| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: 
|
 Postano: 22:50 čet, 1. 11. 2012 Naslov: |
    |
|
|
[quote="sasha.f"]Može usput i napomena 6.13. :)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o6.pdf
to je trebalo dokazati u jednom kolokviju..[/quote]
Neka je funkcija [tex]f\colon A\to\mathbb{R}^k[/tex] neprekidna u klasicnom smislu. Neka je U otvoren skup u [tex]\mathbb{R}^k[/tex]. Ako se niti jedna tocka skupa A ne preslika u skup U, onda je [tex]f^{-1}(U)=\emptyset[/tex], a prazan skup je po definiciji otvoren u bilo kojem topoloskom prostoru. Inace, neka je [tex]x\in f^{-1}(U)[/tex]. Onda je [tex]f(x)\in U[/tex], a zato sto je U otvoren, postoji [tex]\varepsilon >0[/tex] td. je [tex]K(f(x),\varepsilon)\subset U[/tex]. Jer je f neprekidna, onda je neprekidna u x pa za taj [tex]\varepsilon[/tex] postoji [tex]\delta>0[/tex] td. za svaki [tex]x'\in K(x,\delta)[/tex] je [tex]f(x')\in K(f(x),\varepsilon)\subset U[/tex]. Ali to povlaci da je [tex]f(K(x,\delta))\subset U[/tex] pa je [tex]K(x,\delta)\subset f^{-1}(U)[/tex], tj. [tex]f^{-1}(U)[/tex] je otvoren u A.
Obrnuto, neka je f neprekidna u topoloskom smislu. Neka je [tex]x\in A[/tex] te [tex]\varepsilon > 0[/tex]. Kako je [tex]K(f(x),\varepsilon)[/tex] otvoren skup u [tex]\mathbb{R}^k[/tex], onda je [tex]f^{-1}(K(f(x),\varepsilon))[/tex] otvoren skup u A. Ocito je [tex]x\in f^{-1}(K(f(x),\varepsilon)) [/tex] pa onda postoji [tex]\delta > 0[/tex] td. je [tex]K(x,\delta)\subset f^{-1}(K(f(x),\varepsilon))[/tex]. To znaci da je [tex]f(K(x,\delta)) \subset K(f(x),\varepsilon) [/tex], odnosno da je f neprekidna u x u klasicnom smislu. Kako se ovaj argument moze ponoviti za svaki x iz A, onda je f i neprekidna.
Neka je funkcija [tex]f\colon A\to\mathbb{R}^k[/tex] neprekidna u klasicnom smislu. Neka je U otvoren skup u [tex]\mathbb{R}^k[/tex]. Ako se niti jedna tocka skupa A ne preslika u skup U, onda je [tex]f^{-1}(U)=\emptyset[/tex], a prazan skup je po definiciji otvoren u bilo kojem topoloskom prostoru. Inace, neka je [tex]x\in f^{-1}(U)[/tex]. Onda je [tex]f(x)\in U[/tex], a zato sto je U otvoren, postoji [tex]\varepsilon >0[/tex] td. je [tex]K(f(x),\varepsilon)\subset U[/tex]. Jer je f neprekidna, onda je neprekidna u x pa za taj [tex]\varepsilon[/tex] postoji [tex]\delta>0[/tex] td. za svaki [tex]x'\in K(x,\delta)[/tex] je [tex]f(x')\in K(f(x),\varepsilon)\subset U[/tex]. Ali to povlaci da je [tex]f(K(x,\delta))\subset U[/tex] pa je [tex]K(x,\delta)\subset f^{-1}(U)[/tex], tj. [tex]f^{-1}(U)[/tex] je otvoren u A.
Obrnuto, neka je f neprekidna u topoloskom smislu. Neka je [tex]x\in A[/tex] te [tex]\varepsilon > 0[/tex]. Kako je [tex]K(f(x),\varepsilon)[/tex] otvoren skup u [tex]\mathbb{R}^k[/tex], onda je [tex]f^{-1}(K(f(x),\varepsilon))[/tex] otvoren skup u A. Ocito je [tex]x\in f^{-1}(K(f(x),\varepsilon)) [/tex] pa onda postoji [tex]\delta > 0[/tex] td. je [tex]K(x,\delta)\subset f^{-1}(K(f(x),\varepsilon))[/tex]. To znaci da je [tex]f(K(x,\delta)) \subset K(f(x),\varepsilon) [/tex], odnosno da je f neprekidna u x u klasicnom smislu. Kako se ovaj argument moze ponoviti za svaki x iz A, onda je f i neprekidna.
