|
[b]Popravni kolokvij iz Linearne algebre 2 23.01.2013.[/b]
1. Napišite matricu operatora ortogonalne projekcije na potprostor
L=[{i-2j+k}] vektorskog prostora V3(O) i to:
(a) u ortonormiranoj bazi (i,j,k);
(b) u po volji odabranoj bazi, samo uz uvjet da ona
ne sadrži nijedan od vektora ±i,±j,±k.
Nadalje, napišite matrice operatora zrcaljenja s obzirom na
potprostor L┴,
u istim tim dvjema bazama. (15 bodova)
2. U unitarnom prostoru R4 neka je a1=(2,3,0,1) "vektor današnjeg datuma" i a2=(2,0,1,3) "vektor tekuće godine".
Odaberite po volji
vektor b nekog državnog praznika/blagdana u RH (osim Nove Godine,
za koju bi to bio b=(0,1,0,1)) te izračunajte udaljenost b od "dnevnog potprostora" K =[{a1,a2}]. (13 bodova)
3. Označimo s P3 vektorski prostor realnih polinoma stupnja ≤3 i
neka je F: P3 → P3 linearni operator zadan s F(p)(t) = t p'(t)- p"(t).
Ispitajte može li se F dijagonalizirati i u kojoj to bazi.
Postoji li za svaki g iz P3 neki p iz P3 tako da g = F(p)?
Postoji li za svaki
g iz P2 (kao potprostor od P3) neki p iz P3 tako da g = F(p)?
(20 bodova)
4. Izaberite po volji matricu A iz M2(R) čiji su svi koeficijenti međusobno različiti prirodni brojevi te ispitajte
jesu li A i A^t slične matrice. Dokažite da je svaka antisimetrična matrica iz M2(R) slična svojoj transponiranoj matrici A^t.
Odredite sve one antisimetrične matrice iz M2(R) koje su
slične svojoj inverznoj matrici (12 bodova).
5. (a) Napišite Cauchy-Schwarzovu nejednakost i to cjeloviti iskaz
propozicije, ne samo formalno relaciju;
(b) Iskažite teorem o
rangu i defektu linearnog operatora te objasnite njegovu vezu s rješavanjem sustava linearnih jednadžbi;
(c) Napišite ukratko,
ali precizno, kako se linearnom operatoru iz L(V,W) (V i W su konačnodimenzionalni) pridružuje matrica te
objasnite vezu ranga linearnog operatora i ranga pridružene matrice;
(d) napišite i izvedite relaciju između matrica linearnog operatora
A iz L(V) u dvjema različitim bazama;
(e) Ako je C iz L(V3(O)) koji ima trostruku svojstvenu vrijednost 1, kolika sve može biti geometrijska kratnost?
Navedite primjere C za svaki mogući slučaj.
((a)-(e) po 8 bodova)
Popravni kolokvij iz Linearne algebre 2 23.01.2013.
1. Napišite matricu operatora ortogonalne projekcije na potprostor
L=[{i-2j+k}] vektorskog prostora V3(O) i to:
(a) u ortonormiranoj bazi (i,j,k);
(b) u po volji odabranoj bazi, samo uz uvjet da ona
ne sadrži nijedan od vektora ±i,±j,±k.
Nadalje, napišite matrice operatora zrcaljenja s obzirom na
potprostor L┴,
u istim tim dvjema bazama. (15 bodova)
2. U unitarnom prostoru R4 neka je a1=(2,3,0,1) "vektor današnjeg datuma" i a2=(2,0,1,3) "vektor tekuće godine".
Odaberite po volji
vektor b nekog državnog praznika/blagdana u RH (osim Nove Godine,
za koju bi to bio b=(0,1,0,1)) te izračunajte udaljenost b od "dnevnog potprostora" K =[{a1,a2}]. (13 bodova)
3. Označimo s P3 vektorski prostor realnih polinoma stupnja ≤3 i
neka je F: P3 → P3 linearni operator zadan s F(p)(t) = t p'(t)- p"(t).
Ispitajte može li se F dijagonalizirati i u kojoj to bazi.
Postoji li za svaki g iz P3 neki p iz P3 tako da g = F(p)?
Postoji li za svaki
g iz P2 (kao potprostor od P3) neki p iz P3 tako da g = F(p)?
(20 bodova)
4. Izaberite po volji matricu A iz M2(R) čiji su svi koeficijenti međusobno različiti prirodni brojevi te ispitajte
jesu li A i A^t slične matrice. Dokažite da je svaka antisimetrična matrica iz M2(R) slična svojoj transponiranoj matrici A^t.
Odredite sve one antisimetrične matrice iz M2(R) koje su
slične svojoj inverznoj matrici (12 bodova).
5. (a) Napišite Cauchy-Schwarzovu nejednakost i to cjeloviti iskaz
propozicije, ne samo formalno relaciju;
(b) Iskažite teorem o
rangu i defektu linearnog operatora te objasnite njegovu vezu s rješavanjem sustava linearnih jednadžbi;
(c) Napišite ukratko,
ali precizno, kako se linearnom operatoru iz L(V,W) (V i W su konačnodimenzionalni) pridružuje matrica te
objasnite vezu ranga linearnog operatora i ranga pridružene matrice;
(d) napišite i izvedite relaciju između matrica linearnog operatora
A iz L(V) u dvjema različitim bazama;
(e) Ako je C iz L(V3(O)) koji ima trostruku svojstvenu vrijednost 1, kolika sve može biti geometrijska kratnost?
Navedite primjere C za svaki mogući slučaj.
((a)-(e) po 8 bodova)
|
