| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
 Postano: 22:45 uto, 17. 8. 2004 Naslov: Zadaci vezani za derivabilnost |
    |
|
|
Zadaci o derivabilnosti,komentar malo poduži(ali ugodno je čitati :D ) pa praktički zadatak,molim vas da ispravite sve što sam krivo rekao ili napisao :
Ako se od mene u zadatku traži da ispitam da li je neka funkcija(zadana izrazom) derivabilna na svojoj domeni i ako mi je funkcija definirana u jednoj točki tako da s lijeve strane te točke domene slijedi jedno pravilo pridruživanja,a s desne drugo ja sam prisiljen ispitati derivabilnost slijeva i derivabilnost zdesna jer ne mogu ispitivati direktno derivabilnost kada nemam u neposrednoj okolini oko te točke jedno pravilo pridruživanja.
Ista stvar vrijedi ako se zahtjeva odgovor na pitanje dali je funkcija neprekidna na svojoj domeni,treba ispitati jednostrane neprekidnosti u toj točki.
Matematika je sasvim precizna i nije isto zahtjevati derivabilnost u točki i derivabilnost slijeva(zdesna) u točki.
U zadacima na pismenom takvoga tipa funkcija će u svim ostalim točkama svoje domene koje u svojim okolinama imaju jedno pravilo pridruživanja biti derivabilna jer nitko neće ispitivati kvocijent diferencija(definicija derivabilne funkcije) za samu funkciju ?Ili hoće ?
Eventualno ako se da funkcija za koju znamo graf na kojem je očito da nije u nekoj točki derivabilna(''špicevi'',prekidi i slično).
Pa u skladu s time provjerite mi postupak riješavanja sljedećeg zadatka :
[color=green]Zadana je funkcija,dali je funkcija derivabilna i ako jest odredite prvu derivaciju.Dali je klase C^1 ?
f(x)={ arctg(sqrt(3)*x) , |x|<=1
sqrt(3)/4 * x + pi/3 * sign(x) – sqrt(3)/4 , |x|>1[/color]
Ono što je očito iz definicije same funkcije je da je funkcija u točkama -1 i 1 potencijalno problematična,odnosno kako sam rekao,slijeva i zdesna od točaka -1 i 1 funkcija nema jedinstveno pravilo pridruživanja.
U svim ostalim točkama funkcija je derivabilna(postojanje limesa kvocijenta diferencija nije potrebno provjeravati?Hm…)
Pa,derivirajmo ono što znamo da je derivabilno(dakle sve točke domene izuzev -1 i 1) :
( arctg(sqrt(3)*x) )^' = 1/1+(sqrt(x)*x)^2 * (sqrt(3)*x)^' = sqrt(3)/(1+3*x^2) za |x|<1
( sqrt(3)/4 * x + pi/3 * sign(x) – sqrt(3)/4 )^' = … = sqrt(3)/4 za |x|>1
dakle :
f'(x)=
sqrt(3)/(1+3*x^2) , za |x|<1
sqrt(3)/4 , za |x|>1
? , x=-1
? , x=1
e sad ispitajmo potencijalno problematične točke -1 i 1,taktika je ispitati derivabilnost slijeva te derivabilnost zdesna u tim točkama,ukoliko se jednostrane derivacije poklapaju iskorištavamo teorem koji kaže da tada postoji derivacija u tim točkama :
po definiciji derivacije slijeva :
lim_{x->-1 slijeva} f(x)-f(-1)/x+1 = lim_{x->-1 slijeva} sqrt(3)/4 – pi/3 – sqrt(3)/4 – arctg(-sqrt(3)) / x+1 = -0.86/0 = -beskonačno
Dakle provjerom derivacije slijeva utvrdili smo da ona ne postoji pa stoga nije ni potrebno ispitivati derivaciju zdesna.
Funkcija u točki -1 nije derivabilna.
