[quote="sasha.f"]da, nije mi jasan taj a i kako slijedi da je A interval[/quote]
Prvo treba naglasiti da segmenti mogu u presjeku dati prazan skup, tj. da gore opisani [tex]a[/tex] ne postoji. Primjerice, ako promatramo puteve od [tex]0[/tex] do [tex]1[/tex], od [tex]1[/tex] do [tex]2[/tex] te od [tex]2[/tex] do [tex]3[/tex] dane na sljedeći način:
[tex]x \mapsto x, x \in \left[ 0,1 \right][/tex]
[tex]x \mapsto x+1, x \in \left[ 0,1 \right][/tex]
[tex]x \mapsto x+2, x \in \left[ 0,1 \right][/tex]
slike tih puteva u presjeku su [tex]\left[ 0,1 \right] \cap \left[ 1,2 \right] \cap \left[ 2,3 \right] = \emptyset[/tex].
No, što hoće točno reći ova pretpostavka?
Unija dva zatvorena segmenta u [tex]\mathbb{R}[/tex] može biti jedno od sljedećeg:
- zatvoreni segment ([tex]\left[ 0,2 \right] \cup \left[ 1,3 \right] = \left[ 0,3 \right][/tex])
- dva disjunktna "razdvojena" segmenta ([tex]\left[ 0,1 \right] \cup \left[ 2,3 \right][/tex])
Slično očekujemo i za uniju više segmenata, no htjeli bismo da vrijedi isključivo prva crtica. A to očekujemo upravo jer je [tex]A[/tex] povezan skup, zar ne? :)
Ukratko, moj komentar bi bio sljedeći: ako su [tex]a,b \in A[/tex] povezani putevima, tada je [tex]\left[ a,b \right] \subseteq A[/tex]. Za proizvoljne točku [tex]c, d \in A[/tex], [tex]c<d[/tex] vrijedi:
- ako je [tex]c \in A[/tex] ili [tex]d \in A[/tex], tada je [tex]\left[ a,b \right] \cup \left[ c,d \right][/tex] zatvoren segment
- ako je [tex]c, d \in A \backslash \left[ a,b \right][/tex], moguća su još dva slučaja. Ako vrijedi [tex]c<a[/tex] i [tex]d>b[/tex], onda je [tex]\left[ a,b \right] \subseteq \left[ c,d \right][/tex] pa je unija zatvoren skup. Inače dobivamo [tex]\left[ a,b \right] \cup \left[ c,d \right][/tex]. No, postoji put između [tex]e \in \left[ a,b \right][/tex] i [tex]f \in \left[ c,d \right][/tex] te je slika tog puta u uniji s ova dva segmenta zatvoren segment.
Dakle, odabirom proizvoljna dva puta, uz eventualno pomoćni treći put (između [tex]e[/tex] i [tex]f[/tex]), u uniji dobivamo zatvoreni segment. I to je ideja te tvrdnje. :)
Da skratim filozofiranje, mislim da je bitno (barem ako ideš na usmeni ispit) da ovo shvatiš intuitivno, pa, kako god znala to objasniti ili pokazati, bit će dobro. :)
sasha.f (napisa): | da, nije mi jasan taj a i kako slijedi da je A interval |
Prvo treba naglasiti da segmenti mogu u presjeku dati prazan skup, tj. da gore opisani [tex]a[/tex] ne postoji. Primjerice, ako promatramo puteve od [tex]0[/tex] do [tex]1[/tex], od [tex]1[/tex] do [tex]2[/tex] te od [tex]2[/tex] do [tex]3[/tex] dane na sljedeći način:
[tex]x \mapsto x, x \in \left[ 0,1 \right][/tex]
[tex]x \mapsto x+1, x \in \left[ 0,1 \right][/tex]
[tex]x \mapsto x+2, x \in \left[ 0,1 \right][/tex]
slike tih puteva u presjeku su [tex]\left[ 0,1 \right] \cap \left[ 1,2 \right] \cap \left[ 2,3 \right] = \emptyset[/tex].
No, što hoće točno reći ova pretpostavka?
Unija dva zatvorena segmenta u [tex]\mathbb{R}[/tex] može biti jedno od sljedećeg:
- zatvoreni segment ([tex]\left[ 0,2 \right] \cup \left[ 1,3 \right] = \left[ 0,3 \right][/tex])
- dva disjunktna "razdvojena" segmenta ([tex]\left[ 0,1 \right] \cup \left[ 2,3 \right][/tex])
Slično očekujemo i za uniju više segmenata, no htjeli bismo da vrijedi isključivo prva crtica. A to očekujemo upravo jer je [tex]A[/tex] povezan skup, zar ne?
Ukratko, moj komentar bi bio sljedeći: ako su [tex]a,b \in A[/tex] povezani putevima, tada je [tex]\left[ a,b \right] \subseteq A[/tex]. Za proizvoljne točku [tex]c, d \in A[/tex], [tex]c<d[/tex] vrijedi:
- ako je [tex]c \in A[/tex] ili [tex]d \in A[/tex], tada je [tex]\left[ a,b \right] \cup \left[ c,d \right][/tex] zatvoren segment
- ako je [tex]c, d \in A \backslash \left[ a,b \right][/tex], moguća su još dva slučaja. Ako vrijedi [tex]c<a[/tex] i [tex]d>b[/tex], onda je [tex]\left[ a,b \right] \subseteq \left[ c,d \right][/tex] pa je unija zatvoren skup. Inače dobivamo [tex]\left[ a,b \right] \cup \left[ c,d \right][/tex]. No, postoji put između [tex]e \in \left[ a,b \right][/tex] i [tex]f \in \left[ c,d \right][/tex] te je slika tog puta u uniji s ova dva segmenta zatvoren segment.
Dakle, odabirom proizvoljna dva puta, uz eventualno pomoćni treći put (između [tex]e[/tex] i [tex]f[/tex]), u uniji dobivamo zatvoreni segment. I to je ideja te tvrdnje.
Da skratim filozofiranje, mislim da je bitno (barem ako ideš na usmeni ispit) da ovo shvatiš intuitivno, pa, kako god znala to objasniti ili pokazati, bit će dobro.
|