Zadaci s dodatnog kolokvija - mogu poslužiti za vježbu:
DODATNI 1. KOLOKVIJ IZ LINEARNE ALGEBRE 1 18.travnja 2013.
1. Za cijele brojeve a i b definirano je: a * b = ab/2.
Ispitajte je li skup svih [b]parnih cijelih brojeva[/b] grupoid s
obzirom na *, je li asocijativan grupoid (polugrupa),
ima li neutralni element te je li to grupa.
2. Ako su a,b,c bilo koja tri vektora iz vektorskog prostora V,
jesu li linearne ljuske podskupova {a,b,a+b+c} i {a+b,a+c,c}
nužno jednake? Ako je {a,b,c} baza prostora, jesu li nužno
{a,b,c}, {a,b,a+b+c} i {a+b,a+c,c} tri [b]različite[/b] baze od V?
Obrazložite odgovore.
3. (a) Ispitajte je li skup polinoma {1-t2, 1+t2, t-t3, 1+t2+t3}
baza vektorskog prostora P3 svih polinoma stupnja najviše 3.
Ako jest baza, prikažite polinom f(t) = -3 + 2t3 u toj bazi.
(b) Neka je M skup svih polinoma iz prostora P3 sa svojstvom
da je f(t)=f(1-t) za svaki t iz R. Pokažite da je M<P3 i
odredite dim M. Odredite bazu nekog direktnog komplementa
od M u prostoru P3.
4. Neka su L i M potprostori vektorskog prostora R6 zadani s
L = {(x1,x2,x3,x4,x5,x6): x1+x2 = x4 = x3+x5+x6 = 0} i
M = [(1,-1,1,0,1,-2), (0,0,2,0,1,-3), (1,1,0,1,-1,0)].
Odredite dim L∩M i dim L+M.
5. Neka je V vektorski prostor dimenzije n, a S njegov podskup
koji se sastoji od n vektora. Dokažite da je S linearno
nezavisan ako i samo ako je S sustav izvodnica za V.
(Ako se pozivate na neke tvrdnje dokazane na predavanjima,
navedite ih).
