|
Jedno od češćih pitanja koja se studentima na difrafu pojavljuju, čini se, su vezani upravo uz zadatke s ovog linka: [url=http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/vjezbe7.pdf]LINK[/url]
Dana li nam je neka vektorska funkcija s više varijabli (višedimenzionalna varijabla), diferencijal znamo odrediti: provjerimo koje su parcijalne derivacije funkcije i sastavimo Jacobijevu matricu. :)
No, što sa zadacima gdje se u nekom njenom dijelu pojavljuje skalarni produkt (ili pak norma, tj. korijen iz skalarnog produkta vektora sa samim sobom)? Kako "direktno" odrediti diferencijal takve funkcije i je li to moguće?
Sigurno, jedan mogući način da se riješi takav zadatak jest - direktno! Naime, znamo li da je [tex](x|y)=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n=\displaystyle \sum_{i=1}^n x_iy_i[/tex] i uvrstimo li to u izraz funkcije, riješili smo se skalarnog produkta i sada znamo odrediti sve potrebne parcijalne derivacije.
No, drugi način, vjerojatno i jednostavniji, jest preko propozicije [tex]1.1[/tex] s gore danog linka. Naoko jednostavan i prihvatljiv rezultat. No, kako ga konkretno primijeniti u zadacima?
Nedavno ponukan da riješim jedan takav zadatak, a mislim da bi bilo korisno da na vidljivom mjestu stoji i detaljnije raspisano rješenje, prezentiram vam rješenje jednog takvog zadatka. :)
Riječ je o zadatku [tex]1.5[/tex] s linka, a tekst zadatka jest:
[b]Zadatak[/b] [tex]1.5[/tex]: Neka je [tex]a \in \mathbb{R}^n[/tex]. Dokažite da je [tex]f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n[/tex] zadana s [tex]f(x,y)=e^{(y|a)}x[/tex] diferencijabilna i izračunajte [tex]Df(0,a)(1,1,...,1)[/tex].
Zadatak ću riješiti na dva načina.
Prvi će biti preko propozicije [tex]1.1[/tex] s linka te raznih rezultata (teorema, propozicija) s predavanja koja govore o diferencijalima produkta i kompozicije funkcija (te i ostalog, čega mi već zatreba) te ću tu obratiti posebnu pažnju i dati više obrazloženja.
Drugi način će biti "direktno", kako sam gore već spomenuo. Tu ću samo malo obrazložiti što mi znači ovo "direktno" i predstaviti gotovo rješenje koje se podudara s onim iz prvog načina.
Pa, krenimo! :)
[u][b]Prvi način:[/b][/u] Dakle, [tex]f(x,y)=e^{(y|a)}x=(f_1 \circ f_2)(x,y) \cdot f_3(x,y)=((f_1 \circ f_2) \cdot f_3)(x,y)[/tex], pri čemu je:
[tex]f_1:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_1(c)=e^c[/tex]
[tex]f_2:\mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{R}, f_2(x,y)=(y|a)[/tex]
[tex]f_3:\mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{R}^n, f_3(x,y)=x[/tex]
Sada primijetimo da je:
[tex]Df(x,y)(h)=D(f_1 \circ f_2)(x,y)(h) f_3(x,y) + (f_1 \circ f_2)(x,y) Df_3(x,y)(h) = Df_1(f_2(x,y)) Df_2(x,y)(h) f_3(x,y) + f_1(f_2(x,y)) Df_3(x,y)(h)[/tex]
Ove jednakosti slijede iz rezultata s predavanja (diferencijali produkta, kompozicije i ostalog). Ako treba, dobro proučite što sam raspisao i uz što mi se veže vektor [tex]h[/tex].
OK, sada se zadatak svodi na traženje diferencijala triju pomoćnih funkcija pa ćemo rezultate direktno uvrstiti u gornju formulu.