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
nuclear
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 11. 2011. (17:40:12)
Postovi: (74)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
| Postano: 17:06 sub, 3. 11. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="nuclear"]Ne treba mi naširoko i nadugačko objašnjavati diferencijale i diferencijabilnost funkcija itd (teoremi ili ostalo), ali bih voljela neku kratku pričicu zašto je sve tako kako je? Ako je moguće to objasniti :/
Recimo muči me uvođenje linearnog operatora (iznenađenje) i korištenje skalarnih produkata. Kako su došli do toga? Što se tiče afine funkcije, ....zaboravih što je to :oops:[/quote]
Tesko je napisati kratku pricicu o tome. Diferencijal mozes motivirati s dva aspekta: jedan je taj da proucavanje neke jako divlje i neugodne funkcije zelimo svesti na proucavanje funkcija o kojima puno znamo, bez da izgubimo puno informacija o originalnoj funkciji koju proucavamo. U tom smislu uvodimo linearni operator, tj. linearnu funkciju koja jako dobro aproksimira originalnu funkciju i odaje puno informacija o njoj. Situacija je ista kao i u jednodimenzionalnom slucaju kada krivulju opisemo grafom neke funkcije, a onda tu funkciju aproksimiramo poligonalnom linijom, tj. tangentama, a do tangenata dolazimo pomocu derivacija.
Drugi aspekt se tice integracije. Jako puno funkcija je integrabilno (bolje receno Riemann-integrabilno, a sve neprekidne funkcije su takve, iako postoji i sira klasa Riemann-integrabilnih funkcija, ali to je trenutno nebitno), ali ne mogu se sve lako integrirati - kada dodjemo u takvu situaciju, onda posezemo za trikovima, a standardni trik je zamjena varijabli (supstitucija). Zamjenom varijabli efektivno jedan koordinatni sustav transformiramo u drugi i pritom izgubimo neke informacije - npr. povrsina koju graf funkcije zatvara s ravninom z=0 se promijeni jer se graf funkcije u novom koordinatnom sustavu deformira. Nakon mukotrpnog istrazivanja ispostavi se da jakobijan funkcije (determinanta diferencijala) upravo nadoknadi taj gubitak do kojeg dolazi pri transformaciji iz jednog koordinatnog sustava u drugi, a jakobijan funkcije moze postojati samo ako je funkcija diferencijabilna. To onda motivira uvodjenje diferencijala i njegovo proucavanje.
Sto se tice koristenja skalarnog produkta, nije mi jasno sto te muci. Afina funkcija je "pravac", tj. u jednodimenzionalnom slucaju to je funkcija oblika f(x)=ax+b, a u vektorskom slucaju je to [tex]f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n, f(x)=Ax+b[/tex], gdje je A nxm matrica, a b je vektor u [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. To je transformacija koja pravce preslikava u pravce (i jos neka svojstva, guglaj affine transformation).
| nuclear (napisa): | Ne treba mi naširoko i nadugačko objašnjavati diferencijale i diferencijabilnost funkcija itd (teoremi ili ostalo), ali bih voljela neku kratku pričicu zašto je sve tako kako je? Ako je moguće to objasniti 
Recimo muči me uvođenje linearnog operatora (iznenađenje) i korištenje skalarnih produkata. Kako su došli do toga? Što se tiče afine funkcije, ....zaboravih što je to  |
Tesko je napisati kratku pricicu o tome. Diferencijal mozes motivirati s dva aspekta: jedan je taj da proucavanje neke jako divlje i neugodne funkcije zelimo svesti na proucavanje funkcija o kojima puno znamo, bez da izgubimo puno informacija o originalnoj funkciji koju proucavamo. U tom smislu uvodimo linearni operator, tj. linearnu funkciju koja jako dobro aproksimira originalnu funkciju i odaje puno informacija o njoj. Situacija je ista kao i u jednodimenzionalnom slucaju kada krivulju opisemo grafom neke funkcije, a onda tu funkciju aproksimiramo poligonalnom linijom, tj. tangentama, a do tangenata dolazimo pomocu derivacija.