Više sreće s točkom 1 :
lim_{x->1 slijeva} f(x)-f(1)/x-1 =lim_{x->1 slijeva} arctg(sqrt(3)*x)-arctg(-sqrt(3)) / x-1 = (0/0) = prema L'Hospitalovom pravilu = lim_{x->1 slijeva} (sqrt(3)/1+3*x^2)/1= lim_{x->1 slijeva} sqrt(3)/1+3*x^2 = 0.43
lim_{x->1 zdesna} f(x)-f(1) / x-1 = lim_{x->1 zdesna} sqrt(3)/4*x + pi/3 – sqrt(3)/4 – arctg(sqrt(3)) / x-1 = (0/0) = prema L'Hospitalovom pravilu = 0.43
Funkcija ima derivaciju slijeva i zdesna i te su derivacije jednake => funkcija je derivabilna u 1
Još nam ostaje ispitati neprekidnost _funkcije f'_ u točki 1 jer je pitanje u zadatku jeli funkcija f klase C^1.
(Naravno u zadatku se može tražiti da se ispita neprekidnost _funkcije f_ u točki 1 i -1.
-jer mada funkcija u točki -1 nije derivabilna to nikako ne znači da ona nije neprekidna u toj točki(neprekidnost u točki ne povlači nužno derivabilnost) ) :
lim_{x->1 slijeva} f'(x)=sqrt(3)/4
lim_{x->1 zdesna} f'(x)=sqrt(3)/4
Imamo limese funkcije f' slijeva i zdesna te su oni jednaki => funkcija f' je neprekidna u točki 1
Post Scriptum:
Za sve one koji su pročitali ovaj tekst mojih deset prsta su neopisno zahvalni;))
Zadaci o derivabilnosti,komentar malo poduži(ali ugodno je čitati  ) pa praktički zadatak,molim vas da ispravite sve što sam krivo rekao ili napisao :
Ako se od mene u zadatku traži da ispitam da li je neka funkcija(zadana izrazom) derivabilna na svojoj domeni i ako mi je funkcija definirana u jednoj točki tako da s lijeve strane te točke domene slijedi jedno pravilo pridruživanja,a s desne drugo ja sam prisiljen ispitati derivabilnost slijeva i derivabilnost zdesna jer ne mogu ispitivati direktno derivabilnost kada nemam u neposrednoj okolini oko te točke jedno pravilo pridruživanja.
Ista stvar vrijedi ako se zahtjeva odgovor na pitanje dali je funkcija neprekidna na svojoj domeni,treba ispitati jednostrane neprekidnosti u toj točki.
Matematika je sasvim precizna i nije isto zahtjevati derivabilnost u točki i derivabilnost slijeva(zdesna) u točki.
U zadacima na pismenom takvoga tipa funkcija će u svim ostalim točkama svoje domene koje u svojim okolinama imaju jedno pravilo pridruživanja biti derivabilna jer nitko neće ispitivati kvocijent diferencija(definicija derivabilne funkcije) za samu funkciju ?Ili hoće ?
Eventualno ako se da funkcija za koju znamo graf na kojem je očito da nije u nekoj točki derivabilna(''špicevi'',prekidi i slično).
Pa u skladu s time provjerite mi postupak riješavanja sljedećeg zadatka :
Zadana je funkcija,dali je funkcija derivabilna i ako jest odredite prvu derivaciju.Dali je klase C^1 ?
f(x)={ arctg(sqrt(3)*x) , |x|⇐1
sqrt(3)/4 * x + pi/3 * sign(x) – sqrt(3)/4 , |x|>1
Ono što je očito iz definicije same funkcije je da je funkcija u točkama -1 i 1 potencijalno problematična,odnosno kako sam rekao,slijeva i zdesna od točaka -1 i 1 funkcija nema jedinstveno pravilo pridruživanja.
