| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
aj_ca_volin_te
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 11. 2011. (20:18:49)
Postovi: (6F)16
|
|
| [Vrh] |
|
quark
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2011. (16:47:39)
Postovi: (DA)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
aj_ca_volin_te
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 11. 2011. (20:18:49)
Postovi: (6F)16
|
|
| [Vrh] |
|
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
kikzmyster
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2010. (13:35:08)
Postovi: (72)16
Spol:
|
 Postano: 11:54 ned, 3. 2. 2013 Naslov: |
    |
|
|
a) Vrijedi [tex]\mathbb{P}(A\cup B) \leq 1[/tex], i vrijedi [tex]\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) = 0.9 + 0.8 - \mathbb{P}(A \cap B)[/tex]. Dakle [tex]1.7 - \mathbb{P}(A \cap B) \leq 1 \Rightarrow \mathbb{P}(A \cap B) \geq 0.7[/tex].
b) [tex]\displaystyle \mathbb{P}(C|C \cup D) \geq \mathbb{P}(C |D) \Leftrightarrow \frac{\mathbb{P}(C \cap (C \cup D))}{\mathbb{P}(C \cup D)} \geq \frac{\mathbb{P}(C \cap D)}{\mathbb{P}(D)}\\ [/tex].
Kako je [tex]C \subseteq C \cup D[/tex], ovo je ekvivalentno s
[tex]\displaystyle \frac{\mathbb{P}(C)}{\mathbb{P}(C \cup D)} \geq \frac{\mathbb{P}(C \cap D)}{\mathbb{P}(D)} \Leftrightarrow \mathbb{P}(C)\mathbb{P}(D) \geq \mathbb{P}(C\cap D)\mathbb{P}(C \cup D)[/tex].
Pokazimo da vrijedi ova zadnja nejednakost:
Prvo raspisimo desnu stranu: [tex]\mathbb{P}(C\cap D)\mathbb{P}(C \cup D) = \mathbb{P}(C \cap D)(\mathbb{P}(C) + \mathbb{P}(D) - \mathbb{P}(C \cap D)) = \mathbb{P}(C)\mathbb{P}(C \cap D) + \mathbb{P}(D)\mathbb{P}(C\cap D) - {\mathbb{P}(C \cap D)}^2 [/tex].
Dalje, kako je [tex]C \cap D \subseteq C [/tex] i [tex]C \cap D \subseteq D [/tex], to je [tex](\mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(C \cap D))(\mathbb{P}(D) - \mathbb{P}(C \cap D)) \geq 0 [/tex]. S druge strane, [tex](\mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(C \cap D))(\mathbb{P}(D) - \mathbb{P}(C \cap D)) = \mathbb{P}(C)\mathbb{P}(D) - \mathbb{P}(C)\mathbb{P}(C \cap D) - \mathbb{P}(D)\mathbb{P}(C \cap D) + {\mathbb{P}(C \cap D)}^2 [/tex], dakle [tex]\mathbb{P}(C)\mathbb{P}(D) \geq \mathbb{P}(C)\mathbb{P}(C \cap D) + \mathbb{P}(D)\mathbb{P}(C \cap D) - {\mathbb{P}(C \cap D)}^2[/tex], tj. [tex]\mathbb{P}(C)\mathbb{P}(D) \geq \mathbb{P}(C\cap D)\mathbb{P}(C \cup D) [/tex].
a) Vrijedi [tex]\mathbb{P}(A\cup B) \leq 1[/tex], i vrijedi [tex]\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) = 0.9 + 0.8 - \mathbb{P}(A \cap B)[/tex]. Dakle [tex]1.7 - \mathbb{P}(A \cap B) \leq 1 \Rightarrow \mathbb{P}(A \cap B) \geq 0.7[/tex].
b) [tex]\displaystyle \mathbb{P}(C|C \cup D) \geq \mathbb{P}(C |D) \Leftrightarrow \frac{\mathbb{P}(C \cap (C \cup D))}{\mathbb{P}(C \cup D)} \geq \frac{\mathbb{P}(C \cap D)}{\mathbb{P}(D)}\\ [/tex].