Prvo [tex]f_1[/tex]. Realna funkcija realne varijable, dakle obična derivacija iz kolegija ma2, pa je [tex]Df_1(c)=f_1'(c)=e^c[/tex]. Olakšica!
E, za [tex]f_2[/tex] nam treba ona propozicija. Da bude jasnije:
[tex]f_2(x,y)=(y|a)=(g(x,y)|h(x,y))[/tex]
gdje su nam [tex]g,h:\mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{R}^n[/tex] dani s: [tex]g(x,y)=y, h(x,y)=a[/tex].
Sada je po propoziciji s vježbi:
[tex]Df_2(x,y)(h)=(Dg(x,y)(h)|h(x,y))+(g(x,y)|Dh(x,y)(h))[/tex]
Sada treba primijetiti:
[tex]Dg(x,y)=\begin{bmatrix} 0 & I \end{bmatrix}[/tex] (matrica je dimenzije [tex]n \times 2n[/tex], kako imamo [tex]n[/tex] komponentnih funkcija i [tex]2n[/tex] varijabli u argumentu). Naime, kako je [tex]g(x,y)=(y_1,y_2,...,y_n)[/tex], možemo raditi parcijalne derivacije po svakoj komponentnoj funkciji. Pošto se varijable [tex]x_1,x_2,...,x_n[/tex] nigdje ne pojavljuju, u gornjoj blok matrici [tex]Dg(x,y)[/tex] prvih [tex]n[/tex] stupaca jednaki su nuli. Dalje preostaju derivacije po [tex]y_i[/tex], a primjećujemo da se u [tex]i[/tex]-tom retku pojavljuje jedinica točno u [tex]n+i[/tex]-tom stupcu. Stoga je drugi dio blok matrice zapravo jedinična matrica.
Nadalje, [tex]Dh(x,y)=0[/tex] (nul-matrica) jer je [tex]h[/tex] konstantna funkcija.
Sada uvrštavamo:
[tex]Df_2(x,y)(h)=(\begin{bmatrix} 0 & I \end{bmatrix}(h) | a) + (y | 0(h)) = ( (h_{n+1},h_{n+2},...,h_{2n}) | (a_1, a_2,..., a_n) ) + (y | 0) = h_{n+1}a_1 + h_{n+2}a_2 + ... + h_{2n}a_n = \displaystyle \sum_{i=1}^n h_{n+i}a_i[/tex]
Eto, napokon gotovi s diferencijalom gdje se nalazi skalarni produkt! :D
Još preostaje diferencijal od [tex]f_3[/tex] koji je poprilično sličan diferencijalu od [tex]g[/tex]:
[tex]Df_3(x,y)=\begin{bmatrix} I & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Sada to uvrstimo u formulu za [tex]Df(x,y)[/tex]:
[tex]Df(x,y)(h)= Df_1(f_2(x,y)) Df_2(x,y)(h) f_3(x,y) + f_1(f_2(x,y)) Df_3(x,y)(h) =[/tex]
[tex]e^{(y|a)} \displaystyle \sum_{i=1}^n h_{n+i}a_i \cdot x + e^{(y|a)} \begin{bmatrix} I & 0 \end{bmatrix}(h) = e^{(y|a)} \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n h_{n+i}a_i (x_1,x_2,...,x_n) + (h_1, h_2, ..., h_n) \right) =[/tex]
[tex]e^{(y|a)} \left( \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n h_{n+i}a_i \right)x_1+h_1, \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n h_{n+i}a_i \right)x_2+h_2,..., \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n h_{n+i}a_i \right)x_n+h_n \right)[/tex]
I gotovo! :)
Za kraj, da izračunamo koliko je [tex]Df(0,a)(1,1,...,1)[/tex], odnosno ako je [tex]x=0, y=a, h=(1,1,...,1)[/tex]:
[tex]Df(0,a)(1,1,...,1)=e^{(a|a)} \left( \left( \sum_{i=1}^n 1 \cdot a_i \right) \cdot 0 + 1, \left( \sum_{i=1}^n 1 \cdot a_i \right) \cdot 0 + 1, ..., \left( \sum_{i=1}^n 1 \cdot a_i \right) \cdot 0 + 1 \right) = e^{\left\| a \right\|^2}(1,1,...,1)[/tex]
I gotov zadatak! :D
[u][b]Drugi način:[/b][/u] Iskoristimo činjenicu da je [tex](y|a)=y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n[/tex] i uvrstimo to u izraz funkcije:
[tex]f(x,y)=e^{(y|a)}x=(e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_1,e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_2,...,e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_n)[/tex]
Eto, već na početku smo se riješili skalarnog produkta! :D
Parcijalne derivacije sada je lakše izračunati. Primjerice:
[tex]\frac{\partial f}{\partial x_1}=(e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n},0,0,...,0)[/tex]
Ili:
[tex]\frac{\partial f}{\partial y_1}=(a_1e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_1,a_1e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_2,...,a_1e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_n)[/tex]
Preostale parcijalne derivacije po [tex]x_i[/tex] i [tex]y_i[/tex] slijede analogno.
