Prop.-suma koja aproksimira integral

[Vincent Van Ear]

Propozicija :
Pretpostavke : f:[a,b]→IR (R)-integrabilna
Doprinos propozicije :
Postoji niz subdivizija {d_n} takav da za svaki izbor točaka oblika { n^t_k } pri čemu je n^t_k@[n^x_k- n^x_k-1] vrijedi :
$f(x)dx=lim_{n→oo} suma po x_k iz d_n pribrojnika oblika :f(n^t_k)*( n^x_k- n^x_k-1)
Nadalje to vrijedi i za svaki niz finijih subdivizija.

Napomena:
Integral označavam sa $

Imam već pitanje iz samih tvrdnji teorema:

definirali smo da je niz funkcija sa IN u IR.
Ali subdivizija nije konkretan realan broj već _skup_ realnih brojeva( d_n={n^x_k} imati n-tu subdiviziju je isto što i imati k točaka te subdivizije)
pa kako onda kažemo da 'imamo niz subdivizija' ?

Dokaz:

Funkcija je (R)-integrabilna ⇒ kriterij integrabilnosti
⇒ postoji određeni integral $f(x)dx u području od a do b

An@IN postoji subdivizija d_n takva da vrijedi S(d_n)-s(d_n)<1/n

d_n={n^x_k} imati n-tu subdiviziju je isto što i imati k točaka te subdivizije

Budući da je s(d_n)⇐$f(x)dx⇐S(d_n)

Funkcija je po pretpostavci teorema (R)-integrabilna što će reći da donje sume konvergiraju ka integralu odozdo,a gornje odozgo,jezikom limesa :

lim_{n→oo}s(d_n)=$f(x)dx=lim_{n→oo}S(d_n)

uzmimo točke {n^t_k} tako da je n^t_k@[n^x_k-1 , n^x_k] ,tada sigurno vrijedi :

n^m_k⇐ f(n^t_k) ⇐ n^M_k

ovaj odnos je trivijalan za zaključiti:naša funkcija je (R)-integrabilna pa je nužno i omeđena(jer smo (R)-integrabilnost definirali samo za omeđene funkcije na segmentu) što znači da u svakom podsegmentu svoje domene(segmenta) postiže supremum i infimum.
Točka t iz n-te subdivizije k-tog segmenta odabrana je proizvoljno i ona može i ne mora postići supremum(maksimum) odnosno infimum(minimum).

Pomnožimo gornju nejednakost sa (n^x_k - n^x_k-1) koji je strogo pozitivan pa neće uzrokovati promjenu smjera nejednakosti nejednadžbe.

Dobivamo:

s(d_n)⇐suma po n^x_k pribrojnika f(n^t_k)* (n^x_k - n^x_k-1) ⇐S(d_n)

nizovi s(d_n) i S(d_n) (primjetno je da imamo te nizove jer _svakom_ prirodnom broju pridružujemo njegovu sumu-broj) su konvergenti što je jasno zbog pretpostavke da imamo (R)-integrabilnu funkciju,a između njih je ''zatočena'' suma odnosno neki broj.

Pozivanjem na teorem o sendviču imamo sljedeći doprinos:

lim_{n→oo} suma po n^x_k pribrojnika f(n^t_k)* (n^x_k - n^x_k-1) =$f(x)dx u području od a do b

Drugi dio propozicije sijedi iz činjenice da je s(d_n)⇐s(d'_n) te S(d'_n)⇐S(d_n)

Q.E.D

Naravno nakon ovog ispisa na forumu ostaje samo nada da ste uspjeli dekriptirati ovaj kod;)
Slobodno ispravite i najmanju sitnicu koju sam krivo postavio jer cijeli ovaj 'support' teksta koji prati simboliku moja je interpretacija iste.

_________________
Samo sam jedan čovjek,
samo jedan pakao.

[vsego]

Nisam u moodu za "trcanje" kroz cijeli dokaz, a i kratak sam s vremenom...

[Vincent Van Ear]

[Vincent Van Ear]

Hajde da riječima prokomentiram što tvrdnja teorema govori:
Ako je funkcija (R)-integrabilna onda će postojati niz subdivizija(njih prebrojivo mnogo) takvih da će biti apsolutno svejedno koje točke iz subdivizija svakog pojedinog podsegmenta odaberem vrijedit će da će limes takvih suma iću u Reimanov integral.

Što znači ovo-za svaki izbor točaka?

Pa podsegmenti su toliko mali da je razlika točaka unutar segmenta mizerna odnosno podsegmenti su birani tako da svaka točka podsegmenta ima okolinu točaka koje ju u potpunosti određuju.
Imam li pravo?


Subdivizija sa svojstvom iz teorema ima zapravo neprebrojivo mnogo(njih inače ima neprebrojivo mnogo je je subdivizija konačan skup točaka iz segmenata,a točaka za odabir ima neprebrojivo mnogo pa nikada ne iscrpljujem broj mogućnosti) ali nama je dovoljno imati njih prebrojivo mnogo,između ostaloga zbog mogućnosti korištenja terminologije nizova u samom teoremu.
Imam li pravo?

_________________
Samo sam jedan čovjek,
samo jedan pakao.

[ZELENIZUBNAPLANETIDOSADE]

[Vincent Van Ear]

Sendvic !

Di ga vidiš ?
Šala ,shvaćeno.

[ZELENIZUBNAPLANETIDOSADE]

[Vincent Van Ear]