5. zadaca

[satja]

[kikzmyster]

E hvala...
I jos samo ovo.. zanima me kod zadataka kao 28., kako se dokazuje da smo nasli bas sve takve funkcije? Npr. bas u 28., f(x) = ax+b prvo pada na pamet, ali kako bi (konkretno u ovom zadatku) trazio daljnja rjesenja, ako ih ima, i (opcenito) kako bi dokazao da su to jedina rjesenja?

[satja]

Pa isto kao kad rješavaš jednadžbu: kad pogodiš rješenje, ti si našao jedno, ali nemaš pojma kako bi dokazao da nema drugih osim ako baš ne ideš rješavati jednadžbu. Isto je i s funkcijama: ako ja nizom implikacija pokažem da ako funkcija zadovoljava jednadžbu, onda je to linearna funkcija - time sam gotov, jer onda nema drugih. Dakle, treba krenuti od jednadžbe, a ne od rješenja.

Što se tiče 28., ja sam ovako razmišljao. Neka je i . Slutim da će cijeli graf biti pravac koji određuju te točke i . Sada koristeći jednadžbu izračunavam , , a također i ... Dokle to ide? Do svih realnih brojeva koji imaju konačan binarni zapis - jer krećem od vrijednosti za i , te ako znam vrijednosti za i , mogu saznati vrijednost za i slično, formalni dokaz toga ostavljam za vježbu a i napisat ću ako bude potrebno. Imamo dakle da za sve konačno zapisane binarne brojeve njihove funkcijske vrijednosti "leže na našem pravcu". Sad za neki broj s beskonačnim binarnim zapisom uzmemo niz brojeva s konačnim binarnim zapisom koji teži u . Sad zbog neprekidnosti, je limes njihovih funkcijskih vrijednosti, i lako se dobije da je i on također na pravcu. Nisam bio formalan, ali mogu dopisati ako treba.

[kikzmyster]

Je li moze samo formalni dokaz za "funkcijske vrijednosti svih konacno zapisanih binarnih brojeva lezi na pravcu odreden tockama (0,a),(1,b)"?

[satja]

Neka je pravac koji prolazi tim točkama. U startu onda imamo da je kao i .

Prvo indukcijom dokazujemo da funkcijske vrijednosti svih prirodnih brojeva "leže na tom pravcu", tj. da vrijedi za svaki . Baza nam je za i . Korak: neka je i za neki . Uvrstimo u jednadžbu , pa dobijemo, i iz toga slijedi , dakle ako tvrdnja vrijedi za i , onda vrijedi i za , indukcija gotova.

Dalje dokazujemo istu stvar za negativne cijele brojeve. Uvrštavanjem dobivamo pa onda .

Sad tvrdim da je za svaki realni broj s konačnim binarnim zapisom. To dokazujem indukcijom po broju njegovih binarnih znamenaka iza decimalne točke. Baza: ako ima znamenaka iza točke onda je to cijeli broj, a za njih smo već dokazali. Korak: neka tvrdnja vrijedi za binarne brojeve s binarnih znamenaka iza točke. Uzmimo broj koji ima binarnih znamenaka iza točke. Uvrstimo . Dobijemo . Pritom sam koristio jer to znam po pretpostavci indukcije (množenjem s 2 se smanjuje broj binarnih znamenaka iza točke). Gotovo!

[tiborr]

može neki hint za 8. pod b i c

[Loo]

b)
[tex] \displaystyle \lim _{x\to 0}\frac {\sin^2x }{\sqrt{1+x \sin x }-\cos x }= \displaystyle \lim _{x\to 0}\frac {\sin^2x \cdot (\sqrt {1+x \sin x }+ \cos x ) }{1+x \sin x - \cos^2x }=
\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac {\sin^2x \cdot (\sqrt {1+x \sin x }+ \cos x ) }{\sin^2x+cos^2x+x \sin x - \cos^2x }
= \displaystyle \lim _{x\to 0}\frac {\sin^2x \cdot (\sqrt {1+x \sin x }+ \cos x ) }{\sin^2x+x \sin x } [/tex]

ajde da baš sve ne otkrijem, sada malo skratiš ove sinuse i onda se čini kao zgodna ideja podijeliti i brojnik i nazivnik s [tex]x[/tex].
(pojavit će se jedan poznati limes)

[hendrix]

Nisam uspio naci negdje na forumu pa molim neki hint za 14. a), zadatak se nalazi ovdje.

edit: Uspio sam, mozda , izgurati nesto preko Teorema o sendvicu. Ako netko ima kakvu stvarno pametnu ideju, pitanje je i dalje otvoreno.

[quark]

Nije dobar link

[hendrix]

Ispravljeno.

[Shirohige]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ma1-zadaca5.pdf

Može li neki hint za 4.a) i 4.b)?

Pod b nemam pojam odkud početi , a pod a sam pokušao svesti na [tex] \displaystyle \lim _ {x \to 0 } \frac{e^x - 1}{x} = 1[/tex], ali mi je na kraju ispalo 0/0... (a trebalo bi m/n ? )

[hendrix]

Pod a) raspisi sve po binomnom poucku, [tex]x-1[/tex] ce ti se skratiti, u brojniku ce ti ostati [tex]m[/tex], a u nazivniku [tex]n[/tex] pribrojnika koji ce svi ici u [tex]1[/tex] jer ce, osim prvog clana, koji je [tex]1[/tex], svi biti oblika [tex]1[/tex] "na nesto".

Pod b) trebas napraviti dvostruku racionalizaciju, pomnozi s jednim razlomkom (s jednakim brojnikom i nazivnikom, naravno) tako da nazivnik nastimas na razliku kubova, te potpuno istu stvar za brojnik (trebas mnoziti s [tex]\frac{1 - x^{1/5} + x^{2/5} - x^{3/5} + x^{4/5}}{1 - x^{1/5} + x^{2/5} - x^{3/5} + x^{4/5}}[/tex]), vjerujem da za kub znas nastimati, uostalom, analogno je. Do kraja je stvar cisto tehnicke prirode, skratis sto se da skratiti i odmah pustis limes.

[Shirohige]