Sada je Jacobijeva matrica oblika:
[tex]Df(x,y)=\begin{bmatrix}
e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n} & 0 & 0 & ... & 0 & a_1e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_1 & a_2e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_1 & ... & a_ne^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_1\\
0 & e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n} & 0 & ... & 0 & a_1e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_2 & a_2e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_2 & ... & a_ne^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_2\\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & 0 & ... & e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n} & a_1e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_n & a_2e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_n & ... & a_ne^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_n\\
\end{bmatrix}[/tex]
Pojednostavnimo tako da iz svakog elementa matrice izlučimo [tex]e^{y_1a_1+y_2a_2+....+y_na_n}=e^{(y|a)}[/tex] i dobivamo:
[tex]Df(x,y)=e^{(y|a)} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & ... & 0 & a_1x_1 & a_2x_1 & ... & a_nx_1 \\
0 & 1 & 0 & ... & 0 & a_1x_2 & a_2x_2 & ... & a_nx_2 \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & 0 & ... & 1 & a_1x_n & a_2x_n & ... & a_nx_n \\
\end{bmatrix}[/tex]
I jedino preostalo jest odrediti [tex]Df(x,y)(h)[/tex], što je produkt upravo raspisane matrice sa stupčanom matricom [tex]h=\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \\ ... \\ h_{2n} \end{bmatrix}[/tex]. Produkt toga je zapravo matrica dimenzija [tex]n \times 1[/tex], što možemo poistovjetiti s dobivenim vektor-retkom od [tex]n[/tex] komponenti dobivenim prvim načinom rješavanja.
Sada kada sam prezentirao oba načina, prepuštam vama da odaberete koji vam se način više sviđa i koji vam bolje odgovara. :) Nije loše znati oba načina rješavanja ako naiđete na kakva ograničenja zbog kojeg jedan od opisanih načina neće biti moguće provesti ili pak neće biti dozvoljen kao točan postupak.
U svakom slučaju, moram napomenuti da prvi način rješavanja ne daje direktan oblik diferencijala u točki [tex](x,y)[/tex], tj. [tex]Df(x,y)[/tex], već diferencijal u točki [tex](x,y)[/tex] u smjeru vektora [tex]h[/tex], odnosno [tex]Df(x,y)(h)[/tex]. Drugi, pak, način daje i sam oblik diferencijala u točki.
A što se tiče ostalih zadataka s linka? :) To ostavljam čitateljima za vježbu! ;)
Šalu na stranu, preporučam da i njih dobro provježbate i proučite tako da dobro savladate ovakav tip zadataka.
Uz prvi link koji sam stavio, na webu (točnije, na ovom dijelu stranice: [url=http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/zadace_dir.html]LINK[/url]) možete pronaći još poneki zadatak ovakvog tipa. Točnije, ovdje: [url=http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2006-07/zadaca3.pdf]LINK[/url], i ovdje: [url=http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2007-08/zadaca_df.pdf]LINK[/url].