U svim ostalim točkama funkcija je derivabilna(postojanje limesa kvocijenta diferencija nije potrebno provjeravati?Hm…)
Pa,derivirajmo ono što znamo da je derivabilno(dakle sve točke domene izuzev -1 i 1) :
( arctg(sqrt(3)*x) )^' = 1/1+(sqrt(x)*x)^2 * (sqrt(3)*x)^' = sqrt(3)/(1+3*x^2) za |x|<1
( sqrt(3)/4 * x + pi/3 * sign(x) – sqrt(3)/4 )^' = … = sqrt(3)/4 za |x|>1
dakle :
f'(x)=
sqrt(3)/(1+3*x^2) , za |x|<1
sqrt(3)/4 , za |x|>1
? , x=-1
? , x=1
e sad ispitajmo potencijalno problematične točke -1 i 1,taktika je ispitati derivabilnost slijeva te derivabilnost zdesna u tim točkama,ukoliko se jednostrane derivacije poklapaju iskorištavamo teorem koji kaže da tada postoji derivacija u tim točkama :
po definiciji derivacije slijeva :
lim_{x→-1 slijeva} f(x)-f(-1)/x+1 = lim_{x→-1 slijeva} sqrt(3)/4 – pi/3 – sqrt(3)/4 – arctg(-sqrt(3)) / x+1 = -0.86/0 = -beskonačno
Dakle provjerom derivacije slijeva utvrdili smo da ona ne postoji pa stoga nije ni potrebno ispitivati derivaciju zdesna.
Funkcija u točki -1 nije derivabilna.
Više sreće s točkom 1 :
lim_{x→1 slijeva} f(x)-f(1)/x-1 =lim_{x→1 slijeva} arctg(sqrt(3)*x)-arctg(-sqrt(3)) / x-1 = (0/0) = prema L'Hospitalovom pravilu = lim_{x→1 slijeva} (sqrt(3)/1+3*x^2)/1= lim_{x→1 slijeva} sqrt(3)/1+3*x^2 = 0.43
lim_{x→1 zdesna} f(x)-f(1) / x-1 = lim_{x→1 zdesna} sqrt(3)/4*x + pi/3 – sqrt(3)/4 – arctg(sqrt(3)) / x-1 = (0/0) = prema L'Hospitalovom pravilu = 0.43
Funkcija ima derivaciju slijeva i zdesna i te su derivacije jednake ⇒ funkcija je derivabilna u 1
Još nam ostaje ispitati neprekidnost _funkcije f'_ u točki 1 jer je pitanje u zadatku jeli funkcija f klase C^1.
(Naravno u zadatku se može tražiti da se ispita neprekidnost _funkcije f_ u točki 1 i -1.
-jer mada funkcija u točki -1 nije derivabilna to nikako ne znači da ona nije neprekidna u toj točki(neprekidnost u točki ne povlači nužno derivabilnost) ) :
lim_{x→1 slijeva} f'(x)=sqrt(3)/4
lim_{x→1 zdesna} f'(x)=sqrt(3)/4
Imamo limese funkcije f' slijeva i zdesna te su oni jednaki ⇒ funkcija f' je neprekidna u točki 1
Post Scriptum:
Za sve one koji su pročitali ovaj tekst mojih deset prsta su neopisno zahvalni;))
|
|
| [Vrh] |
|
mdoko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: 
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
|
| Postano: 15:23 sri, 18. 8. 2004 Naslov: Re: Zadaci vezani za derivabilnost |
|
|
|
[quote]
Ako se od mene u zadatku traži da ispitam da li je neka funkcija(zadana izrazom) derivabilna na svojoj domeni i ako mi je funkcija definirana u jednoj točki tako da s lijeve strane te točke domene slijedi jedno pravilo pridruživanja,a s desne drugo ja sam prisiljen ispitati derivabilnost slijeva i derivabilnost zdesna jer ne mogu ispitivati direktno derivabilnost kada nemam u neposrednoj okolini oko te točke jedno pravilo pridruživanja.
