [/tex].

Dakle zasad imamo [tex]\displaystyle \int_\varphi d\mu = \int_Q (2v \, dz \wedge dx + 2u \, dx \wedge dy + 2uv \, dy \wedge dz) ( \left( \begin{array}{c} 1 \\ v \\ 0 \end{array}\right) \, , \, \left( \begin{array}{c} 0 \\ u \\ 1 \end{array}\right) ) \, dudv[/tex]. Sad nam treba [tex] \displaystyle dz \wedge dx(\left( \begin{array}{c} 1 \\ v \\ 0 \end{array}\right) \, , \, \left( \begin{array}{c} 0 \\ u \\ 1 \end{array}\right) ) = \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| = - 1 [/tex] i isto tako [tex]\displaystyle dx \wedge dy(\left( \begin{array}{c} 1 \\ v \\ 0 \end{array}\right) \, , \, \left( \begin{array}{c} 0 \\ u \\ 1 \end{array}\right) ) = u \; , \; dy \wedge dz(\left( \begin{array}{c} 1 \\ v \\ 0 \end{array}\right) \, , \, \left( \begin{array}{c} 0 \\ u \\ 1 \end{array}\right) ) = v [/tex], pa je trazeni integral [tex]\displaystyle \int_{[0,1]\times[0,1]} (-2v + 2u^2 + 2uv^2)\, dudv = \frac{1}{3} [/tex].

za 2. zadatak 2009, mislim da je najlakse samo ic preko definicije. Forma je zatvorena, ali podrucje nije 1-povezano (nije definirano na pravcu x=z=0).

[jabuka]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2007-08/IFVVkol2_2008R.pdf

4.b mi ispada -4, a u rjesenjima je 4, sto je tocno?
i od kud pisemo kolokvij? (na vjezbe mislim)

[meda]

moze pomoc s 3.zadatkom?

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2008-09/kolokvij2.pdf

hvala

[A_je_to]

Može netko raspisati 2. zadatak. Nikako ne mogu dobiti točno rješenje.
Hvala!
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/ma34/vjez4/v05.pdf

[Tomislav]

Jesu li se na vjezbama rjesavali zadaci iz zadnje lekcije s predavanja (Stokesove tm)?

[kikzmyster]

@jabuka - rjesenje je 4

@meda - treba iskoristit Greenov teorem. Povrsina skupa D je [tex]\int_D1 \, dxdy [/tex], a to je onda po Green-u jednako [tex]\int_{\partial D} -\frac{1}{2}y \, dx + \frac{1}{2}x \, dy [/tex] (pogledaj str. 43 u predavanjima). Imamo parametrizaciju ruba, pa samo treba integrirat po definiciji

@A_je_to - meni ispada [tex]\frac{3\pi}{2} + 3 [/tex] (mislim da su u rjesenjima oduzeli 1 umjesto dodali), koliko tebi ispada?

@Tomislav - ne

[kobila krsto]

bio je zadatk za dz kod ilje na vježbama. radi se o descartesovom listu koji je petlja i pozitivno orijentiran i gdje je rekao da se iskoristi simetrija, uvedu one supstitucije neke neobične itd. trebalo se izračunati integral po C ( descartesov list ) od onoga xdy-ydx čini mi se ( uz onakvu kao supstituciju ). kako rastaviti onaj C me zanima ? tj, koji su rubovi integracija ako tko zna ?

[Phoenix]

Za rubove stavi [tex]0[/tex] i [tex]+\infty[/tex]. Naime, ako je [tex]t=\frac{y}{x}[/tex], možeš po slici primijetiti, kako gledaš pravac kroz ishodište i određenu točku krivulje, da svaka točka ima jedinstveni nagib takvog pravca, a taj pravac se u početku poklapa s [tex]x[/tex] osi da bi mu nagib bio sve veći i poklopio se s [tex]y[/tex] osi. Bit će ti jasnije ako pogledaš crtež i docrtaš pravce.
Naravno, pazi kako postavljaš rubove jer možda imaš i supstituciju [tex]t=\frac{x}{y}[/tex], no tada rubove obrnuto postavljaš zbog pozitivne orijentacije.

Što se tiče supstitucije (za [tex]t=\frac{y}{x}[/tex]), prvi put uvrsti u jednadžbu [tex]y=tx[/tex], a zatim i [tex]x=\frac{y}{t}[/tex] i vidjet ćeš kako se dobiva takva supstitucija.

[kobila krsto]

[markos]

jel netko moze rjesiti 1.,4. i 5. zad iz kolokvija2011
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf
i nije mi bas jasno, kako, ako znamo potencijal podintegralne funkcije, dobiti integral....npr u 2. postu ove teme???

[A_je_to]

[ceps]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf

5. zadatak

Ploha s kojom radimo je nekakav plašt stošca. Moje pitanje je: što bi bio rub te plohe?
(Po teoremu o rotaciji trebamo računati , gdje je D ta ploha).

[Joker]

imam pitanje u vezi treceg zadatka ovdje, http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/ma34/ma4/2005-06/rj3.pdf
( ovo su rješenja ali je napisani tekst zadatka prije svakog)

zasto smo kasnije mogli zamijeniti parametrizaciju y(t)=(a/2*cost, 0, a*sint)
sa parametrizacijom y(t)=(cost,0,sint) ?
jel ne moraju parametrizacije imati na podrucjima na kojim su forme egzaktne isti pocetak i kraj? jer ovo nije isto, ili je?

jel moze netko to pojasniti jer ovo ne razumijem zasto je tako napravljeno..
i na kraju,jel rješenje 18pi ako se ovako rjesava a ne 9pi?

takoder, jesmo li mogli napisati samo parametrizaciju od npr -pi do pi i pomnoziti s 9 na kraju?

hvala unaprijed =)

[kosani]