Uživajte! :)
Jedno od češćih pitanja koja se studentima na difrafu pojavljuju, čini se, su vezani upravo uz zadatke s ovog linka: LINK
Dana li nam je neka vektorska funkcija s više varijabli (višedimenzionalna varijabla), diferencijal znamo odrediti: provjerimo koje su parcijalne derivacije funkcije i sastavimo Jacobijevu matricu. 
No, što sa zadacima gdje se u nekom njenom dijelu pojavljuje skalarni produkt (ili pak norma, tj. korijen iz skalarnog produkta vektora sa samim sobom)? Kako "direktno" odrediti diferencijal takve funkcije i je li to moguće?
Sigurno, jedan mogući način da se riješi takav zadatak jest - direktno! Naime, znamo li da je [tex](x|y)=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n=\displaystyle \sum_{i=1}^n x_iy_i[/tex] i uvrstimo li to u izraz funkcije, riješili smo se skalarnog produkta i sada znamo odrediti sve potrebne parcijalne derivacije.
No, drugi način, vjerojatno i jednostavniji, jest preko propozicije [tex]1.1[/tex] s gore danog linka. Naoko jednostavan i prihvatljiv rezultat. No, kako ga konkretno primijeniti u zadacima?
Nedavno ponukan da riješim jedan takav zadatak, a mislim da bi bilo korisno da na vidljivom mjestu stoji i detaljnije raspisano rješenje, prezentiram vam rješenje jednog takvog zadatka.
Riječ je o zadatku [tex]1.5[/tex] s linka, a tekst zadatka jest:
Zadatak [tex]1.5[/tex]: Neka je [tex]a \in \mathbb{R}^n[/tex]. Dokažite da je [tex]f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n[/tex] zadana s [tex]f(x,y)=e^{(y|a)}x[/tex] diferencijabilna i izračunajte [tex]Df(0,a)(1,1,...,1)[/tex].
Zadatak ću riješiti na dva načina.
Prvi će biti preko propozicije [tex]1.1[/tex] s linka te raznih rezultata (teorema, propozicija) s predavanja koja govore o diferencijalima produkta i kompozicije funkcija (te i ostalog, čega mi već zatreba) te ću tu obratiti posebnu pažnju i dati više obrazloženja.
Drugi način će biti "direktno", kako sam gore već spomenuo. Tu ću samo malo obrazložiti što mi znači ovo "direktno" i predstaviti gotovo rješenje koje se podudara s onim iz prvog načina.
Pa, krenimo!
Prvi način: Dakle, [tex]f(x,y)=e^{(y|a)}x=(f_1 \circ f_2)(x,y) \cdot f_3(x,y)=((f_1 \circ f_2) \cdot f_3)(x,y)[/tex], pri čemu je:
[tex]f_1:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_1(c)=e^c[/tex]
[tex]f_2:\mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{R}, f_2(x,y)=(y|a)[/tex]
[tex]f_3:\mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{R}^n, f_3(x,y)=x[/tex]
Sada primijetimo da je:
[tex]Df(x,y)(h)=D(f_1 \circ f_2)(x,y)(h) f_3(x,y) + (f_1 \circ f_2)(x,y) Df_3(x,y)(h) = Df_1(f_2(x,y)) Df_2(x,y)(h) f_3(x,y) + f_1(f_2(x,y)) Df_3(x,y)(h)[/tex]
Ove jednakosti slijede iz rezultata s predavanja (diferencijali produkta, kompozicije i ostalog). Ako treba, dobro proučite što sam raspisao i uz što mi se veže vektor [tex]h[/tex].
OK, sada se zadatak svodi na traženje diferencijala triju pomoćnih funkcija pa ćemo rezultate direktno uvrstiti u gornju formulu.
Prvo [tex]f_1[/tex]. Realna funkcija realne varijable, dakle obična derivacija iz kolegija ma2, pa je [tex]Df_1(c)=f_1'(c)=e^c[/tex]. Olakšica!
