Zadaci s popravnog kolokvija 17.06.2013.

[Juraj Siftar]

Popravni kolokvij iz Linearne algebre 1
17.6.2013.

Zadatak 1. (15 bodova)
Neka je H podskup M2(R) koji se sastoji od jedinične matrice i svih antisimetričnih
ortogonalnih matrica u M2(R) (matrica A je ortogonalna ako je A^t = A^(-1)).
Ispitajte može li se podskupu H
dodati još jedna matrica, tako da dobiveni skup bude grupa s obzirom na operaciju množenja matrica.

Zadatak 2. (10 bodova)
Neka je S skup svih polinoma p(t) s realnim koeficijentima, stupnja najviše 3, takvih
da za svaki t iz R vrijedi: p(t-1) + p(t+1) = 2 p(t). Odredite opći oblik polinoma iz S,
pokažite da je S potprostor vektorskog prostora P3 polinoma stupnja najviše 3,
odredite dim S te neki direktni komplement od S u P3.

Zadatak 3. (20 bodova)
Uz koje uvjete na parametre a,b iz R je zadana matrica A regularna?
(a) Izaberite neke
vrijednosti a i b za koje su ti uvjeti ispunjeni te za njih izračunajte inverznu matricu.
(b) Izaberite neke vrijednosti a i b za koje su ti uvjeti nisu ispunjeni te za njih riješite
homogeni sustav jednadžbi AX = 0,

A =
1 1 1 1
1 a -1 1
1 -1 -1 1
1 1 b -1

Zadatak 4. (20 bodova)
Potprostor M<R4 zadan je jednadžbom 17x1 + 6 x2 + 20x3 +13 x4 = 0 . (a) Odredite neku
bazu tog potprostora. (Uputa: Odredite i neku bazu u kojoj svi vektori imaju cjelobrojne
koordinate, jer to će znatno olakšati daljnji račun). (b) Prikažite vektor (9,-8,-2,-5) u toj
bazi. (b) Vektore odabrane baze napišite u retke matrice A te izračunajte matricu
C = A A^t i vrijednost det C. (c) Napišite sustav linearnih jednadžbi kojem je C matrica
sustava, a jedno rješenje je (1,-1,1). Je li ovo rješenje jedino za taj sustav? Obrazložite.

Zadatak 5. (15 bodova)
Neka je V vektorski prostor i S V. Dokažite: S je potprostor od V ako i samo ako je S = [S].

Zadatak 6. (20 bodova)
Napišite definiciju determinante kvadratne matrice A reda n. Ukratko objasnite značenje
oznaka koje se pojavljuju u toj definiciji. Postoji li veza između vrijednosti ranga matrice A
i determinante matrice A? Dokažite navedene tvrdnje.

[Juraj Siftar]

Kratka rješenja i upute za rješavanje:


1. zadtak

Antisimetrična matrica reda 2 ima oblik:

0 a
-a 0

Ortogonalna je ako je njezin umnožak s transponiranom
jednak jediničnoj matrici I, dakle

a^2 0
0 a^2

je jedinična pa a može biti samo 1 ili -1.
Imamo svega dvije antisimetrične ortogonalne matrice,
uzajamno su transponirane i inverzne.
Zbog zatvorenosti s obzirom na množenje, u grupoidu
se moraju nalaziti i kvadrati svake od tih matrica, a oni
su oba jednaki -I. Dakle, u grupoidu mora biti i matrica -I.
Ona je sama sebi inverzna pa doista te četiri matrice:
I, -I, A i A^t (= -A) čine grupu;
A je matrica
0 1
-1 0


2.zadatak

Iz uvjeta za polinome iz skupa S izravno se dobiva
da se S sastoji od svih polinoma stupnja najviše 1,
dakle oblika p(t) = at+b. Naravno, to je potprostor
od P3 dimenzije 2, a direktni komplement je
npr [ t^2, t^3].


3. zadatak

Uvjet regularnosti zadane matrice:

ab - a - b + 5 je različito od 0 (npr. pomoću det A).
Inverzna matrica lako se izračuna npr za a=b=0.
Izbor a=b=-1 daje posebno jednostavnu inverznu matricu,
jednaku matrici (1/ 4) A^t.

A nije regularna npr za a=5, b=0.
Rješenje sustava AX=0 tada je 1-dim. potprostor
s bazom (2,-1,-2,1).


4. zadatak

Jednadžbom je zadan 3-dim. potprostor od R4.
Jednu cjelobrojnu bazu čine npr.
(1,-5,0,1), (2,0,-3,2) i (0,1,1,-2).
Kad se ovi vektori napišu u retke matrice A tipa (3,4),
C = A A^t je simetrična kvadratna matrica reda 3:

27 4 -7
4 17 -7
-7 -7 6

Ovo je regularna matrica (lako se izračuna i tražena
determinanta) pa je svaki sustav CX = b (za bilo koji b)
Cramerov i rješenje jedinstveno.
Konkretno ako se uvrsti navedeno rješenje (1,-1, 1)
dobiva se b = (16 -20 6)^t.

Na kraju, prikaz zadanog vektora u odabranoj bazi glasi:
(9,-8,-2,-5) = 3 (1,-5,0,1) + 3(2,0,-3,2) + 7(0,1,1,-2).

[Juraj Siftar]

U prethodno napisanim rješenjima potkrala se
pogreška u 3. zadatku, uzrokovana jednom zamjenom
predznaka.
Zapravo uvjet regularnosti glasi da je a različit od -1,
dok vrijednost b uopće nema utjecaja.
(Prethodno napisano rješenje odnosi se na matricu čiji
3. redak glasi
1 -1 1 -1
dok su ostali retci kao u matrici A u zadatku).

[Gost]

Kada ce otprilike rezultati?