|
Ovo bi bilo moje rješenje: ravnina mora biti oblika [tex]a(x-1)+b(y-1)+c(z-2)=0[/tex], pri čemu su [tex]a,b,c \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0 \right\}[/tex] proizvoljni. Za [tex]a=b=1[/tex] te [tex]c=\epsilon-1, \epsilon > 0[/tex] proizvoljan, dobivamo:
[tex]x-1+y-1+(\epsilon-1)(z-2)=0[/tex]
odnosno:
[tex]x+y+(\epsilon-1)z=2\epsilon[/tex]
Vrhovi tetraedra su [tex](0,0,0)[/tex] te, uvrštavanjem [tex]x=y=0[/tex], [tex]x=z=0[/tex] i [tex]y=z=0[/tex], [tex]\left( 0,0,\frac{2\epsilon}{\epsilon-1} \right), ( 0, 2\epsilon, 0 ), ( 2\epsilon, 0, 0 )[/tex].
Volumen tetraedra je [tex]\frac{Bv}{3}[/tex], pri čemu je [tex]B[/tex] površina baze, a [tex]v[/tex] njegova visina. No, odaberemo li za bazu, primjerice, pravokutni trokut u [tex]xy[/tex] ravnini, visina je tada dužina od [tex](0,0,0)[/tex] do [tex]\left( 0,0,\frac{2\epsilon}{\epsilon-1} \right)[/tex], pa je traženi volumen (za [tex]\epsilon \in \left< 0,1 \right>[/tex]) jednak: [dtex]\frac{4\epsilon^3}{3(1-\epsilon)}[/dtex] što teži u [tex]0[/tex] kada [tex]\epsilon[/tex] teži u nulu.
Kako [tex]0[/tex] nije moguća vrijednost minimalne vrijednosti volumena, volumen je svakako u intervalu [tex]\left< 0, +\infty \right>[/tex]. Po gore pokazanom, ne postoji ravnina koja zatvara tetraedar najmanjeg volumena.
Slobodno me ispravite ako sam nešto krivo shvatio jer iz nekog razloga imam osjećaj da je ipak trebalo pronaći ravninu koja zatvara tetraedar najmanjeg volumena. No, to ne naslućujem iz teksta zadatka u ovom trenutku. :D
Ako se slučajno traži volumen tetraedra koji se nalazi u prvom oktantu koordinatne ravnine (gdje su sve točke s nenegativnim koordinatama), jasno mi je da minimum postoji i za to sam dobio da je minimum [tex]9[/tex] (slično kao gore, s tim da nisam uvrštavao konkretne [tex]a,b[/tex] i [tex]c[/tex], već sam uz takve konstante odredio vrhove tetraedra, našao formulu za volumen i tražio stacionarne točke preslikavanja koja točki [tex](a,b,c)[/tex] pridružuje samu formulu za volumen). Za takav minimum oblik ravnine bi bio [tex]2(x-1)+2(y-1)+(z-2)=0[/tex], tj. [tex]2x+2y+z=6[/tex].
Ovo bi bilo moje rješenje: ravnina mora biti oblika [tex]a(x-1)+b(y-1)+c(z-2)=0[/tex], pri čemu su [tex]a,b,c \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0 \right\}[/tex] proizvoljni. Za [tex]a=b=1[/tex] te [tex]c=\epsilon-1, \epsilon > 0[/tex] proizvoljan, dobivamo:
[tex]x-1+y-1+(\epsilon-1)(z-2)=0[/tex]
odnosno:
[tex]x+y+(\epsilon-1)z=2\epsilon[/tex]
Vrhovi tetraedra su [tex](0,0,0)[/tex] te, uvrštavanjem [tex]x=y=0[/tex], [tex]x=z=0[/tex] i [tex]y=z=0[/tex], [tex]\left( 0,0,\frac{2\epsilon}{\epsilon-1} \right), ( 0, 2\epsilon, 0 ), ( 2\epsilon, 0, 0 )[/tex].
Volumen tetraedra je [tex]\frac{Bv}{3}[/tex], pri čemu je [tex]B[/tex] površina baze, a [tex]v[/tex] njegova visina. No, odaberemo li za bazu, primjerice, pravokutni trokut u [tex]xy[/tex] ravnini, visina je tada dužina od [tex](0,0,0)[/tex] do [tex]\left( 0,0,\frac{2\epsilon}{\epsilon-1} \right)[/tex], pa je traženi volumen (za [tex]\epsilon \in \left< 0,1 \right>[/tex]) jednak: [dtex]\frac{4\epsilon^3}{3(1-\epsilon)}[/dtex] što teži u [tex]0[/tex] kada [tex]\epsilon[/tex] teži u nulu.
Kako [tex]0[/tex] nije moguća vrijednost minimalne vrijednosti volumena, volumen je svakako u intervalu [tex]\left< 0, +\infty \right>[/tex]. Po gore pokazanom, ne postoji ravnina koja zatvara tetraedar najmanjeg volumena.
Slobodno me ispravite ako sam nešto krivo shvatio jer iz nekog razloga imam osjećaj da je ipak trebalo pronaći ravninu koja zatvara tetraedar najmanjeg volumena. No, to ne naslućujem iz teksta zadatka u ovom trenutku. 
Ako se slučajno traži volumen tetraedra koji se nalazi u prvom oktantu koordinatne ravnine (gdje su sve točke s nenegativnim koordinatama), jasno mi je da minimum postoji i za to sam dobio da je minimum [tex]9[/tex] (slično kao gore, s tim da nisam uvrštavao konkretne [tex]a,b[/tex] i [tex]c[/tex], već sam uz takve konstante odredio vrhove tetraedra, našao formulu za volumen i tražio stacionarne točke preslikavanja koja točki [tex](a,b,c)[/tex] pridružuje samu formulu za volumen). Za takav minimum oblik ravnine bi bio [tex]2(x-1)+2(y-1)+(z-2)=0[/tex], tj. [tex]2x+2y+z=6[/tex].
|
