|
[quote="crackern"]Potrebno je pokazati da je skup povezan..pa ako netko ima volje, raspisati i objasniti
[tex] \{(x,e^{\frac{1}{x+1}} \in R^3 \mid x \in <-5,1>\}\cup \{(-1,0) \}[/tex][/quote]
Prilično sam siguran da se ipak radi o skupu
[tex] \{(x,e^{\frac{1}{x+1}}) \in R^2 \mid x \in <-5,-1>\}\cup \{(-1,0) \}[/tex]
za početak jer očito nije u [tex]R^3[/tex], a i pokazat ću dalje zašto mislim da je interval ipak [tex] <-5,-1>[/tex].
Za početak, skup [tex]\{(x,e^{\frac{1}{x+1}}) \in R^2 \mid x \in <-5,-1>\}[/tex] je zapravo parametrizacija grafa funkcije [tex]f(x) = e^{\frac{1}{x+1}}[/tex]. Problem je što to moguće definirati samo na [tex]<-5,-1>[/tex], a ne [tex]<-5,1>[/tex] (no nije samo u tome problem). Primjeti da (-1,0) upravo "dodefinira" funkciju u točki -1. Dakle, valjalo bi provjeriti limes.
Međutim, ispada da općenito [tex]\lim_{x \rightarrow -1} f(x)[/tex] ne postoji jer je
[tex]\lim_{x \rightarrow -1^-} e^{\frac{1}{x+1}} = 0 [/tex], dok je
[tex]\lim_{x \rightarrow -1^+} e^{\frac{1}{x+1}} = +\infty [/tex].
Iz limesa je vidljivo, a i ako si skiciramo graf, da graf te funkcije zaista je moguće strpati u dva čak disjunktna zatvorena skupa.
No, ako gledamo samo segment [tex]<-5,-1>[/tex], funkciju zaista možemo dodefinirati do neprekidne na [tex]<-5,-1][/tex] tako da definiramo:
[tex]f^*:<-5,-1]\rightarrow R^, f^* (x) = f(x), x \in <-5,-1>, f^*(-1) = 0[/tex]
i sada je naš skup slika neprekidne funkcije po povezanom skupu, dakle po teoremu 8.10 iz:
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o8.pdf
povezan.
Bez pozivanja na 8.10, pošto već imamo parametrizaciju našeg skupa, možemo ustvrditi da je on povezan putevima pa specijalno i povezan.
| crackern (napisa): | Potrebno je pokazati da je skup povezan..pa ako netko ima volje, raspisati i objasniti
[tex] \{(x,e^{\frac{1}{x+1}} \in R^3 \mid x \in ←5,1>\}\cup \{(-1,0) \}[/tex] |
Prilično sam siguran da se ipak radi o skupu
[tex] \{(x,e^{\frac{1}{x+1}}) \in R^2 \mid x \in ←5,-1>\}\cup \{(-1,0) \}[/tex]
za početak jer očito nije u [tex]R^3[/tex], a i pokazat ću dalje zašto mislim da je interval ipak [tex] ←5,-1>[/tex].
Za početak, skup [tex]\{(x,e^{\frac{1}{x+1}}) \in R^2 \mid x \in ←5,-1>\}[/tex] je zapravo parametrizacija grafa funkcije [tex]f(x) = e^{\frac{1}{x+1}}[/tex]. Problem je što to moguće definirati samo na [tex]←5,-1>[/tex], a ne [tex]←5,1>[/tex] (no nije samo u tome problem). Primjeti da (-1,0) upravo "dodefinira" funkciju u točki -1. Dakle, valjalo bi provjeriti limes.
Međutim, ispada da općenito [tex]\lim_{x \rightarrow -1} f(x)[/tex] ne postoji jer je
[tex]\lim_{x \rightarrow -1^-} e^{\frac{1}{x+1}} = 0 [/tex], dok je
[tex]\lim_{x \rightarrow -1^+} e^{\frac{1}{x+1}} = +\infty [/tex].
Iz limesa je vidljivo, a i ako si skiciramo graf, da graf te funkcije zaista je moguće strpati u dva čak disjunktna zatvorena skupa.
No, ako gledamo samo segment [tex]←5,-1>[/tex], funkciju zaista možemo dodefinirati do neprekidne na [tex]←5,-1][/tex] tako da definiramo:
[tex]f^*:←5,-1]\rightarrow R^, f^* (x) = f(x), x \in ←5,-1>, f^*(-1) = 0[/tex]
i sada je naš skup slika neprekidne funkcije po povezanom skupu, dakle po teoremu 8.10 iz:
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o8.pdf
povezan.
Bez pozivanja na 8.10, pošto već imamo parametrizaciju našeg skupa, možemo ustvrditi da je on povezan putevima pa specijalno i povezan.
_________________
Ceterum censeo Carthaginem esse delendam.
|