Drugi aspekt se tice integracije. Jako puno funkcija je integrabilno (bolje receno Riemann-integrabilno, a sve neprekidne funkcije su takve, iako postoji i sira klasa Riemann-integrabilnih funkcija, ali to je trenutno nebitno), ali ne mogu se sve lako integrirati - kada dodjemo u takvu situaciju, onda posezemo za trikovima, a standardni trik je zamjena varijabli (supstitucija). Zamjenom varijabli efektivno jedan koordinatni sustav transformiramo u drugi i pritom izgubimo neke informacije - npr. povrsina koju graf funkcije zatvara s ravninom z=0 se promijeni jer se graf funkcije u novom koordinatnom sustavu deformira. Nakon mukotrpnog istrazivanja ispostavi se da jakobijan funkcije (determinanta diferencijala) upravo nadoknadi taj gubitak do kojeg dolazi pri transformaciji iz jednog koordinatnog sustava u drugi, a jakobijan funkcije moze postojati samo ako je funkcija diferencijabilna. To onda motivira uvodjenje diferencijala i njegovo proucavanje.
Sto se tice koristenja skalarnog produkta, nije mi jasno sto te muci. Afina funkcija je "pravac", tj. u jednodimenzionalnom slucaju to je funkcija oblika f(x)=ax+b, a u vektorskom slucaju je to [tex]f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n, f(x)=Ax+b[/tex], gdje je A nxm matrica, a b je vektor u [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. To je transformacija koja pravce preslikava u pravce (i jos neka svojstva, guglaj affine transformation).
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
Bole13
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2008. (00:33:50)
Postovi: (5A)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
| Postano: 17:10 ned, 4. 11. 2012 Naslov: |
|
|
|
Da, treba ići [tex]a[/tex] umjesto [tex]x[/tex].
I to je zapravo dokaz. Svaka kugla oko neke točke ima element koji je isto unutar skupa (jer je gomilište). Uzmi sve manje i manje kugle i konstruiraj niz tako da uzmeš po jednu točku iz svake takve kugle. Pošto se kugle smanjuju, udaljenosti između [tex]a[/tex] i elementa niza, što više raste indeks [tex]k[/tex], se smanjuje, a to upravo znači da niz konvergira u [tex]a[/tex].
Ako je prešturo objašnjenje (a mislim da jest jer trenutno ne stignem napisati više), probaj si skicirati takve kugle i uzmi po jednu točku iz svake kugle. Onda će ti biti intuitivno jasno da niz konvergira baš u točku [tex]a[/tex].
Da, treba ići [tex]a[/tex] umjesto [tex]x[/tex].
I to je zapravo dokaz. Svaka kugla oko neke točke ima element koji je isto unutar skupa (jer je gomilište). Uzmi sve manje i manje kugle i konstruiraj niz tako da uzmeš po jednu točku iz svake takve kugle. Pošto se kugle smanjuju, udaljenosti između [tex]a[/tex] i elementa niza, što više raste indeks [tex]k[/tex], se smanjuje, a to upravo znači da niz konvergira u [tex]a[/tex].
Ako je prešturo objašnjenje (a mislim da jest jer trenutno ne stignem napisati više), probaj si skicirati takve kugle i uzmi po jednu točku iz svake kugle. Onda će ti biti intuitivno jasno da niz konvergira baš u točku [tex]a[/tex].
|
|
| [Vrh] |
|
Bole13
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2008. (00:33:50)
Postovi: (5A)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
| Postano: 13:45 čet, 29. 11. 2012 Naslov: |
|
|
|
Funkcija [tex]h[/tex] je uvedena da imaš jednostavniji prikaz kao [tex]f=g \circ h[/tex]. Stoga je po derivaciji kompozicije [tex]\nabla f = \nabla g \circ h \nabla h[/tex], odnosno [tex]\nabla f(x,y) = \nabla g(h(x,y)) \nabla h(x,y)[/tex] (to je zapravo četvrta jednakost po redu).