Kako je [tex]C \subseteq C \cup D[/tex], ovo je ekvivalentno s
[tex]\displaystyle \frac{\mathbb{P}(C)}{\mathbb{P}(C \cup D)} \geq \frac{\mathbb{P}(C \cap D)}{\mathbb{P}(D)} \Leftrightarrow \mathbb{P}(C)\mathbb{P}(D) \geq \mathbb{P}(C\cap D)\mathbb{P}(C \cup D)[/tex].
Pokazimo da vrijedi ova zadnja nejednakost:
Prvo raspisimo desnu stranu: [tex]\mathbb{P}(C\cap D)\mathbb{P}(C \cup D) = \mathbb{P}(C \cap D)(\mathbb{P}(C) + \mathbb{P}(D) - \mathbb{P}(C \cap D)) = \mathbb{P}(C)\mathbb{P}(C \cap D) + \mathbb{P}(D)\mathbb{P}(C\cap D) - {\mathbb{P}(C \cap D)}^2 [/tex].
Dalje, kako je [tex]C \cap D \subseteq C [/tex] i [tex]C \cap D \subseteq D [/tex], to je [tex](\mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(C \cap D))(\mathbb{P}(D) - \mathbb{P}(C \cap D)) \geq 0 [/tex]. S druge strane, [tex](\mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(C \cap D))(\mathbb{P}(D) - \mathbb{P}(C \cap D)) = \mathbb{P}(C)\mathbb{P}(D) - \mathbb{P}(C)\mathbb{P}(C \cap D) - \mathbb{P}(D)\mathbb{P}(C \cap D) + {\mathbb{P}(C \cap D)}^2 [/tex], dakle [tex]\mathbb{P}(C)\mathbb{P}(D) \geq \mathbb{P}(C)\mathbb{P}(C \cap D) + \mathbb{P}(D)\mathbb{P}(C \cap D) - {\mathbb{P}(C \cap D)}^2[/tex], tj. [tex]\mathbb{P}(C)\mathbb{P}(D) \geq \mathbb{P}(C\cap D)\mathbb{P}(C \cup D) [/tex].
|
|
| [Vrh] |
|
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
Optimum
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 09. 2011. (09:16:23)
Postovi: (41)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
| Postano: 13:38 ned, 3. 2. 2013 Naslov: |
|
|
|
[quote="Optimum"][quote="pedro"][quote="kikzmyster"]
Dalje, kako je [tex]C \cap D \subseteq C [/tex] i [tex]C \cap D \subseteq D [/tex], to je [tex](\mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(C \cap D))(\mathbb{P}(D) - \mathbb{P}(C \cap D)) \geq 0 [/tex].[/quote]
otkud ovo :S[/quote]
Pa, jer je [tex](C \cap D) \subseteq C[/tex] tada je [tex]{P}(C) - {P}(C \cap D)\geq 0[/tex].
To vrijedi jer primjena vjerojatnosti "čuva skupovne odnose", odnosno seljački: [tex]\subseteq[/tex] postaje [tex]\leq[/tex].[/quote]
hehe, hvala, misla sam da je to odnekud iz nejednakosti izvučeno pa mi nije bilo jasno, :D
| Optimum (napisa): | | pedro (napisa): | | kikzmyster (napisa): |
Dalje, kako je [tex]C \cap D \subseteq C [/tex] i [tex]C \cap D \subseteq D [/tex], to je [tex](\mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(C \cap D))(\mathbb{P}(D) - \mathbb{P}(C \cap D)) \geq 0 [/tex]. |
otkud ovo :S |
Pa, jer je [tex](C \cap D) \subseteq C[/tex] tada je [tex]{P}(C) - {P}(C \cap D)\geq 0[/tex].
To vrijedi jer primjena vjerojatnosti "čuva skupovne odnose", odnosno seljački: [tex]\subseteq[/tex] postaje [tex]\leq[/tex]. |
hehe, hvala, misla sam da je to odnekud iz nejednakosti izvučeno pa mi nije bilo jasno, 
|
|
| [Vrh] |
|
Ryssa
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 12. 2011. (00:10:28)
Postovi: (57)16
|
|
| [Vrh] |
|
student_92
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46)
Postovi: (B9)16
|
| Postano: 18:03 pon, 4. 2. 2013 Naslov: |
|
|
|
[quote="Ryssa"]Zna li netko bilo koji od ovih http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/uuv/files/vjezbe0708.pdf
1.21, 1.26, 1.27 ?[/quote]
[tex]1.21[/tex]: Takvi zadatci sa [tex]\sigma[/tex]-algebrama nisu mi baš sjeli kako treba, tj. obično imam samo neku intuitivnu predodžbu o svemu tome pa te ne želim navoditi na eventualno krivo razmišljanje. Tako da preskačem ovaj.
