Teorem:derivabilnost povlači neprekidnost

[Gost]

Teorem:
Ako je funkcija f:I→IR diferencijabilna u točki c@I=<a,b> onda je f i neprekidna u točki c.

Dokaz:

w(x)= { (f(x)-f(c)/x-c)-f'(c) , x!=c,x@I
0 , x=c

Funkcija w je neprekidna u c.

Iz definicije funkcije w slijedi:

f(x)=f(c) + f'(c)*(x-c) + w(x)*(x-c) za x!=c,x@I

ali to vrijedi i za x=c.
Budući da je svaka funkcija na desnoj strani u gornjoj relaciji neprekidna u c, to je i f neprekidna u točki c.

Q.E.D

Pitanje:
Gdje se to vidi da je funkcija w neprekidna u c ?

Vidi li se ovako? :

Idem ispitati limes funkcije w u točki c pa :

lim_{x→c} w(x) = lim (f(x)-f(c)/x-c) - lim f'(c) =

= { lim (f(x)-f(c)/x-c) =f'(c) to slijedi iz pretpostavke teorema } =
lim f'(c) = f'(c) limes konstante(f'(c)) je ta ista konstanta

= f'(c) - f'(c) = 0

dakle:

lim w(x) = 0
x→c

Iskoristimo sada teorem koji daje ekvivalenciju: neprekidnost u c ⇔ limes u c i imamo činjenicu da je funkcija w neprekidna u c.

[mdoko]

Je, vidi se tako

_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan

[Gost]

[Gost]

Jeli ovo razmišljanje pravilno :

Promatram funkciju x I-> f(x)-f(c)/x-c , x@I/{c}

Vidjevši pravilo pridruživanja te funkcije legitimno je rastavljam u oblik :

1/x-c * f(x) – 1/x-c * f(c) = f(x)-f(c)/x-c

S lijeve strane jednakosti imam točno tri funkcije :

Produkt racionalne funkcije sa nekom realnom funkcijom manje produkt te iste rac.f-e sa konstantnom funkcijom.

Činjenica iz pretpostavki teorema je da funkcija f(x)-f(c)/x-c ima limes u točki c pa _mora_ vrijediti :

lim_{x->c} 1/x-c * lim_{x->c} f(x) - lim_{x->c} 1/x-c * lim_{x->c} f(c) = realan broj

Svaka od ''limesiranih'' funkcija u c ima limes pa su one i _nužno_ neprekidne u točki c(to osigurava jedan od teorema vezanih za neprekidnost i limes).

To će reći da su funkcije 1/x-c,f(x) te konstantna funkcija f(c) neprekidne u točki c,čak štoviše,svjesni činjenice da su sve elementarne funkcije neprekidne na svojim domenama,racionalna funkcija kao i funkcija konstanta(članice skupa elementarnih funkcija) su stoga neprekidne u svim točkama svoje definicije,ne samo u c.

[mdoko]

[Gost]

Uzeto na znanje.

[Gost]

Što je profesor Kurepa mislio kada je rekao :

Derivaciju uvodimo kao proširenje po neprekidnosti funkcije x I-> f(x)-f(c)/x-c .

Jeli mislio ovo:

Gore navedena funkcija nije definirana u točki c jer bi u suprotnom imali funkcijsku vrijednost koja raste neograničeno.

Naravno mi umjetno možemo navedenoj funkciji pridjeliti realnu vrijednost u točki c s tim zahtjevom da ona bude neprekidna u točki c,čemu i služi pojam 'proširenje po neprekidnosti'-proširiti domenu funkcije uz zadovoljavanje svojstva neprekidnosti u točki kojom domenu proširujemo.

Kako osigurati neprekidnost funkcije u točki c ?

Pa točki c pridjelimo vrijednost limesa funkcije(uz uvjet da je on postojan-dakle realan broj) kada x konvergira prema c .

To je dovoljno jer znamo teorem koji kaže da uz limes u točki c koji je ujedno i funkcijska vrijednost točke c nužno slijedi neprekidnost u toj točki.