Do sada već znamo kako za ovakve funkcije izgleda Jacobijeva matrica, pa vrijedi sljedeće: [tex]\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial g}{\partial x}(x^2+y^2,x^3+y^3) & \frac{\partial g}{\partial y}(x^2+y^2,x^3+y^3) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 3x^2 & 3y^2 \\ \end{bmatrix}[/tex].
Sada posljednje dvije relacije dobivaš matričnim množenjem matrica s desne strane jednakosti te usporedbom komponenti matrice s lijeve strane i novonastale matrice.
Funkcija [tex]h[/tex] je uvedena da imaš jednostavniji prikaz kao [tex]f=g \circ h[/tex]. Stoga je po derivaciji kompozicije [tex]\nabla f = \nabla g \circ h \nabla h[/tex], odnosno [tex]\nabla f(x,y) = \nabla g(h(x,y)) \nabla h(x,y)[/tex] (to je zapravo četvrta jednakost po redu).
Do sada već znamo kako za ovakve funkcije izgleda Jacobijeva matrica, pa vrijedi sljedeće: [tex]\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial g}{\partial x}(x^2+y^2,x^3+y^3) & \frac{\partial g}{\partial y}(x^2+y^2,x^3+y^3) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 3x^2 & 3y^2 \\ \end{bmatrix}[/tex].
Sada posljednje dvije relacije dobivaš matričnim množenjem matrica s desne strane jednakosti te usporedbom komponenti matrice s lijeve strane i novonastale matrice.
|
|
| [Vrh] |
|
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
| Postano: 17:12 ned, 9. 12. 2012 Naslov: |
|
|
|
Pojasnit ću to preko preslikavanja [tex]B_c : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/tex] danog s [tex]B_c(x_1,x_2)=(D^2f(c)x_1)x_2[/tex], za neku dva puta diferencijabilnu funkciju [tex]f[/tex], jer pretpostavljam da zbog tog razmatranja i pitaš to.
(Ukratko, za preslikavanje spomenuto neposredno nakon definicije [tex]15.4[/tex] [url=http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o15.pdf]na ovom linku[/url] i u slučaju [tex]m=1[/tex], kao što se spominje nekoliko redaka dolje.)
Preslikavanje [tex]B_c[/tex] je bilinearno ako je linearno u obe svoje varijable. Preciznije, preslikavanje [tex]x_1 \rightarrow B_c(x_1,x_2)[/tex] je linearno ([tex]B_c(ax_1'+bx_1'',x_2)=aB_c(x_1',x_2)+bB_c(x_1',x_2), \forall a, b \in \mathbb{R}[/tex]), kao i preslikavanje [tex]x_2 \rightarrow B_c(x_1,x_2)[/tex] ([tex]B_c(x_1,ax_2'+bx_2'')=aB_c(x_1,x_2')+bB_c(x_1,x_2''), \forall a, b \in \mathbb{R}[/tex]).
Dakle, promatrajući preslikavanje [tex]B_c[/tex], ako fiksiraš, recimo, [tex]x_2[/tex], odnosno, uvrstiš da je [tex]x_2=t[/tex], ono što dalje promatraš jest izraz [tex]B_c(x_1,t)=(D^2f(c)x_1)t[/tex]. On ovisi samo o jednoj varijabli, koja je [tex]x_1[/tex], i on je linearan u toj varijabli, stoga dobivaš preslikavanje u ovisnosti o jednoj [tex]n[/tex]-dimenzionalnoj varijabli, [tex]x_1[/tex], i ponaša se kao linearni operator.
Potpuno analogno ako fiksiraš [tex]x_1[/tex] i staviš [tex]x_1=t[/tex].
Pojasnit ću to preko preslikavanja [tex]B_c : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/tex] danog s [tex]B_c(x_1,x_2)=(D^2f(c)x_1)x_2[/tex], za neku dva puta diferencijabilnu funkciju [tex]f[/tex], jer pretpostavljam da zbog tog razmatranja i pitaš to.
(Ukratko, za preslikavanje spomenuto neposredno nakon definicije [tex]15.4[/tex] na ovom linku i u slučaju [tex]m=1[/tex], kao što se spominje nekoliko redaka dolje.)