E, za [tex]f_2[/tex] nam treba ona propozicija. Da bude jasnije:
[tex]f_2(x,y)=(y|a)=(g(x,y)|h(x,y))[/tex]
gdje su nam [tex]g,h:\mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{R}^n[/tex] dani s: [tex]g(x,y)=y, h(x,y)=a[/tex].
Sada je po propoziciji s vježbi:
[tex]Df_2(x,y)(h)=(Dg(x,y)(h)|h(x,y))+(g(x,y)|Dh(x,y)(h))[/tex]
Sada treba primijetiti:
[tex]Dg(x,y)=\begin{bmatrix} 0 & I \end{bmatrix}[/tex] (matrica je dimenzije [tex]n \times 2n[/tex], kako imamo [tex]n[/tex] komponentnih funkcija i [tex]2n[/tex] varijabli u argumentu). Naime, kako je [tex]g(x,y)=(y_1,y_2,...,y_n)[/tex], možemo raditi parcijalne derivacije po svakoj komponentnoj funkciji. Pošto se varijable [tex]x_1,x_2,...,x_n[/tex] nigdje ne pojavljuju, u gornjoj blok matrici [tex]Dg(x,y)[/tex] prvih [tex]n[/tex] stupaca jednaki su nuli. Dalje preostaju derivacije po [tex]y_i[/tex], a primjećujemo da se u [tex]i[/tex]-tom retku pojavljuje jedinica točno u [tex]n+i[/tex]-tom stupcu. Stoga je drugi dio blok matrice zapravo jedinična matrica.
Nadalje, [tex]Dh(x,y)=0[/tex] (nul-matrica) jer je [tex]h[/tex] konstantna funkcija.
Sada uvrštavamo:
[tex]Df_2(x,y)(h)=(\begin{bmatrix} 0 & I \end{bmatrix}(h) | a) + (y | 0(h)) = ( (h_{n+1},h_{n+2},...,h_{2n}) | (a_1, a_2,..., a_n) ) + (y | 0) = h_{n+1}a_1 + h_{n+2}a_2 + ... + h_{2n}a_n = \displaystyle \sum_{i=1}^n h_{n+i}a_i[/tex]
Eto, napokon gotovi s diferencijalom gdje se nalazi skalarni produkt! 
Još preostaje diferencijal od [tex]f_3[/tex] koji je poprilično sličan diferencijalu od [tex]g[/tex]:
[tex]Df_3(x,y)=\begin{bmatrix} I & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Sada to uvrstimo u formulu za [tex]Df(x,y)[/tex]:
[tex]Df(x,y)(h)= Df_1(f_2(x,y)) Df_2(x,y)(h) f_3(x,y) + f_1(f_2(x,y)) Df_3(x,y)(h) =[/tex]
[tex]e^{(y|a)} \displaystyle \sum_{i=1}^n h_{n+i}a_i \cdot x + e^{(y|a)} \begin{bmatrix} I & 0 \end{bmatrix}(h) = e^{(y|a)} \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n h_{n+i}a_i (x_1,x_2,...,x_n) + (h_1, h_2, ..., h_n) \right) =[/tex]
[tex]e^{(y|a)} \left( \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n h_{n+i}a_i \right)x_1+h_1, \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n h_{n+i}a_i \right)x_2+h_2,..., \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n h_{n+i}a_i \right)x_n+h_n \right)[/tex]
I gotovo!
Za kraj, da izračunamo koliko je [tex]Df(0,a)(1,1,...,1)[/tex], odnosno ako je [tex]x=0, y=a, h=(1,1,...,1)[/tex]:
[tex]Df(0,a)(1,1,...,1)=e^{(a|a)} \left( \left( \sum_{i=1}^n 1 \cdot a_i \right) \cdot 0 + 1, \left( \sum_{i=1}^n 1 \cdot a_i \right) \cdot 0 + 1, ..., \left( \sum_{i=1}^n 1 \cdot a_i \right) \cdot 0 + 1 \right) = e^{\left\| a \right\|^2}(1,1,...,1)[/tex]
I gotov zadatak!