Ista stvar vrijedi ako se zahtjeva odgovor na pitanje dali je funkcija neprekidna na svojoj domeni,treba ispitati jednostrane neprekidnosti u toj točki.
[/quote]
Moguce je provjeriti derivabilnost u toj tocki i to prilicno jednostavno. Kao prvo pronadji limese slijeva i zdesna (funkcije ili limes iz definicije derivacije, ovisno promatras li neprekidnost ili derivabvilnost. Ako jedan od ta dva limesa (lijevi ili desni) ne postoji ili nisu jednaki onda funkcija nije neprekidna odnosno derivabilna. Ako su jednaki onda ako promatras neprekidnost treba jos provjeriti da li je taj limes jednak vrijednosti funkcije, a ako promatras derivabilnost, onda je taj limes vrijednost derivacije u promatranoj tocki.
[quote]
U zadacima na pismenom takvoga tipa funkcija će u svim ostalim točkama svoje domene koje u svojim okolinama imaju jedno pravilo pridruživanja biti derivabilna jer nitko neće ispitivati kvocijent diferencija(definicija derivabilne funkcije) za samu funkciju ?Ili hoće ?
[/quote]
Kvocijent diferencija (ili tocnije njegov limes) je potrebno ispitivati samo u prethodno objasnjenom slucaju. Za ostale tocke jednostavno koristis teoreme koje govore da je suma, produkt, kompozicija i sl. neprekidnih funkcija ponovo neprekidna funkcija, a ne iscitavas to iz grafa jer slika cesto zna varati (vidjeti [url=http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=17632#17632]ovdje[/url]).
[quote]
f(x)={ arctg(sqrt(3)*x) , |x|<=1
sqrt(3)/4 * x + pi/3 * sign(x) – sqrt(3)/4 , |x|>1
Ono što je očito iz definicije same funkcije je da je funkcija u točkama -1 i 1 potencijalno problematična,odnosno kako sam rekao,slijeva i zdesna od točaka -1 i 1 [b]funkcija nema jedinstveno pravilo pridruživanja[/b].
[/quote]
Ooops! Ovo boldano izgleda nije lapsus nego to ponavljas vec po drugi put. Funkcija za svaku tocku ima jedinstveno odredjenu sliku, sto znaci da svaka funkcija ima jedinstveno pravilo pridruzivanja (koje se mozda moze zapisati na nekoliko razlicitih nacina) :!: To sto ovo nije elementarna funkcija, pa njenu derivaciju u problematicnim tockama ne mozes naci u tablicama ne znaci da ona derivacije u tim tockama nema.
[quote]
Još nam ostaje ispitati neprekidnost _funkcije f'_ u točki 1 jer je pitanje u zadatku jeli funkcija f klase C^1.
...........
Imamo limese funkcije f' slijeva i zdesna te su oni jednaki => funkcija f' je neprekidna u točki 1
[/quote]
Nije bilo potrebe za ovim, jer kako funkcija f nema derivaciju u tocki -1 ona ne moze biti klase C^1, jer bi to impliciralo derivabilnost funkcije f u svakoj tocki domene.
[quote]
Post Scriptum:
Za sve one koji su pročitali ovaj tekst mojih deset prsta su neopisno zahvalni;))
[/quote]
Molim :wink:
| Citat: |
Ako se od mene u zadatku traži da ispitam da li je neka funkcija(zadana izrazom) derivabilna na svojoj domeni i ako mi je funkcija definirana u jednoj točki tako da s lijeve strane te točke domene slijedi jedno pravilo pridruživanja,a s desne drugo ja sam prisiljen ispitati derivabilnost slijeva i derivabilnost zdesna jer ne mogu ispitivati direktno derivabilnost kada nemam u neposrednoj okolini oko te točke jedno pravilo pridruživanja.