Preslikavanje [tex]B_c[/tex] je bilinearno ako je linearno u obe svoje varijable. Preciznije, preslikavanje [tex]x_1 \rightarrow B_c(x_1,x_2)[/tex] je linearno ([tex]B_c(ax_1'+bx_1'',x_2)=aB_c(x_1',x_2)+bB_c(x_1',x_2), \forall a, b \in \mathbb{R}[/tex]), kao i preslikavanje [tex]x_2 \rightarrow B_c(x_1,x_2)[/tex] ([tex]B_c(x_1,ax_2'+bx_2'')=aB_c(x_1,x_2')+bB_c(x_1,x_2''), \forall a, b \in \mathbb{R}[/tex]).
Dakle, promatrajući preslikavanje [tex]B_c[/tex], ako fiksiraš, recimo, [tex]x_2[/tex], odnosno, uvrstiš da je [tex]x_2=t[/tex], ono što dalje promatraš jest izraz [tex]B_c(x_1,t)=(D^2f(c)x_1)t[/tex]. On ovisi samo o jednoj varijabli, koja je [tex]x_1[/tex], i on je linearan u toj varijabli, stoga dobivaš preslikavanje u ovisnosti o jednoj [tex]n[/tex]-dimenzionalnoj varijabli, [tex]x_1[/tex], i ponaša se kao linearni operator.
Potpuno analogno ako fiksiraš [tex]x_1[/tex] i staviš [tex]x_1=t[/tex].
|
|
| [Vrh] |
|
student_92
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46)
Postovi: (B9)16
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
| Postano: 3:47 čet, 20. 12. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="student_92"]Teorem [tex]15.10[/tex] (Schwarz).
Može li mi netko objasniti smisao definiranja funkcije [tex]S(h, k)[/tex] te što ona predstavlja?[/quote]
Mozes ju interpretirati kao mjeru odstupanja funkcije f od bilinearne funkcije. Dokaz upravo i analizira tu situaciju, tj. prvo fiksira drugu varijablu i ispituje linearnost prve, a zatim fiksira prvu varijablu i ispituje linearnost druge.
Dva tipfelera u prvom dijelu dokaza: (h,k) ne moze biti bilo koji element u [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Mora biti "dovoljno malen", tj. takav da (x+h,y+k) ne ispadne iz A. Drugi tipfeler je taj sto funkcija S ne moze biti definirana na nekoj okolini (0,0) samo zato sto je A otvoren. Moze biti definirana tamo gdje je f definirana, tj. na nekoj okolini od (x,y) iz A (s obzirom da njih fiksiramo) td. (x+h,y+h) ne ispadaju iz te okoline.
| student_92 (napisa): | Teorem [tex]15.10[/tex] (Schwarz).
Može li mi netko objasniti smisao definiranja funkcije [tex]S(h, k)[/tex] te što ona predstavlja? |
Mozes ju interpretirati kao mjeru odstupanja funkcije f od bilinearne funkcije. Dokaz upravo i analizira tu situaciju, tj. prvo fiksira drugu varijablu i ispituje linearnost prve, a zatim fiksira prvu varijablu i ispituje linearnost druge.
Dva tipfelera u prvom dijelu dokaza: (h,k) ne moze biti bilo koji element u [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Mora biti "dovoljno malen", tj. takav da (x+h,y+k) ne ispadne iz A. Drugi tipfeler je taj sto funkcija S ne moze biti definirana na nekoj okolini (0,0) samo zato sto je A otvoren. Moze biti definirana tamo gdje je f definirana, tj. na nekoj okolini od (x,y) iz A (s obzirom da njih fiksiramo) td. (x+h,y+h) ne ispadaju iz te okoline.
