|
Kako je [tex]N \in L (\mathbb{C}^{8})[/tex], slijedi [tex]\text{ind} N \in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right\}[/tex]. Iz definicije ranga znamo da je rang bilo kojeg operatora nenegativni cijeli broj, pa posebno to vrijedi i za [tex]r(N^2)=\sqrt{\text{ind} N + 1}[/tex]. Isprobavanjem svih gore navedenih mogućnosti za [tex]\text{ind} N[/tex] dobivamo sljedeće dvije situacije:
1) [tex]\text{ind} N = d(N) = 3, r(N^2) = 2[/tex]
2) [tex]\text{ind} N = d(N) = 8, r(N^2) = 3[/tex]
No, drugi slučaj nije moguć. Naime, iz [tex]d(N)=8=\text{dim}(\mathbb{C}^8 )[/tex] slijedi [tex]N=0[/tex], samim time i [tex]N^2=0[/tex] te [tex]r(N^2)=0[/tex], što je u kontradikciji s gore dobivenim [tex]r(N^2)=3[/tex].
Dakle, jedina mogućnost je sljedeća:
[tex]\text{ind} N = d(N) = 3, r(N^2) = 2[/tex]
Uočimo: [tex]d(N^2)=8-r(N^2)=8-2=6[/tex].
Iz toga dobivamo: [tex]n_1=2d(N)-d(N^2)-d(N^0)=2 \cdot 3 - 6 - 0 = 0[/tex]
Sada se prisjetimo da [tex]\text{ind} N = 3[/tex] implicira [tex]N^3=0[/tex], pa to znači da je [tex]d(N^3)=8[/tex], odnosno općenito [tex]d(N^k)=8[/tex] za [tex]k \geq 3[/tex].
Sada dalje računamo:
[tex]n_2=2d(N^2)-d(N^3)-d(N)=2 \cdot 6 - 8 - 3 = 1[/tex]
[tex]n_3=2d(N^3)-d(N^4)-d(N^2)=2 \cdot 8 - 8 - 6 = 2[/tex]
I, naravno, [tex]n_k=2d(N^k)-d(N^{k+1})-d(N^{k-1})=2 \cdot 8 - 8 - 8 = 0, k \geq 4[/tex] (Ovaj red nije toliko ni potreban, no neka stoji. :))
Dakle, iz početnih uvjeta u zadatku dobili smo točno jednu moguću Jordanovu formu od [tex]N[/tex], dakle ona je svakako jednoznačno određena i ona je dana na sljedeći način:
[tex]\begin{bmatrix}0&1& & & & & & \\ &0&1& & & & & \\ & &0& & & & & \\ & & &0&1& & & \\ & & & &0&1& & \\ & & & & &0& & \\ & & & & & &0&1\\ & & & & & & &0\\ \end{bmatrix}[/tex]
Kako je [tex]N \in L (\mathbb{C}^{8})[/tex], slijedi [tex]\text{ind} N \in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right\}[/tex]. Iz definicije ranga znamo da je rang bilo kojeg operatora nenegativni cijeli broj, pa posebno to vrijedi i za [tex]r(N^2)=\sqrt{\text{ind} N + 1}[/tex]. Isprobavanjem svih gore navedenih mogućnosti za [tex]\text{ind} N[/tex] dobivamo sljedeće dvije situacije:
1) [tex]\text{ind} N = d(N) = 3, r(N^2) = 2[/tex]
2) [tex]\text{ind} N = d(N) = 8, r(N^2) = 3[/tex]
No, drugi slučaj nije moguć. Naime, iz [tex]d(N)=8=\text{dim}(\mathbb{C}^8 )[/tex] slijedi [tex]N=0[/tex], samim time i [tex]N^2=0[/tex] te [tex]r(N^2)=0[/tex], što je u kontradikciji s gore dobivenim [tex]r(N^2)=3[/tex].
Dakle, jedina mogućnost je sljedeća:
[tex]\text{ind} N = d(N) = 3, r(N^2) = 2[/tex]
Uočimo: [tex]d(N^2)=8-r(N^2)=8-2=6[/tex].
Iz toga dobivamo: [tex]n_1=2d(N)-d(N^2)-d(N^0)=2 \cdot 3 - 6 - 0 = 0[/tex]
Sada se prisjetimo da [tex]\text{ind} N = 3[/tex] implicira [tex]N^3=0[/tex], pa to znači da je [tex]d(N^3)=8[/tex], odnosno općenito [tex]d(N^k)=8[/tex] za [tex]k \geq 3[/tex].
Sada dalje računamo:
[tex]n_2=2d(N^2)-d(N^3)-d(N)=2 \cdot 6 - 8 - 3 = 1[/tex]
[tex]n_3=2d(N^3)-d(N^4)-d(N^2)=2 \cdot 8 - 8 - 6 = 2[/tex]
I, naravno, [tex]n_k=2d(N^k)-d(N^{k+1})-d(N^{k-1})=2 \cdot 8 - 8 - 8 = 0, k \geq 4[/tex] (Ovaj red nije toliko ni potreban, no neka stoji.  )
Dakle, iz početnih uvjeta u zadatku dobili smo točno jednu moguću Jordanovu formu od [tex]N[/tex], dakle ona je svakako jednoznačno određena i ona je dana na sljedeći način:
[tex]\begin{bmatrix}0&1& & & & & & \\ &0&1& & & & & \\ & &0& & & & & \\ & & &0&1& & & \\ & & & &0&1& & \\ & & & & &0& & \\ & & & & & &0&1\\ & & & & & & &0\\ \end{bmatrix}[/tex]
|
