zadatak iz zadace (spektar)

[Gost]

zadatak ide ovako:

Neka je [tex]A \in L(V)[/tex] takav da je [tex]1 \in \sigma(A^2-3A+3I)[/tex]. Pokažite da je tada [tex]1 \in \sigma( (A-2I)^{100} + (A-I)^{50} ) [/tex].

pretpostavljam da treba koristiti Teorem o preslikavanju spektra, koji kaže da je [tex]f ( \sigma (A)) = \sigma (f(A)) [/tex], odnosno ako je [tex]\lambda \in \sigma(A) [/tex], onda je [tex]f(\lambda) \in \sigma(f(A)) [/tex].

ali nikako ne uspijevam namjestiti funkcije u zadatku, pa vas molim za pomoć

hvala!

[vsego]

Znamo da je [tex]1 \in \sigma(A^2 - 3A + 3I)[/tex]. Koristenjem teorema koji si naveo, za funkciju [tex]f(x) = x^2 - 3x + 3[/tex], zakljucujemo da za neku svojstvenu vrijednost [tex]\lambda[/tex] vrijedi da je
[tex]\lambda^2 - 3\lambda + 3 = f(\lambda) = 1 \in \sigma(A^2 - 3A + 3) = \sigma(f(A))[/tex],
tj.
[tex]\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 2)(\lambda - 1) = 0[/tex].
To znaci da je [tex]\lambda \in\{1,2\}[/tex]. Vjerujem da je dalje ocito; ako nije, vrisni.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Gost]

[vsego]

Ne moze. Ovo zavrsno zakljucivanje je navlacenje koje bas i ne drzi vodu. Stvar je puno jednostavnija.

Definiramo drugu funkciju: [tex]g(x) = (x-2)^{100} + (x-1)^{50}[/tex] (to si napravio, ali ja radije definiram preko [tex]x[/tex], pa uvrstim [tex]\lambda[/tex], da izbjegnem konfuziju).

Mi ne znamo niti jednu svojstveno vrijednost, ali znamo da za jednu od njih – oznacenu s [tex]\lambda[/tex] – vrijedi da je [tex]\lambda \in \{1,2\}[/tex]. Prevedeno na hrvatski, to znaci da je
[tex]\lambda = 1[/tex] ili [tex]\lambda = 2[/tex].

No, ako uvrstimo takve [tex]\lambda[/tex] u funkciju [tex]g[/tex], imamo da je
[tex]g(1) = (1-2)^{100} + (x-1)^{50} = (-1)^{100} = 1[/tex] i
[tex]g(2) = (2-2)^{100} + (2-1)^{50} = 1^{50} = 1[/tex].
Dakle, neovisno o vrijednosti te jedne sv. vrijednosti [tex]\lambda[/tex], znamo da je
[tex]f(\lambda) = 1[/tex].

Posto je
[tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex],
to je
[tex]1 = g(\lambda) \in \sigma(g(A))[/tex].

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Gost]

sad je jasnije.

PUNO hvala!

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/zad2_12_13.pdf

može hint za 3. Ne vidim da smo ikakav sličan zad radili na vježbama pa mi treba pomoć Hvala

[lost_soul]

Koristiš teorem o najboljoj aproksimaciji pa je ta aproksimacija zapravo ortogonalna projekcija..
Prvo ortonormiraš bazu {1,t,t^2} i onda primjeniš teorem. Bio je sličan zadatak s matricama

[pedro]

hvalaa

[pedro]

[pcukec]