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
frutabella
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
|
|
| [Vrh] |
|
Hubert Cumberdale
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 11. 2011. (11:43:04)
Postovi: (24)16
Spol:
|
| Postano: 13:19 sub, 22. 12. 2012 Naslov: |
|
|
|
Par pitanja! :(
1. Lema 11.8, nije mi jasan ovaj prelazak s treće na četvrtu nejednadžbu, kako se to dobije?
2. Teorem 14.4, zadnja nejednadžba, otkuda slijede nejednakosti? Što je zapravo taj integral? I ne bi li zadnja nejednadžba trebala slijediti iz pretpostavke ograničenosti diferencijala, zar možemo ograničiti i integral ograničene funkcije? Tu sam potpuno izgubljena... :/
3. Samo kratko, u Korolaru 15.2., ne bi li pretpostavka trebala biti da je A iz [tex]R^n[/tex], a ne kako je tamo napisano iz [tex]R^m[/tex]?
Puno hvala unaprijed! :D
Par pitanja! 
1. Lema 11.8, nije mi jasan ovaj prelazak s treće na četvrtu nejednadžbu, kako se to dobije?
2. Teorem 14.4, zadnja nejednadžba, otkuda slijede nejednakosti? Što je zapravo taj integral? I ne bi li zadnja nejednadžba trebala slijediti iz pretpostavke ograničenosti diferencijala, zar možemo ograničiti i integral ograničene funkcije? Tu sam potpuno izgubljena...
3. Samo kratko, u Korolaru 15.2., ne bi li pretpostavka trebala biti da je A iz [tex]R^n[/tex], a ne kako je tamo napisano iz [tex]R^m[/tex]?
Puno hvala unaprijed! 
|
|
| [Vrh] |
|
Loo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07)
Postovi: (D0)16
Spol:
|
| Postano: 15:19 sub, 22. 12. 2012 Naslov: |
|
|
|
lema (nadam se da misliš na 3. i 4. [u]jednadžbu[/u] :) ):
[tex]\displaystyle\lim_{x\to c} \frac {(f(x)-f(c)-L(x-c)|e_i)}{||x-c||}=\displaystyle\lim_{x\to c} \frac {(f(x)|e_i)-(f(c)|e_i)-(L(x-c)|e_i)}{||x-c||}[/tex] (zbog linearnosti skalarnog produkta)
sada je [tex](f(x)|e_i)=f_i(x), (f(c)|e_i)=f_i(c)[/tex]
i sjeti se linearne, vrijedi [tex](L(x-c)|e_i)=(x-c|L^*ei)[/tex], no budući da je [tex]L\in L(R^n, R^m), L^*=L^T[/tex], pa je [tex](L(x-c)|e_i)=(x-c|L^Te_i)[/tex]
također zbog komutativnosti skalarnog produkta nad [tex]R^n[/tex] slijedi [tex](L(x-c)|e_i)=(L^Te_i| x-c)[/tex]
lema (nadam se da misliš na 3. i 4. jednadžbu  ):
[tex]\displaystyle\lim_{x\to c} \frac {(f(x)-f(c)-L(x-c)|e_i)}{||x-c||}=\displaystyle\lim_{x\to c} \frac {(f(x)|e_i)-(f(c)|e_i)-(L(x-c)|e_i)}{||x-c||}[/tex] (zbog linearnosti skalarnog produkta)
sada je [tex](f(x)|e_i)=f_i(x), (f(c)|e_i)=f_i(c)[/tex]
i sjeti se linearne, vrijedi [tex](L(x-c)|e_i)=(x-c|L^*ei)[/tex], no budući da je [tex]L\in L(R^n, R^m), L^*=L^T[/tex], pa je [tex](L(x-c)|e_i)=(x-c|L^Te_i)[/tex]
također zbog komutativnosti skalarnog produkta nad [tex]R^n[/tex] slijedi [tex](L(x-c)|e_i)=(L^Te_i| x-c)[/tex]
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
| Postano: 15:28 sub, 22. 12. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="Hubert Cumberdale"]Par pitanja! :(
1. Lema 11.8, nije mi jasan ovaj prelazak s treće na četvrtu nejednadžbu, kako se to dobije?[/quote]
Kada na funkciju f skalarno djelujes vektorom [tex]e_i[/tex], onda ti ostaje samo i-ta koordinata te funkcije, tj. [tex]f_i[/tex]; to objasnjava zasto je indeks i uz f(x) i f(c). Transponirana matrica se pojavila zbog sljedeceg: kako je (La|b)=(b|La) u realnom vektorskom prostoru, onda je (b|La)=(L*b|a), gdje je L* operator (matrica) adjungiran operatoru L, tj. ako L zapisujemo u paru standardnih baza, onda L* dobivamo iz L tako sto matricu od L konjugiramo i transponiramo. S obzirom da smo u realnom prostoru, konjugiranje nista ne radi pa se sve svodi na transponiranje, tj. L*=L^T.