Drugi način: Iskoristimo činjenicu da je [tex](y|a)=y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n[/tex] i uvrstimo to u izraz funkcije:
[tex]f(x,y)=e^{(y|a)}x=(e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_1,e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_2,...,e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_n)[/tex]
Eto, već na početku smo se riješili skalarnog produkta!
Parcijalne derivacije sada je lakše izračunati. Primjerice:
[tex]\frac{\partial f}{\partial x_1}=(e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n},0,0,...,0)[/tex]
Ili:
[tex]\frac{\partial f}{\partial y_1}=(a_1e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_1,a_1e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_2,...,a_1e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_n)[/tex]
Preostale parcijalne derivacije po [tex]x_i[/tex] i [tex]y_i[/tex] slijede analogno.
Sada je Jacobijeva matrica oblika:
[tex]Df(x,y)=\begin{bmatrix}
e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n} & 0 & 0 & ... & 0 & a_1e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_1 & a_2e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_1 & ... & a_ne^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_1\\
0 & e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n} & 0 & ... & 0 & a_1e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_2 & a_2e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_2 & ... & a_ne^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_2\\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & 0 & ... & e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n} & a_1e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_n & a_2e^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_n & ... & a_ne^{y_1a_1+y_2a_2+...+y_na_n}x_n\\
\end{bmatrix}[/tex]
Pojednostavnimo tako da iz svakog elementa matrice izlučimo [tex]e^{y_1a_1+y_2a_2+....+y_na_n}=e^{(y|a)}[/tex] i dobivamo:
[tex]Df(x,y)=e^{(y|a)} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & ... & 0 & a_1x_1 & a_2x_1 & ... & a_nx_1 \\
0 & 1 & 0 & ... & 0 & a_1x_2 & a_2x_2 & ... & a_nx_2 \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & 0 & ... & 1 & a_1x_n & a_2x_n & ... & a_nx_n \\
\end{bmatrix}[/tex]
I jedino preostalo jest odrediti [tex]Df(x,y)(h)[/tex], što je produkt upravo raspisane matrice sa stupčanom matricom [tex]h=\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \\ ... \\ h_{2n} \end{bmatrix}[/tex]. Produkt toga je zapravo matrica dimenzija [tex]n \times 1[/tex], što možemo poistovjetiti s dobivenim vektor-retkom od [tex]n[/tex] komponenti dobivenim prvim načinom rješavanja.
Sada kada sam prezentirao oba načina, prepuštam vama da odaberete koji vam se način više sviđa i koji vam bolje odgovara. Nije loše znati oba načina rješavanja ako naiđete na kakva ograničenja zbog kojeg jedan od opisanih načina neće biti moguće provesti ili pak neće biti dozvoljen kao točan postupak.
U svakom slučaju, moram napomenuti da prvi način rješavanja ne daje direktan oblik diferencijala u točki [tex](x,y)[/tex], tj. [tex]Df(x,y)[/tex], već diferencijal u točki [tex](x,y)[/tex] u smjeru vektora [tex]h[/tex], odnosno [tex]Df(x,y)(h)[/tex]. Drugi, pak, način daje i sam oblik diferencijala u točki.
A što se tiče ostalih zadataka s linka? To ostavljam čitateljima za vježbu! 
Šalu na stranu, preporučam da i njih dobro provježbate i proučite tako da dobro savladate ovakav tip zadataka.
Uz prvi link koji sam stavio, na webu (točnije, na ovom dijelu stranice: LINK) možete pronaći još poneki zadatak ovakvog tipa. Točnije, ovdje: LINK, i ovdje: LINK.
Uživajte!
Zadnja promjena: Phoenix; 11:54 pet, 4. 1. 2013; ukupno mijenjano 1 put.
|