Ista stvar vrijedi ako se zahtjeva odgovor na pitanje dali je funkcija neprekidna na svojoj domeni,treba ispitati jednostrane neprekidnosti u toj točki.
|
Moguce je provjeriti derivabilnost u toj tocki i to prilicno jednostavno. Kao prvo pronadji limese slijeva i zdesna (funkcije ili limes iz definicije derivacije, ovisno promatras li neprekidnost ili derivabvilnost. Ako jedan od ta dva limesa (lijevi ili desni) ne postoji ili nisu jednaki onda funkcija nije neprekidna odnosno derivabilna. Ako su jednaki onda ako promatras neprekidnost treba jos provjeriti da li je taj limes jednak vrijednosti funkcije, a ako promatras derivabilnost, onda je taj limes vrijednost derivacije u promatranoj tocki.
| Citat: |
U zadacima na pismenom takvoga tipa funkcija će u svim ostalim točkama svoje domene koje u svojim okolinama imaju jedno pravilo pridruživanja biti derivabilna jer nitko neće ispitivati kvocijent diferencija(definicija derivabilne funkcije) za samu funkciju ?Ili hoće ?
|
Kvocijent diferencija (ili tocnije njegov limes) je potrebno ispitivati samo u prethodno objasnjenom slucaju. Za ostale tocke jednostavno koristis teoreme koje govore da je suma, produkt, kompozicija i sl. neprekidnih funkcija ponovo neprekidna funkcija, a ne iscitavas to iz grafa jer slika cesto zna varati (vidjeti ovdje).
| Citat: |
f(x)={ arctg(sqrt(3)*x) , |x|⇐1
sqrt(3)/4 * x + pi/3 * sign(x) – sqrt(3)/4 , |x|>1
Ono što je očito iz definicije same funkcije je da je funkcija u točkama -1 i 1 potencijalno problematična,odnosno kako sam rekao,slijeva i zdesna od točaka -1 i 1 funkcija nema jedinstveno pravilo pridruživanja.
|
Ooops! Ovo boldano izgleda nije lapsus nego to ponavljas vec po drugi put. Funkcija za svaku tocku ima jedinstveno odredjenu sliku, sto znaci da svaka funkcija ima jedinstveno pravilo pridruzivanja (koje se mozda moze zapisati na nekoliko razlicitih nacina)  To sto ovo nije elementarna funkcija, pa njenu derivaciju u problematicnim tockama ne mozes naci u tablicama ne znaci da ona derivacije u tim tockama nema.
| Citat: |
Još nam ostaje ispitati neprekidnost _funkcije f'_ u točki 1 jer je pitanje u zadatku jeli funkcija f klase C^1.
...........
Imamo limese funkcije f' slijeva i zdesna te su oni jednaki ⇒ funkcija f' je neprekidna u točki 1
|
Nije bilo potrebe za ovim, jer kako funkcija f nema derivaciju u tocki -1 ona ne moze biti klase C^1, jer bi to impliciralo derivabilnost funkcije f u svakoj tocki domene.
| Citat: |
Post Scriptum:
Za sve one koji su pročitali ovaj tekst mojih deset prsta su neopisno zahvalni;))
|
Molim 
_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 0:37 čet, 19. 8. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote]Moguce je provjeriti derivabilnost u toj tocki i to prilicno jednostavno. Kao prvo pronadji limese slijeva i zdesna (funkcije ili limes iz definicije derivacije, ovisno promatras li neprekidnost ili derivabvilnost. Ako jedan od ta dva limesa (lijevi ili desni) ne postoji ili nisu jednaki onda funkcija nije neprekidna odnosno derivabilna. Ako su jednaki onda ako promatras neprekidnost treba jos provjeriti da li je taj limes jednak vrijednosti funkcije, a ako promatras derivabilnost, onda je taj limes vrijednost derivacije u promatranoj tocki.[/quote]
Hm,pa to sam ja također napisao,dobro tvoje je preciznije.