Za ova dva ostala dajem prvo što mi padne na pamet jer pretpostavljam da ti je hitno pa neću filozofirati (a i ne garantiram da bi nešto korisno poslije proizašlo).
[tex]1.26[/tex]: Evo npr. pod a). Raspišemo [tex]\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty A_n = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \ldots[/tex] i, budući da znamo da vrijedi: [tex]A \subseteq B \Rightarrow A\cup B = B[/tex], ovo je zapravo jednako [tex]\displaystyle \bigcup_{k=n}^\infty A_k, \forall n\in \mathbb{N}[/tex]. E a sada prema definiciji limesa superiora - [tex]\displaystyle \limsup_n A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k[/tex] - jasno je da obje inkluzije vrijede. Pod b) slično. :)
[tex]1.27[/tex]: Opet pod a). Ovo je profesor nešto vrlo slično koristio u dokazu tvrdnje da za slučajnu varijablu [tex]X[/tex] vrijedi [tex]f_X (x) = F_X (x) - F_X (x-), \forall x\in \mathbb{R}[/tex]. [i]Rekao je da se tu koristimo limesom.[/i] Naravno, opet treba pokazati obje inkluzije, od kojih je jedna očita. Što se tiče druge, pogledaj i skiciraj ovo: [tex]\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty [a, a+\frac{1}{n}\rangle[/tex]. Kako povećavamo [tex]n\in \mathbb{N}[/tex], tako i ova desna granica "putuje" prema broju [tex]a[/tex]. Jasno je da je u presjeku takvih intervala samo jednočlan skup [tex]\{ a \}[/tex]. Sada to samo preciznije zapiši pomoću limesa i to je uglavnom to. Isto napraviš za ovo s [tex]a-\frac{1}{n}[/tex]. :)
[tex]1.21[/tex]: Takvi zadatci sa [tex]\sigma[/tex]-algebrama nisu mi baš sjeli kako treba, tj. obično imam samo neku intuitivnu predodžbu o svemu tome pa te ne želim navoditi na eventualno krivo razmišljanje. Tako da preskačem ovaj.
Za ova dva ostala dajem prvo što mi padne na pamet jer pretpostavljam da ti je hitno pa neću filozofirati (a i ne garantiram da bi nešto korisno poslije proizašlo).
[tex]1.26[/tex]: Evo npr. pod a). Raspišemo [tex]\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty A_n = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \ldots[/tex] i, budući da znamo da vrijedi: [tex]A \subseteq B \Rightarrow A\cup B = B[/tex], ovo je zapravo jednako [tex]\displaystyle \bigcup_{k=n}^\infty A_k, \forall n\in \mathbb{N}[/tex]. E a sada prema definiciji limesa superiora - [tex]\displaystyle \limsup_n A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k[/tex] - jasno je da obje inkluzije vrijede. Pod b) slično. 
[tex]1.27[/tex]: Opet pod a). Ovo je profesor nešto vrlo slično koristio u dokazu tvrdnje da za slučajnu varijablu [tex]X[/tex] vrijedi [tex]f_X (x) = F_X (x) - F_X (x-), \forall x\in \mathbb{R}[/tex]. Rekao je da se tu koristimo limesom. Naravno, opet treba pokazati obje inkluzije, od kojih je jedna očita. Što se tiče druge, pogledaj i skiciraj ovo: [tex]\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty [a, a+\frac{1}{n}\rangle[/tex]. Kako povećavamo [tex]n\in \mathbb{N}[/tex], tako i ova desna granica "putuje" prema broju [tex]a[/tex]. Jasno je da je u presjeku takvih intervala samo jednočlan skup [tex]\{ a \}[/tex]. Sada to samo preciznije zapiši pomoću limesa i to je uglavnom to. Isto napraviš za ovo s [tex]a-\frac{1}{n}[/tex].
|
|
| [Vrh] |
|
|