Correct me if I'm wrong;)

[vsego]

Ako sam te dobro shvatio sto zelis, onda ti je vecina dobra. Samo ovo nije:

[Gost]

[mdoko]

I jos jedna stvar:

Ako funkcija f u okolini neke tocke c nije ogranicena (preciznije: za svaki e>0, za svaki M>0 postoji x@<c-e, c+e> t.d. |f(x)|>M), onda ocito u toj tocki funcija ne moze imati limes jer je gornje svojstvo kontradiktorno svojstvu koje ima limes funkcije f u tocki c.

_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan

[Gost]

Hvala na bonusu.

Hej,a koji je tvoj status ?

Koja godina i koje bitke pripremaš ?

[mdoko]

Pretpostavljam da se radi o mom 'statusu', jer za vsegu svi znaju
Treca godina, ako sve bude kako treba od 10. mjeseca cetvrta.

P.S. Daj se registriraj, ovakva pitanja su idealna za private message.

_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan

[Gost]

[Gost]

Smijem li definiciju limesa funkcije u točki smatrati _proširenom_ definicijom funkcije neprekidne u točki ?

Jer,u definiciji limesa funkcije u točki osim što se aproksimira funkcijska vrijednost u točki(definicija neprekidnosti u točki) može se i aproksimirati bilo koja realna vrijednost koja dakle ne mora biti funkcijska.

[mdoko]

Kako je funkcija f neprekidna u tocki c ako i samo ako je lim_{x->c}(f(x)) = f(c), onda preko vrijednosti limesa funkcije u nekoj tocki mozes provjeravati neprekidnost funkcije.
Ako f nije definirana u c, a ima limes u toj tocki, onda ako dodefiniras f(c) := lim_{x->c}(f(x)), dobiti ces funkciju koja je u c neprekidna. Naglasavam da to nije ista, nego nova funkcija, jer si do sada imao funkciju f : A -> B, a sada imas f : A U {c} -> B.

Nisam bas siguran da sam u potpunosti odgovorio na tvoje pitanje, jer mi bas i nije jasno kako se definicija pojma limes funkcije u tocki (sto je realan broj) moze smatrati prosirenjem pojma neprekidne funkcije (sto je funkcija)

_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan

[Gost]

Možda sam malo pregrubo nastupio,ali imati limes u točki koja je funkcijska vrijednost je isto što i imati neprekidnost u toj istoj točki.U tom slučaju su te dvije definicije _potpuno identične_.

Jedina razlika koju ja primjećujem kod tih dvaju definicija je kada limes funkcije nije funkcijska vrijednost(onda se ona može umjetno ''prišiti'' točki u kojoj smo limes ispitivali i to zovemo proširenjem funkcije po neprekidnosti),onda se defnicije bitno razlikuju jer kod definicije neprekidne funkcije mi aproksimiramo funkcijskim vrijednostima neku funkc. vrijednost dok kod definicije limesa funkcijskim vrijednostima aproksimiramo realan broj lišen svojstva da je funkcijska vrijednost.

Pa sam u skladu s time rekao je definicija limesa proširena definicija neprekidnosti u točki,kažem,možda sam malo grubo zvučao ali _kolokvijalno govoreći_ veza tih definicija je ista ako je limes funkc. vrijednost ,a definicije će se samo razlikovati ako je limes realna vrijednost koja nema to svojstvo da je i funkcijska.

Da onda još nešto pitam kad samo ovdje,zapravo samo da mi provjeriš ovo razmišljanje :

Definicija neprekidnosti u točki mi mora vrijediti za svaki epsilon strogo pozitivan broj pa si ja uzmem epsilon u neposrednoj okolini(dovoljnoj blizini) zdesna s obzirom na nulu, pa mi je taj uzeti broj epsilon dovoljno malen da aproksimira nulu.

I onda mi vrijedi da je razlika funkcijskih vrijednosti i konkretno promatrane funkcijske vrijednosti manja od epsilona(koji je ''gotovo nula'') što će mi reći da je razlika funkcijskih vrijednosti i konkretne f.vrijednosti(u točki c)toliko mizerna da smijem kazati:

imati funkcijsku vrijednost u c je isto što i imati vrijednost u okolnim točkama.

I još nešto:

Realnih brojeva kojima mogu aproksimirati neki zadani realni broj(proizvoljni) ima beskonačno mnogo ?

[mdoko]

[Gost]

[mdoko]

[Gost]