Algoritam za ispitivanje neprekidnosti zahtjeva znanje definicije neprekidnosti u točki te definicije jednostranih neprekidnosti u točki i samo jedan teorem:
f:I->IR,I-otvoren skup,c@I funkcija f je neprekidna u c <=> ima limes u c i on je jednak f(c)
Čudno ali za derivabilnost kakvu ovdje ispitujemo nema teorema,jednostavno je potrebno znati definicije jednostranih derivacija i geometrijski očiglednu(sad češ me špotati jer ništa nije očito:) činjenicu da postojanost i jednakost jednostranih derivacija povlači derivabilnost u točki.
[quote]Kvocijent diferencija (ili tocnije njegov limes) je potrebno ispitivati samo u prethodno objasnjenom slucaju. Za ostale tocke jednostavno koristis teoreme koje govore da je suma, produkt, kompozicija i sl. neprekidnih funkcija ponovo neprekidna funkcija, a ne iscitavas to iz grafa jer slika cesto zna varati (vidjeti ovdje).[/quote]
Ok.
[quote]Ooops! Ovo boldano izgleda nije lapsus nego to ponavljas vec po drugi put. Funkcija za svaku tocku ima jedinstveno odredjenu sliku, sto znaci da svaka funkcija ima jedinstveno pravilo pridruzivanja (koje se mozda moze zapisati na nekoliko razlicitih nacina) To sto ovo nije elementarna funkcija, pa njenu derivaciju u problematicnim tockama ne mozes naci u tablicama ne znaci da ona derivacije u tim tockama nema.[/quote]
Ok.
[quote]Nije bilo potrebe za ovim, jer kako funkcija f nema derivaciju u tocki -1 ona ne moze biti klase C^1, jer bi to impliciralo derivabilnost funkcije f u svakoj tocki domene.[/quote]
Da,hvala,tu sam falio.
Dakle sve u svemu dobro sam riješio zadatak,hoću reći,nadam se da nisi samo iščitavao teoretski dio već da si škicnuo i kakve sam brojeve ispisivao ?
Kako bilo da bilo,hvala.
| Citat: | | Moguce je provjeriti derivabilnost u toj tocki i to prilicno jednostavno. Kao prvo pronadji limese slijeva i zdesna (funkcije ili limes iz definicije derivacije, ovisno promatras li neprekidnost ili derivabvilnost. Ako jedan od ta dva limesa (lijevi ili desni) ne postoji ili nisu jednaki onda funkcija nije neprekidna odnosno derivabilna. Ako su jednaki onda ako promatras neprekidnost treba jos provjeriti da li je taj limes jednak vrijednosti funkcije, a ako promatras derivabilnost, onda je taj limes vrijednost derivacije u promatranoj tocki. |
Hm,pa to sam ja također napisao,dobro tvoje je preciznije.
Algoritam za ispitivanje neprekidnosti zahtjeva znanje definicije neprekidnosti u točki te definicije jednostranih neprekidnosti u točki i samo jedan teorem:
f:I→IR,I-otvoren skup,c@I funkcija f je neprekidna u c ⇔ ima limes u c i on je jednak f(c)
Čudno ali za derivabilnost kakvu ovdje ispitujemo nema teorema,jednostavno je potrebno znati definicije jednostranih derivacija i geometrijski očiglednu(sad češ me špotati jer ništa nije očito:) činjenicu da postojanost i jednakost jednostranih derivacija povlači derivabilnost u točki.
| Citat: | | Kvocijent diferencija (ili tocnije njegov limes) je potrebno ispitivati samo u prethodno objasnjenom slucaju. Za ostale tocke jednostavno koristis teoreme koje govore da je suma, produkt, kompozicija i sl. neprekidnih funkcija ponovo neprekidna funkcija, a ne iscitavas to iz grafa jer slika cesto zna varati (vidjeti ovdje). |
Ok.