[quote]2. Teorem 14.4, zadnja nejednadžba, otkuda slijede nejednakosti? Što je zapravo taj integral? I ne bi li zadnja nejednadžba trebala slijediti iz pretpostavke ograničenosti diferencijala, zar možemo ograničiti i integral ograničene funkcije? Tu sam potpuno izgubljena... :/[/quote]
Prva nejednakost je jednakost (tako da, ako i stoji simbol za nejednakost, to ne mijenja nista). Druga nejednakost sljedi iz nejednakosti [tex]|\int_a^b f(x)dx|\leq\int_a^b|f(x)|dx[/tex]. Treca nejednakost slijedi iz toga sto je diferencijal ogranicen, a integral monoton linearni funkcional pa u iducem integralu diferencijal mozes zamijeniti nekom pozitivnom konstantom M (s tim da je ispred integrala [tex]\leq[/tex] jer diferencijal mozda nikada ne dostigne M, ali sigurno ga ne prestigne), a ||y-x|| ne ovisi o [tex]\lambda[/tex] pa to mozes izbaciti van iz integrala.
[quote]3. Samo kratko, u Korolaru 15.2., ne bi li pretpostavka trebala biti da je A iz [tex]R^n[/tex], a ne kako je tamo napisano iz [tex]R^m[/tex]?[/quote]
Da, sve funkcionira ako je A iz [tex]\mathbb{R}^n[/tex] (iako sam korolar nije neistinit; samo pokriva puno manje slucajeva :))
Inace, kao drugu literaturu (a mozda i prvu!) preporucam da pogledate http://www.math.hr/~ungar/NASTAVA/MA/Analiza3.pdf
Neke stvari su detaljnije zapisane, a i ima puno manje tipfelera.
| Hubert Cumberdale (napisa): | Par pitanja!
1. Lema 11.8, nije mi jasan ovaj prelazak s treće na četvrtu nejednadžbu, kako se to dobije? |
Kada na funkciju f skalarno djelujes vektorom [tex]e_i[/tex], onda ti ostaje samo i-ta koordinata te funkcije, tj. [tex]f_i[/tex]; to objasnjava zasto je indeks i uz f(x) i f(c). Transponirana matrica se pojavila zbog sljedeceg: kako je (La|b)=(b|La) u realnom vektorskom prostoru, onda je (b|La)=(L*b|a), gdje je L* operator (matrica) adjungiran operatoru L, tj. ako L zapisujemo u paru standardnih baza, onda L* dobivamo iz L tako sto matricu od L konjugiramo i transponiramo. S obzirom da smo u realnom prostoru, konjugiranje nista ne radi pa se sve svodi na transponiranje, tj. L*=L^T.
| Citat: | | 2. Teorem 14.4, zadnja nejednadžba, otkuda slijede nejednakosti? Što je zapravo taj integral? I ne bi li zadnja nejednadžba trebala slijediti iz pretpostavke ograničenosti diferencijala, zar možemo ograničiti i integral ograničene funkcije? Tu sam potpuno izgubljena... |
Prva nejednakost je jednakost (tako da, ako i stoji simbol za nejednakost, to ne mijenja nista). Druga nejednakost sljedi iz nejednakosti [tex]|\int_a^b f(x)dx|\leq\int_a^b|f(x)|dx[/tex]. Treca nejednakost slijedi iz toga sto je diferencijal ogranicen, a integral monoton linearni funkcional pa u iducem integralu diferencijal mozes zamijeniti nekom pozitivnom konstantom M (s tim da je ispred integrala [tex]\leq[/tex] jer diferencijal mozda nikada ne dostigne M, ali sigurno ga ne prestigne), a ||y-x|| ne ovisi o [tex]\lambda[/tex] pa to mozes izbaciti van iz integrala.
| Citat: | | 3. Samo kratko, u Korolaru 15.2., ne bi li pretpostavka trebala biti da je A iz [tex]R^n[/tex], a ne kako je tamo napisano iz [tex]R^m[/tex]? |
Da, sve funkcionira ako je A iz [tex]\mathbb{R}^n[/tex] (iako sam korolar nije neistinit; samo pokriva puno manje slucajeva )
Inace, kao drugu literaturu (a mozda i prvu!) preporucam da pogledate http://www.math.hr/~ungar/NASTAVA/MA/Analiza3.pdf
Neke stvari su detaljnije zapisane, a i ima puno manje tipfelera.
