2. [tex]V[/tex] = vrh pravog kuta, [tex]s = |VT|[/tex], [tex]a =|VA|[/tex], [tex] b = |VB|[/tex], [tex]\alpha = \angle VAT[/tex], [tex]\beta = \angle VBT[/tex], [tex]\varphi = \angle VTA[/tex].
[dtex]\frac 1 a + \frac 1 b = \frac 1 s (\frac s a + \frac s b) = \frac 1 s\bigg(\frac {\sin \alpha}{\sin \varphi} + \frac {\sin \beta}{\sin (\pi - \varphi)}\bigg) = \frac {2 \sin (\frac \alpha 2 + \frac \beta 2)\cos(\frac \alpha 2 - \frac \beta 2)} {s \sin \varphi}, [/dtex]
sto je konstanto jer se lako pokaze [tex]\frac \alpha 2 + \frac \beta 2 = \frac \pi 4[/tex] te [tex]\cos(\frac \alpha 2 - \frac \beta 2) = \sin \varphi[/tex].
Volio bih vidjeti netrigonometrijsko rjesenje.
[size=9][color=#999999]Added after 15 minutes:[/color][/size]
1. Mali su trokuti slicni pa je koeficijent slicnosti jednak omjeru opsega, ali ujedno i omjeru odgovarajucih stranica. Odatle je [tex]\frac a b = \frac {10}{15}[/tex] (pri cemu su [tex]a, b[/tex] katete velikog trokuta) pa stavimo [tex]a = 2k[/tex], [tex]b = 3k[/tex]. Sad je hipotenuza [tex]c = k\sqrt{13}[/tex] pa opseg [tex]o[/tex] velikog trokuta racunamo iz slicnosti velikog i bilo kojeg od malih trokuta, npr. [tex]\frac o {10}=\frac c a = \frac{k\sqrt {13}}{2k}[/tex].
2. [tex]V[/tex] = vrh pravog kuta, [tex]s = |VT|[/tex], [tex]a =|VA|[/tex], [tex] b = |VB|[/tex], [tex]\alpha = \angle VAT[/tex], [tex]\beta = \angle VBT[/tex], [tex]\varphi = \angle VTA[/tex].
[dtex]\frac 1 a + \frac 1 b = \frac 1 s (\frac s a + \frac s b) = \frac 1 s\bigg(\frac {\sin \alpha}{\sin \varphi} + \frac {\sin \beta}{\sin (\pi - \varphi)}\bigg) = \frac {2 \sin (\frac \alpha 2 + \frac \beta 2)\cos(\frac \alpha 2 - \frac \beta 2)} {s \sin \varphi}, [/dtex]
sto je konstanto jer se lako pokaze [tex]\frac \alpha 2 + \frac \beta 2 = \frac \pi 4[/tex] te [tex]\cos(\frac \alpha 2 - \frac \beta 2) = \sin \varphi[/tex].
Volio bih vidjeti netrigonometrijsko rjesenje.
Added after 15 minutes:
1. Mali su trokuti slicni pa je koeficijent slicnosti jednak omjeru opsega, ali ujedno i omjeru odgovarajucih stranica. Odatle je [tex]\frac a b = \frac {10}{15}[/tex] (pri cemu su [tex]a, b[/tex] katete velikog trokuta) pa stavimo [tex]a = 2k[/tex], [tex]b = 3k[/tex]. Sad je hipotenuza [tex]c = k\sqrt{13}[/tex] pa opseg [tex]o[/tex] velikog trokuta racunamo iz slicnosti velikog i bilo kojeg od malih trokuta, npr. [tex]\frac o {10}=\frac c a = \frac{k\sqrt {13}}{2k}[/tex].
|