| Citat: | | Ooops! Ovo boldano izgleda nije lapsus nego to ponavljas vec po drugi put. Funkcija za svaku tocku ima jedinstveno odredjenu sliku, sto znaci da svaka funkcija ima jedinstveno pravilo pridruzivanja (koje se mozda moze zapisati na nekoliko razlicitih nacina) To sto ovo nije elementarna funkcija, pa njenu derivaciju u problematicnim tockama ne mozes naci u tablicama ne znaci da ona derivacije u tim tockama nema. |
Ok.
| Citat: | | Nije bilo potrebe za ovim, jer kako funkcija f nema derivaciju u tocki -1 ona ne moze biti klase C^1, jer bi to impliciralo derivabilnost funkcije f u svakoj tocki domene. |
Da,hvala,tu sam falio.
Dakle sve u svemu dobro sam riješio zadatak,hoću reći,nadam se da nisi samo iščitavao teoretski dio već da si škicnuo i kakve sam brojeve ispisivao ?
Kako bilo da bilo,hvala.
|
|
| [Vrh] |
|
mdoko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol:
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
|
| Postano: 23:38 čet, 19. 8. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote]
Čudno ali za derivabilnost kakvu ovdje ispitujemo nema teorema,jednostavno je potrebno znati definicije jednostranih derivacija i geometrijski očiglednu(sad češ me špotati jer ništa nije očito:) činjenicu da postojanost i jednakost jednostranih derivacija povlači derivabilnost u točki.
[/quote]
Ovdje uopce nije potrebno uvoditi pojam lijeve i desne derivacije, nego jednostavno treba uociti da vrijedi slijedeci teorem/propozicija ili kako god to zelis zvati:
[i]Neka je f:I->|R, c@I, ako postoje lijevi i desni limes funkcije f u tocki c i ako su ti limesi jednaki, onda postoji i limes funkcije f u tocki c i jednak je lijevom, odnosno desnom limesu.[/i]
Prilicno je ocito, dokaz nije tezak nego je tehnicki pa mi ga se ne da ovdje navoditi, probaj sam.
Koristeci gore navedenu tvrdnju lako mozes dobiti analognu tvrdnju i za lijeve i desne derivacije.
P.S. Vrijedi i jaca tvrdnja od gore izrecene, samo umjesto [b]c@I[/b] treba pisati [b]c gomiliste skupa I[/b], ali to mi se cini da je za potrebe zadatka ova jednostavnija formulacija dovoljna.
| Citat: |
Čudno ali za derivabilnost kakvu ovdje ispitujemo nema teorema,jednostavno je potrebno znati definicije jednostranih derivacija i geometrijski očiglednu(sad češ me špotati jer ništa nije očito:) činjenicu da postojanost i jednakost jednostranih derivacija povlači derivabilnost u točki.
|
Ovdje uopce nije potrebno uvoditi pojam lijeve i desne derivacije, nego jednostavno treba uociti da vrijedi slijedeci teorem/propozicija ili kako god to zelis zvati:
Neka je f:I→|R, c@I, ako postoje lijevi i desni limes funkcije f u tocki c i ako su ti limesi jednaki, onda postoji i limes funkcije f u tocki c i jednak je lijevom, odnosno desnom limesu.
Prilicno je ocito, dokaz nije tezak nego je tehnicki pa mi ga se ne da ovdje navoditi, probaj sam.
Koristeci gore navedenu tvrdnju lako mozes dobiti analognu tvrdnju i za lijeve i desne derivacije.
P.S. Vrijedi i jaca tvrdnja od gore izrecene, samo umjesto c@I treba pisati c gomiliste skupa I, ali to mi se cini da je za potrebe zadatka ova jednostavnija formulacija dovoljna.
_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
|
|
| [Vrh] |
|
Vincent Van Ear
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 08. 2004. (11:29:05)
Postovi: (175)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