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
Hubert Cumberdale
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 11. 2011. (11:43:04)
Postovi: (24)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
| Postano: 16:46 sub, 22. 12. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="Hubert Cumberdale"]Puno ti hvala, sve je puno jasnije! :) Samo me još malo muči taj integral diferencijala...
Možeš li molim te to samo malo raspisati? Kako se integrira i može li se uopće integrirati unatoč normi? Nekako mi se čini da bismo morali na kraju imati ||Df(x)(y-x)||, jer tek kada to imamo iz pretpostavke teorema slijedi da je to manje od M||y-x||, a meni nikako nije jasno kako iz ovog integrala doći do ||Df(x)(y-x)||. :/
Još jednom, puno hvala![/quote]
Unutar integrala imas [tex]||Df((1-\lambda)x+\lambda y)(y-x)||[/tex]. Neka je A diferencijal od f u tocki [tex](1-\lambda)x+\lambda y[/tex], tj. [tex]A=Df((1-\lambda)x+\lambda y)[/tex]. Sada imas
[dtex]\int_0^1||Df((1-\lambda)x+\lambda y)(y-x)||d\lambda = \int_0^1 ||A(y-x)||d\lambda \leq \int_0^1 M||y-x||d\lambda=M||y-x||\int_0^1 d\lambda.[/dtex]
U pretpostavci zapravo imas da je [tex]||Df(x)||\leq M[/tex], za svaki x iz domene od f, no kako za svaki linearni operator A medju konacnodimenzionalnim vektorskim prostorima vrijedi [tex]||Ax||\leq ||A||\cdot ||x||[/tex], gdje je "srednja" norma operatorska, a "zadnja" norma euklidska, onda to automatski povlaci da je [tex]||Df(x)(y)||\leq ||Df(x)||\cdot ||y||\leq M||y||[/tex].
| Hubert Cumberdale (napisa): | Puno ti hvala, sve je puno jasnije! Samo me još malo muči taj integral diferencijala...
Možeš li molim te to samo malo raspisati? Kako se integrira i može li se uopće integrirati unatoč normi? Nekako mi se čini da bismo morali na kraju imati ||Df(x)(y-x)||, jer tek kada to imamo iz pretpostavke teorema slijedi da je to manje od M||y-x||, a meni nikako nije jasno kako iz ovog integrala doći do ||Df(x)(y-x)||.
Još jednom, puno hvala! |
Unutar integrala imas [tex]||Df((1-\lambda)x+\lambda y)(y-x)||[/tex]. Neka je A diferencijal od f u tocki [tex](1-\lambda)x+\lambda y[/tex], tj. [tex]A=Df((1-\lambda)x+\lambda y)[/tex]. Sada imas
[dtex]\int_0^1||Df((1-\lambda)x+\lambda y)(y-x)||d\lambda = \int_0^1 ||A(y-x)||d\lambda \leq \int_0^1 M||y-x||d\lambda=M||y-x||\int_0^1 d\lambda.[/dtex]
U pretpostavci zapravo imas da je [tex]||Df(x)||\leq M[/tex], za svaki x iz domene od f, no kako za svaki linearni operator A medju konacnodimenzionalnim vektorskim prostorima vrijedi [tex]||Ax||\leq ||A||\cdot ||x||[/tex], gdje je "srednja" norma operatorska, a "zadnja" norma euklidska, onda to automatski povlaci da je [tex]||Df(x)(y)||\leq ||Df(x)||\cdot ||y||\leq M||y||[/tex].
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
Hubert Cumberdale
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 11. 2011. (11:43:04)
Postovi: (24)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
|
